数学七年级上册第四章 几何图形初步综合与测试学案设计

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教学内容
《几何图形初步》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；
2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；
3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；
4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．
【高清课堂：图形认识初步章节复习 399079 本章知识结构 】
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、多姿多彩的图形
几何图形的分类
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
平面图形：三角形、四边形、圆等.
几何图形
要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.
2．立体图形与平面图形的相互转化
（1）立体图形的平面展开图：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．
要点诠释：
①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；
②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践.
（2）从不同方向看：
主（正）视图---------从正面看
几何体的三视图 左视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
要点诠释：
①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
（3）几何体的构成元素及关系
几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.
要点二、直线、射线、线段
直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：

要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
要点三、角
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3．角的互余互补关系
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
要点诠释：
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
4．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【典型例题】
类型一、概念或性质的理解
1.下列说法正确的是( )
A.射线AB与射线BA表示同一条射线. B.连结两点的线段叫做两点之间的距离.
C.平角是一条直线. D.若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3.
【答案】D
【解析】选项A中端点和延伸方向不同，所以是两条射线；选项B中两点之间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是图形；C中角和直线是两种不同的概念，不能混淆.
【总结升华】理解概念，掌握概念与概念的本质区别，并进行“比较”性分析和记忆．
举一反三：
【变式】下列结论中，不正确的是 （ ）.
A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短
C．等角的余角相等 D．等角的补角相等
【答案】B
1.下列判断错误的有( )
①延长射线OA；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA＝PB，则点P是线段AB的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA＝PB，只有当点P在线段AB上时，才是线段AB的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属性不同．
【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别．
举一反三：
【变式】下列说法正确的个数有( )
①若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．②互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角．③因为钝角没有余角，所以，只有当角为锐角时，“一个角的补角比这个角的余角大”这个说法才正确．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B 提示：③正确
类型二、立体图形与平面图形的相互转化
2．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．四棱锥B．四棱柱C．三棱锥D．三棱柱
【答案】A．
【总结升华】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
举一反三：
【变式】 下面形状的四张纸板，按图所示的线经过折叠可以围成一个直三棱柱的是( )．
【答案】C
3. 如图所示几何体的主视图是 ( )
【答案】A
【解析】从正面看球位于桌面右方，故选A．
【总结升华】从正面看所得到的图形是主视图，先得到球体的主视图，再得到长方体的主视图，再根据球体在长方体的右边可得出答案．
1.展开与折叠问题
2．将图1的正四角锥ABCDE沿着其中的四个边剪开后，形成的展开图为图2．判断下列哪一个选项中的四个边可为此四个边？（ ）
A．AC、AD、BC、DEB．AB、BE、DE、CD
C．AC、BC、AE、DED．AC、AD、AE、BC
【答案】A．
【解析】解：将图1的正四角锥ABCDE沿着其中的四个边剪开后，形成的展开图为图2．
四个边可为AC、AD、BC、DE．
【总结升华】本题考查的是正四角锥的展开图，考法较新颖，需要对正四角锥有充分的理解．
举一反三：
【变式】已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时，所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图(如图)是( )．
【答案】D
3. 将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4)放置于水平桌面上，如图1所示．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )．
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【解析】第一次变换：将骰子向右翻滚90°，正面向上的应当是5，右面的是3，正面是1，再在桌面上按逆时针方向旋转90°，面向上的应当是5，右面的是1，正面是4；第二次变换：将骰子向右翻滚90°，正面向上的应当是6，右面的是5，正面是4，再在桌面上按逆时针方向旋转90°，面向上的应当是6，右面的是4，正面是2；第三次变换：将骰子向右翻滚90°，正面向上的应当是3，右面的是6，正面是2，再在桌面上按逆时针方向旋转90°，正面向上的应当是3，右面的是2，正面是1，就回到了初始状态．所以每完成三次变换即可回到原来的位置，所以第十次变换后的状态与第一次变换后的状态相同，所以朝上一面的点数是5．
【总结升华】先找到规律再从上面看便得答案．
举一反三：
【变式1】沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )．

【答案】D
【高清课堂：图形认识初步章节复习399079 多姿多彩的图形例2】
【变式2】如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
【答案】D
类型三、互余互补的有关计算
4. 已知∠A＝53°27′，则∠A的余角等于( )．
A．37° B．36°33′ C．63° D．143°
【思路点拨】根据互为余角的定义求解．
【答案】B
【解析】∠A的余角为90°-53°27′＝36°33′．
【总结升华】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．
举一反三：
【变式】一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，则这个角为 度．
【答案】80．
解：设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），
由题意得，（180°﹣x）﹣（90°﹣x）=40°，
解得x=80°．
4. 如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于( )
A．330° B．315° C．310° D．320°
【答案】B
【解析】通过网格的特征首先确定∠4＝45°．由图形可知：∠l与∠7互余，∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．
【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关．
举一反三：
【变式】如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠COE等于64°，则∠AOD等于 度．
【答案】 26°．
解：∵OE平分∠BOC，∠COE=64°
∴∠BOC=2∠COE=128°
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣128=52°
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=∠AOC=×52°=26°．
类型四、方位角
5.如图，射线OA的方向是:________；射线OB的方向是:_________；射线OC的方向是:________ .
