初中数学北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系教学设计

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第1课时　圆周角定理及其推论1 教学目标一、基本目标1．理解圆周角的概念，会区分圆周角和圆心角．2．理解并掌握圆周角定理及其推论1，并能解决相关问题．3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，渗透分类的数学思想．二、重难点目标【教学重点】圆周角的概念，圆周角定理．【教学难点】圆周角定理分三种情况证明的必要性．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P78～P80的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．3．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 .4．下列各图形中，图③是圆周角．(填序号)5．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是140°.环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连结AD、CD、OB.若∠BOC＝70°，则∠ADC＝____度．【互动探索】(引发学生思考)连结OA.∵OC⊥AB，∴＝，∴∠AOC＝∠COB＝70°，∴∠ADC＝∠AOC＝35°.【答案】35【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的关键是正确作出辅助线，用转化的思想思考问题．活动2　巩固练习(学生独学)1．如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于(　D　)A．40°  B．45°C．50°  D．60°2．在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为(　C　)A．25°  B．50°C．25°或155°  D．50°或130°【教师点拨】圆中一条弦(非直径)对应的弧有两条：一条优弧、一条劣弧．3．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为70°.4．如图，点A、B、C、D分别在⊙O上，＝，若∠AOB＝40°，则∠ADC是20度．5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长． 解：如图，连结OC.∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，∴∠AOC＝∠DAC，∴AO＝AC.又∵OA＝OC，∴AO＝AC＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝AD＝3 cm.活动3　拓展延伸(学生对学)【例2】如图，在足球比赛中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置的射门角度的大小有关．如果在一次比赛中，小华和小勇分别处在图中的A、B两点，球门的位置在线段CD，如果球在小华的脚下，此时他应该选择传给小勇还是自己射门较好？(不考虑其他因素) 【互动探索】要使球能射入球门，则所在位置射入球门的张角越大越好，即比较∠DBC与∠CAD的大小．【解答】如下图，过A、C、D三点作圆，此时点B在圆外，连结CB、DB、CA、DA，设CB交圆于点E，连结DE，则∠CBD<∠CED.而∠CAD＝∠CED，所以∠DBC<∠CAD，所以小华自己射门较好．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)解此类题时，构建数学模型，将实际问题转化为数学问题．(2)当两点到球门的距离相差不大时，在对球门张角较大的点处射门较好． 环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．2．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．练习设计请完成本课时对应练习！ 第2课时　圆周角定理及其推论2、3教学目标一、基本目标1．了解圆内接四边形的概念和性质．2．进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明．二、重难点目标【教学重点】圆周角定理推论2的应用．【教学难点】圆内接四边形的性质．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2．如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．3．圆内接四边形的性质(推论3)：圆内接四边形的对角互补．4．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，则∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°.若BD是直径，则∠BAD＝∠BCD＝90°.环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝110°，则∠CBE的度数是110°.【教师点拨】由圆内接四边形的性质可得，∠D＋∠CBA＝180°.由∠CBA＋∠CBE＝180°，可得∠D＝∠CBE＝110°.【例2】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAE＝∠CAD→由AD⊥BC，AE是直径，考虑在△ADC和△ABE中证明→利用圆周角定理的推论2及等角的余角相等进行证明．【证明】连结BE.∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵＝，∴∠E＝∠C.∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.【互动总结】(学生总结，老师点评)涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．活动2　巩固练习(学生独学)1．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(　A　)A．20°  B．15°  C．35°  D．70°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为(　B　)A.100°  B．105°C．110°  D．115°3．如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为130°.【教师点拨】综合利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解，正确作出辅助线是关键．4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠ACD＝25°，∴∠B＝∠ACD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB＝45°.求⊙O半径的长．解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ADB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°.∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，∴AC＝＝2，∴⊙O半径的长为.活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点(在直径AB的同一侧)，且＝，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB＝110°，求∠ABD的度数．【互动探索】连结CD、CB，首先求出∠CBD的度数，进而求出∠CAB的度数，最后求出∠ABD的度数．【解答】如图，连结CD、CB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠APB＝110°，∴∠CBD＝∠APB－∠ACB＝20°.∵＝，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝20°，∴∠CAB＝∠CDB＝20°，∴∠ABD＝180°－∠APB－∠CAB＝50°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，求出∠CBD的度数．环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质(推论3)：圆内接四边形的对角互补．练习设计请完成本课时对应练习！