北师大版七年级下册4 整式的乘法教学设计

4　整式的乘法

第1课时　单项式与单项式相乘

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握单项式乘单项式的法则，能够熟练计算单项式乘单项式．

2．经历探索单项式乘单项式的运算法则的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．

3．培养学生推理能力、计算能力，并通过小组合作与交流，增强协作精神．

二、重难点目标

【教学重点】

单项式乘单项式的法则．

【教学难点】

单项式乘单项式的法则的推导及应用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P14～P15的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．(1)(ab)c＝(ac)b；

(2)am·an＝am＋n(m、n都是正整数)；

(3)(am)n＝amn(m、n都是正整数)；

(4)(ab)n＝anbn(n是正整数)．

2．(1)2a2－a2＝a2，a2·a2＝a4，(－2a2)2＝4a4；

(2)ac5·bc2＝(a·b)·(c5·c2)·＝abc5＋2＝abc7；

(3)单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．

3．(教材P14例1)计算：

(1)2xy2·xy；

(2)－2a2b3·(－3a)；

(3)7xy2z·(2xyz)2.

解：(1)原式＝x2y3.　(2)原式＝6a3b3.

(3)原式＝28x3y4z3.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)3·3xy2·(2xy2)2；

(2)－6m2n·(x－y)3·mn2·(y－x)2.

【互动探索】(引发学生思考)计算单项式乘单项式时应该注意些什么？

【解答】(1)3·3xy2·(2xy2)2＝－x6y3·3xy2·4x2y4

＝－x9y9.

(2)－6m2n·(x－y)3·mn2·(y－x)2

＝－6×m3n3·(x－y)5

＝－2m3n3(x－y)5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式乘单项式的注意事项：(1)计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)单项式乘单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立；(5)将(x－y)看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．下列计算正确的是(　D　)

A．(－3x3)·(－2x2)2＝－12x12 B．(－3ab)·(－2ab)2＝12a3b3

C．(－0.1x)·(－10x2)2＝x5 D．(2×10n)·＝102n

2．3x2可以表示为(　A　)

A．x2＋x2＋x2　 B．x2·x2·x2

C．3x·3x　 D．9x

3．如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7，那么mn＝12.

4．计算：

(1)(－2x2y)3·3(xy2)2；

(2)(－3x2y)2··xz2.

解：(1)原式＝－8x6y3·3x2y4＝－24x8y7.

(2)原式＝9x4y2··xz2＝－x6y3z3.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．

【互动探索】根据－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，可以得到什么？怎样求m2＋n的值？

【解答】因为－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，

所以解得

所以m2＋n＝7.

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据单项式乘单项式的法则，结合同类项，列出关于m、n的二元一次方程组，进而求得代数式的值．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　单项式与多项式相乘

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握单项式乘多项式的法则，并能正确计算单项式乘多项式．

2．理解单项式乘多项式运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力．

二、重难点目标

【教学重点】

单项式乘多项式的法则．

【教学难点】

单项式乘多项式的法则的推导及应用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P16～P17的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．乘法分配律：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.

2．填空：

－x(x2－3x＋2)＝－x·x2＋(－x)·－3x＋(－x)·2＝－x3＋3x2－2x.

3．单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

4．(教材P16例2)计算：

(1)2ab(5ab2＋3a2b)；

(2)·ab；

(3)5m2n(2n＋3m－n2)；

(4)2(x＋y2z＋xy2z3)·xyz.

解：(1)原式＝2ab·5ab2＋2ab·3a2b

＝10a2b3＋6a3b2.

(2)原式＝ab2·ab－2ab·ab

＝a2b3－a2b2.

(3)原式＝5m2n·2n＋5m2n·3m－5m2n·n2

＝10m2n2＋15m3n－5m2n3.

(4)原式＝(2x＋2y2z＋2xy2z3)·xyz

＝2x·xyz＋2y2z·xyz＋2xy2z3·xyz

＝2x2yz＋2xy3z2＋2x2y3z4.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.

【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简式子→将a＝－2代入化简后的式子求值．

【解答】原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a.

当a＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据单项式与多项式相乘的法则化简式子，再代入已知的数值计算即可．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．一个长方体的长、宽、高分别3a－4、2a、a，它的体积等于(　C　)

A．3a3－4a2　 B．a2

C．6a3－8a2　 D．6a2－8a

2．已知M、N分别表示不同的单项式，且3x(M－5x)＝6x2y3＋N，下列正确的是(　C　)

A．M＝2xy3，N＝－15x B．M＝3xy3，N＝－15x2

C．M＝2xy3，N＝－15x2 D．M＝2xy3，N＝15x2

3．图中的四边形均为矩形，根据图形，仅用图中出现的字母写出一个正确的等式：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.