【思路点拨】OA表示的方向是北偏东，再加上其偏转的角度即可，同理OB、OC也是如此．
【答案】北偏东15°；北偏西40°；南偏东45°．
【解析】根据方位角的定义解答．
【总结升华】熟知方位角的定义结合图形便可解答．
5.用A、B、C分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35°，则∠ACB等于( )
A．35° B．55° C．60° D．84°
【思路点拨】根据方位角的概念，分清方向，正确地画出图形，即可求解．
【答案】B
【解析】根据题意画出图形如下：
∵∠ACB与35°互余，∴∠ACB=90°－35°＝55°
【总结升华】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解答此类题的关键．
举一反三：
【变式】考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图(1)中画出射线OA、OB，并计算∠AOB的度数．
【答案】
解：如图(2)，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA；以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°-(45°+60°)＝75°．
类型五、钟表上的角
6. 钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了________度．
【答案】90
【解析】根据钟表的特征；整个钟面是360°，分针每5分钟旋转30°，所以经过15分钟旋转了90°．
【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
6. 如图所示，B、C是线段AD上的两点，且，AC＝35cm，BD＝44cm，求线段AD的长．
【答案与解析】
解：设AB＝x cm，则
或
于是列方程，得
解得：x＝18，即AB＝18(cm)
所以BC＝35-x＝35-18＝17(cm)
(cm)
所以AD＝AB+BC+CD＝18+17+27＝62(cm)
【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解．
7. 同一直线上有A、B、C、D四点，已知AD＝DB，AC＝CB，且CD＝4cm，求AB的长．
【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小．
【答案与解析】
解：利用条件中的AD＝DB，AC＝CB，设DB＝9x，CB＝5y，
则AD＝5x，AC＝9y，分类讨论：
（1）当点D，C均在线段AB上时，如图所示：
∵ AB＝AD+DB＝14x，AB＝AC+CB＝14y，∴ x＝y
∵ CD＝AC－AD＝9y－5x＝4x＝4，∴ x＝1，∴ AB＝14x＝14(cm)．
（2）当点D，C均不在线段AB上时，如图所示：方法同上，解得(cm)．
（3）如图所示，当点D在线段AB上而点C不在线段AB上时，方法同上，解得(cm)．
（4）如图所示，当点C在线段AB上而点D不在线段AB上时，方法同上，解得(cm)．
综上可得：AB的长为14cm，cm， cm．
【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决的方法，注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解．
类型六、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
7. 如图所示，在射线OF上，顺次取A、B、C、D四点，使AB:BC:CD＝2:3:4，又M、N分别是AB、CD的中点，已知AD＝90cm，求MN的长．
【思路点拨】有关比例问题，可设每一份为x，列方程求解，再利用中点定义，找出线段的和、差．
【答案与解析】
解：设线段AB，BC，CD的长分别是2x cm，3x cm，4x cm，
∵AB+BC+CD＝AD＝90 cm，∴ 2x+3x+4x＝90，x＝10，
∴AB＝20 cm， BC＝30 cm， CD＝40 cm，
∴MN＝MB+BC+CN＝AB+BC+CD＝10+30+20＝60(cm)．
【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时，可根据比设未知数x，用x的式子表示相关的线段的长度，列方程求出x的值，进而求出线段的长．
举一反三：
【变式】如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度数．
【答案】
解：设∠AOB的度数为2x，则∠AOD的度数为7x．
由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，
可得7x＝2x+100°．
解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．
所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°=60°，
∠COD＝∠BOD-∠BOC＝100°-60°＝40°．
8.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．
(1)若∠AOB＝18°，求∠AOC与∠BOC的度数；
(2)若∠AOB＝m，求∠AOC与∠BOC的度数．
【答案与解析】
解：(1)分两种情况：
①OC在∠AOB的外部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x
得∠AOB＝x，即x＝18°
所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°
