《空间向量与空间角》专项练习

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备考训练10　空间向量与空间角——大题备考1．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．      2．[2020·山东淄博模块考试]如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心．(1)求证：平面OPG⊥平面PAC；(2)若PA＝AB＝2AC＝2，求二面角A－OP－G的余弦值．        3．[2020·山东济南质量评估]如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为2，AB＝2EF，点P在线段DE上，且DP＝2PE，Q为BC的中点．(1)求证：BE∥平面PAQ；(2)已知AE⊥平面ABCD，且AE＝2，求二面角P－AF－E的余弦值．    4．[2020·山东青岛质量检测]《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC－A1B1C1中，AB⊥AC.(1)求证：四棱锥B－A1ACC1为阳马；(2)若C1C＝BC＝2，当鳖膈C1－ABC体积最大时，求锐二面角C－A1B－C1的余弦值．           5．如图1，平面多边形PABCD中，PA＝PD，AD＝2DC＝2BC＝4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将△APD沿AD折起，如图2，使PC＝2.(1)证明：CE∥平面ABP；(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值．       6．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD＝AE.(1)求证：AF∥平面CBD；(2)求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．