初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除6 完全平方公式教案设计

6　完全平方公式

第1课时　完全平方公式的认识

教学目标

一、基本目标

1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算．

2．了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观性．

二、重难点目标

【教学重点】

弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点．

【教学难点】

会用完全平方公式进行运算．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P23～P24的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．按要求列代数式：

(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；

(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2.

2．计算下列各式：

(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；

(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；

(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.

3．(1)两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍；

(2)两数差的平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.

4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

图1

图2

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】运用完全平方公式计算：

(1)(5－a)2;  (2)(－3m－4n)2；

(3)(－3a＋b)2;  (4)(a＋b＋c)2.

【互动探索】(引发学生思考)怎样运用完全平方公式进行计算？

【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.

(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.

(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.

(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)两数和(差)的平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是(　C　)

A．(－1＋x2y2)2　 B．(1＋x2y2)2

C．(－1＋x2y)2　 D．(－1－x2y)2

2．若a－b＝－，则a2－b(2a－b)＝(　D　)

A．－1　 B．1　

C．2　 D．3

3．已知m＋n＝4，则m2－n2＋8n＝16.

4．运用完全平方公式计算：

(1)(－3a＋2b)2；　(2)(a＋2b－1)2.

解：(1)原式＝(－3a)2＋2·(－3a)·2b＋(2b)2

＝9a2－12ab＋4b2.

(2)原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1

＝a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数．

请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．

(a＋b)1＝a＋b；

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；

则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.

【互动探索】由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，则(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.

【答案】20

【互动总结】(学生总结，老师点评)对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．

字母表示：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　完全平方公式的应用

教学目标

一、基本目标

1．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算．

2．提高学生综合运用公式进行整式的简便运算．

二、重难点目标

【教学重点】

运用完全平方公式进行一些数的简便运算．

【教学难点】

灵活运用平方差公式和完全平方公式进行整式的简便运算．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．知识回顾．

(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

(2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

2．利用完全平方公式计算：

(1)982;  (2)2032.

解：(1)982＝(100－2)2＝1002－2×2×100＋22＝10 000－400＋4＝9604.

(2)2032＝(200＋3)2＝2002＋2×3×200＋32＝40 000＋1200＋9＝41 209.

3．化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y)．

解：原式＝(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)

＝(x2－4y2)2

＝x4－8x2y2＋16y4.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．

【互动探索】(引发学生思考)先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值，求m的值的过程中还有什么需要注意的地方吗？

【解答】因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2是一个完全平方式，

所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，

所以m＋1＝±60，

所以m＝59或－61.

【互动总结】(学生总结，老师点评)两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．下列关于962的计算方法正确的是(　D　)

A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984

B．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024

C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136

D．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216

2．若|a－b|＝1，则b2－2ab＋a2的值为(　A　)

A．1　 B．－1

C．±1　 D．无法确定

3．若x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值是±4.

4．已知a＋b＝4，ab＝－5，求下列各式的值．

(1)a2＋b2;  (2)(a－b)2.

解：(1)因为a＋b＝4，ab＝－5，

所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×(－5)＝26.

(2)因为a＋b＝4，ab＝－5，

所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝42－4×(－5)＝36.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】计算：

(1)9982；　(2)20192－2019×4036＋20182.

【互动探索】(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算；(2)4036＝2×2018，由此可直接利用完全平方公式计算．

【解答】(1)原式＝(1000－2)2

＝1 000 000－4000＋4

＝996 004.

(2)原式＝20192－2×2019×2018＋20182

＝(2019－2018)2

＝1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，观察式子特点，考虑利用公式计算比较简便．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！