②OC在∠AOB的内部，可设∠AOC=5x，则∠BOC＝4x
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x
所以9x＝18°， 则x＝2°
所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°
（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，则∠AOC＝，∠BOC＝，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．
【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．
举一反三：
【变式1】已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC＝3cm，求线段AC的长．
【答案】
解：分两种情况：
(1)如图(1)，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)；
(2)如图(2)，AC＝AB+BC＝8+3＝11(cm)．
所以线段AC的长为5cm或11cm．
【变式2】下列判断正确的个数有 ( )
①已知A、B、C三点，过其中两点画直线一共可画三条
②过已知任意三点的直线有1条
③三条直线两两相交，有三个交点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【高清课堂：图形认识初步章节复习399079 类比思想例5】
9.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.

(2)如图，在∠AOD的内部有两条射线OB、OC，则图中共有 个角.
【答案】（1）6； （2）6.
【解析】（1）以A为端点的线段有3条，同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条，又因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：（条）.
（2）以射线OA为一边的角有3个，同样以OB，OC，OD为一边的角也各有3个，又因为所有角均重复一次，所以共有角的个数：（个）.
【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容.
类型六.钟表上的角
8. 如图所示，时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次重合．
【答案与解析】
解：设时针转过的度数为x°时，与分针第一次重合，依题意有
12x＝90+x
解得
答：时针转过时，与分针第一次重合．
【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及问题来解决．
【巩固练习一】
一、选择题
1．从左边看图1中的物体，得到的是图2中的( )．
2．如图所示是正方体的一种平面展开图，各面都标有数，则标有数“-4”的面与其对面上的数之积是( )．
A．4 B．12 C．-4 D．0
3．在下图中，是三棱锥的是( )．
4．如图所示，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么图中相等的角的对数是( )．
A．3 B．4 C．5 D．7
5．如图所示的图中有射线( )．
A．3条 B．4条 C．2条 D．8条
6．在地理课堂上，老师组织学生进行寻找北极星的探究活动时，李佳同学使用了如图所示的半圆仪，则下列四个角中，最可能和∠AOB互补的角为（ ）
A．B．C．D．
7．十点一刻时，时针与分针所成的角是( )．
A．112°30′ B．127°30′ C．127°50′ D．142°30′
8．在海面上有A和B两个小岛，若从A岛看B岛是北偏西42°，则从B岛看A岛应是( )．
A．南偏东42° B．南偏东48° C．北偏西48° D．北偏西42°
二、填空题
9．把一条弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是________．
10．已知∠α＝30°18′，∠β＝30.18°，∠γ＝30.3°，则相等的两角是________．
11．用平面去截一个几何体，如果得出的横截面是圆形，那么被截的几何体是________(填一个答案即可)．
12．如图是一个正方体的展开图，和C面的对面是 面．
13．若∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3，其根据是________．
14．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度．
15.一副三角板如图摆放，若∠BAE=135 °17′，则∠CAD的度数是 .
16.如下图，点A、B、C、D代表四所村庄，要在AC与BD的交点M处建一所“希望小学”，请你说明选择校址依据的数学道理 .
三、解答题
17. 如图，已知点C为AB上一点，AC=12cm，CB=AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
18．如图所示，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．
19．在一张城市地图上，如图所示，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水染黑，具体位置看不清，但知道图书馆在学校的北偏东45°方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗?