4．计算：

(1)2ab2·(3a2b－2ab－1)；

(2)(－2xy2)2·.

解：(1)原式＝2ab2·3a2b－2ab2·2ab－2ab2

＝6a3b3－4a2b3－2ab2.

(2)原式＝4x2y4·

＝4x2y4·y2－4x2y4·x2－4x2y4·xy

＝x2y6－2x4y4－6x3y5.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】如果(－3x)2的展开式中不含x3项，求n的值．

【互动探索】由原式的展开式中不含x3项可以推出什么？由此怎样求出n的值？

【解答】(－3x)2＝9x2·＝9x4－18nx3＋6x2.

因为展开式中不含x3项，

所以n＝0.

【互动总结】(学生总结，老师点评)单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时　多项式与多项式相乘

教学目标

一、基本目标

1．理解多项式乘多项式的运算法则，能正确计算多项式乘多项式．

2．进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力．

二、重难点目标

【教学重点】

多项式乘多项式的法则．

【教学难点】

探索多项式乘多项式的法则，注意多项式乘多项式中的“漏项”与“符号”问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P18～P19的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．(1)(－ab)·(－4b2)＝4ab3；

(2)－2x(x－3y)＝－2x2＋6xy；

(3)(2x2y)3·(－4xy2)＝－32x7y5；

(4)－2x(2x2－3x＋1)＝－4x3＋6x2－2x.

2．看图填空：

(1)大长方形的长是a＋b，宽是m＋n，面积等于(a＋b)(m＋n)；

(2)图中四个小长方形的面积分别是am、bm、an、bn，由此可得(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.

3．多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

4．(教材P18例3)计算：

(1)(1－x)(0.6－x)；

(2)(2x＋y)(x－y)．

解：(1)原式＝0.6－x－0.6x＋x2

＝0.6－1.6x＋x2.

(2)原式＝2x2－2xy＋xy－y2

＝2x2－xy－y2.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)(x＋2y)(5a＋3b)；

(2)(2x－3)(x＋4)；

(3)(x＋y)2；

(4)(x＋y)(x2－xy＋y2)．

【互动探索】(引发学生思考)根据多项式乘多项式的法则进行计算．

【解答】(1)原式＝x·5a＋x·3b＋2y·5a＋2y·3b＝5ax＋3bx＋10ay＋6by.

(2)原式＝2x2＋8x－3x－12＝2x2＋5x－12.

(3)原式＝(x＋y)(x＋y)＝x2＋xy＋xy＋y2＝x2＋2xy＋y2.

(4)原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)多项式乘多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；所得结果仍是多项式，且在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．

【例2】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.

【互动探索】(引发学生思考)确定运算顺序→化简代数式→把a＝－1，b＝1代入化简后的代数式求值．

【解答】(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)·(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.

【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n，则m、n的值分别为(　B　)

A．m＝5，n＝6　 B．m＝1，n＝－6

C．m＝1，n＝6　 D．m＝5，n＝－6

2．下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是(　A　)

A．(x－2)(x＋9)　 B．(x＋2)(x＋9)

C．(x－3)(x＋6)　 D．(x－1)(x＋18)

3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a＋3b)、宽为(2a＋b)的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为(　A　)

A．2,3,7　 B．3,7,2

C．2,5,3　 D．2,5,7

4．已知a2－a＋5＝0，则(a－3)(a＋2)的值是－11.

5．计算：

(1)(y＋1)(x－y)－x(y－x)；

(2)(－7x2－8y2)(－x2＋3y2)；

(3)(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．

解：(1)原式＝xy＋x－y2－y－xy＋x2

＝x2＋x－y2－y.

(2)原式＝7x4－21x2y2＋8x2y2－24y4

＝7x4－13x2y2－24y4.

(3)原式＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20

＝22a－23.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．

【互动探索】计算(ax2＋bx＋1)(3x－2)→由原式的展开式中不含x2项，也不含x项建立方程→确定a、b的值．

【解答】(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2＝3ax3＋(3b－2a)x2＋(3－2b)x－2.

因为积不含x2的项，也不含x项，

所以3b－2a＝0,3－2b＝0，

解得a＝，b＝.

即系数a、b的值分别是，.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据多项式乘多项式的法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，得出这一项系数等于零，由此列方程解答．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

字母表示：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn

练习设计

请完成本课时对应练习！