20.如图所示，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2．在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原来的结论“CD＝2”是否仍然成立?请帮小明画出图形并说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
【解析】从左边看，圆台被遮住一部分，故选B．
2．【答案】B
【解析】由正方体的平面展开图可知，标有数-4的面的对面是标有数-3的面，故两个数之积为12．
3．【答案】B
【解析】A选项是四棱锥，B选项是三棱锥，C、D两项都是三棱柱，故选B．
4．【答案】C
【解析】因为∠COB＝90°，所以∠BOD+∠COD＝90°，即∠BOD＝90°-∠COD．因为∠DOE＝90°，所以∠EOC+∠COD＝90°，即∠EOC＝90°-∠COD，所以∠BOD＝∠EOC．同理∠AOE＝∠COD．又因为∠AOC＝∠COB＝∠DOE＝90°(∠AOC＝∠COB，∠AOC＝∠DOE，∠COB＝∠DOE)，所以图中相等的角有5对，故选C．
5．【答案】D
6.【答案】D．
【解析】根据图形可得∠AOB大约为135°，∴与∠AOB互补的角大约为45°，
综合各选项D符合．
7．【答案】D
【解析】一刻是15分钟，十点一刻，即10点15分时，时针与分针所成的角为：
＝142.5°＝142°30′，故选D．
8．【答案】A
【解析】方位角存在这样的规律：甲、乙两地之间的方位角，方向相反，角度相等．由此可知从B岛看A岛的方向为南偏东42°，故选A．
二、填空题
9. 【答案】两点之间，线段最短
【解析】本题是应用线段的性质解释生活中的现象，由于这是两点之间连线长度的比较，符合“两点之间，线段最短”．
10.【答案】∠α和∠γ
【解析】，于是∠α＝∠γ．
11.【答案】圆柱(圆锥、圆台、球体等)
【解析】答案不唯一，例如用平面横截圆锥即可得到圆形．
12.【答案】F．
【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“B”与面“D”相对，面“A”与面“E”相对，“C”与面“F”相对.
13.【答案】同角的余角相等
【解析】根据余角的性质解答问题．
14.【答案】60度或180
【解析】先求出∠α=60°，∠β=120°；再分∠α在∠β内部和外部两种情况来讨论．
15.【答案】44°43′；
【解析】∠BAD＋∠CAE＝180°，即∠BAE＋∠CAD＝180°，所以
∠CAD＝180°－135°17′＝44°43′．
16.【答案】两点之间，线段最短．
三、解答题
17.【解析】
解：∵AC=12cm，CB=AC，
∴CB=6cm，
∴AB=AC+BC=12+6=18cm，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=9cm，
∵D为AC的中点，
∴DC=AD=6cm，
所以DE=AE﹣AD=3cm．
18．【解析】
解：设∠AOC＝x°，则∠COB＝2x°．
因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠AOB＝ (∠AOC+∠BOC)＝x°．
又因为∠DOC＝∠AOD-∠AOC，所以．解得x＝38，
所以∠AOB＝3x°＝114°．
19．【解析】
解：如图所示．在医院A处，以正南方向为始边，逆时针转60°角，得角的终边射线AC．在学校B处，以正北方向为始边，顺时针旋转45°角，得角的终边射线BD．AC与BD的交点为点O，则点O就是图书馆的位置．
20.【解析】
解：原有的结论仍然成立，理由如下：
当点O在AB的延长线上时，如图所示，CD＝OC－OD＝(OA－OB)＝AB＝．
【巩固练习】
一、选择题
1．分析下列说法，正确的有（ ）
①长方体、正方体都是棱柱；②三棱柱的侧面是三角形；③圆锥的三视图中：主视图、左视图是三角形，俯视图是圆；④球体的三种视图均为同样大小的图形；⑤直六棱柱有六个侧面、侧面为长方形．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
2. 在4个图形中，只有一个是由如图所示的纸板折叠而成，请你选出正确的一个（ ）．
3．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
4.从点O出发有五条射线，可以组成的角的个数是( )
A. 4个 B. 5个 C. 7个 D. 10个
5.用一副三角板画角，下面的角不能画出的是（ ）
A．15°的角 B．135°的角 C．145°的角 D．150°的角
6．如图所示，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，则图中等于∠BOE的角共有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7. 已知：线段AC和BC在同一条直线上，如果AC=5cm，BC=3cm，线段AC和BC中点间的距离是（ ）
A．6 B．4 C．1 D．4或1
8. 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（ ）
二、填空题
9．把一个周角7等分，每一份是________的角（精确到秒）．
10．时钟在6时30分时，时针与分针的夹角等于 ．
11．如图是用一样的小立方体摆放的一组几何体，观察该组几何体并探索：照这样摆下去，第五个几何体中共有_______个小立方体，第n个几何体中共有_______个小立方体．
12．如图所示的是由几个相同的小正方体搭成的几何体从不同的方向看所得到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是_______．
13.如图，点B、O、C在同一条直线上，∠AOB=90°，∠AOE=∠BOD，下列结论：
①∠EOD=90°；②∠COE=∠AOD；③∠COE=∠BOD；④∠COE+∠BOD=90°.
其中正确的是 .
14.如图，∠AOB是钝角，OC、OD、OE是三条射线，若OC⊥OA，OD平分∠AOB,OE平分∠BOC，那么∠DOE的度数是 ．
15．已知：A、B、C三点在一条直线上，且线段AB=15cm，BC=5cm，则线段AC=_______。
16．如图，平面内有公共端点的六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…， 则“17”在射线 上；“2007”在射线 上。
三、解答题
17．钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？
18.
19.
20. 已知，如图，点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=14cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）在（1）中，如果AC=acm，BC=bcm，其它条件不变，你能猜测出MN的长度吗？请说出你发现的结论，并说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B
【解析】①④⑤正确.
2.【答案】D
【解析】由展开图可知：长方体的上面和下面是阴影，由此可以判断A和B是错误的，展开图的两个侧面是白色的，由此可以判断C也是错误的，只有答案D正确．
3.【答案】D．
【解析】A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确.
4.【答案】D
【解析】(个) ．
5.【答案】C
【解析】用三角板能画出的角应该是15的倍数，因为145°不是15的倍数，所以选B．
6.【答案】C
【解析】等于∠BOE的角共有3个，分别是∠AOD，∠DOE，∠COF，故选C．
7.【答案】D
【解析】因为线段AC、BC的具体位置不明确，所以分点B在线段AC上与在线段AC的延长线上两种情况进行求解．
8.【答案】B
【解析】①6条直线相交于一点时交点最少，所以；
②6条直线任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，又因为任意三条直线不过同一点，∴ 此时交点为：．
二、填空题
9.【答案】51°25′43″
【解析】本题考查了度分秒的换算，注意精确到某一位，即是对下一位进行四舍五入．
10.【答案】15°．
【解析】时钟在6时30分时，分针指向6，∵时针与6之间的夹角的度数是：
360°÷12×=30=15°∴时针与分针的夹角等于15°．
11.【答案】25， n2
【解析】第n个几何体中共有立方体的个数：．
12.【答案】4
【解析】由从上面看所得到的图形可确定底层有3个小正方体，由从正面看和从左面看所得到的图形可确定第二层有1个小正方体，则共有3+1＝4(个)小正方体．
13.【答案】①②④
14.【答案】45°
【解析】设∠BOC＝x，则∠DOE＝∠BOD－∠BOE＝．
15.【答案】20cm或10cm；
【解析】分点C在点B的左端和右端两种情况分类讨论．
16.【答案】OE,OC．
三、解答题
17．【解析】
解：设经过x分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分．
6x-360（x-1）=360（x-1）-0.5x，
解得：x=（分）．
答：经过分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分．
18．【解析】
19．【解析】
20.【解析】
解：（1）∵AC=6cm，BC=14cm，
点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=3cm，NC=7cm，
∴MN=MC+NC=10cm；
（2）MN=（a+b）cm．理由是：
∵AC=acm，BC=bcm，
点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=cm，NC=cm，
∴MN=MC+NC=（a+b）cm．