初中数学华师大版八年级下册17.3 一次函数综合与测试教案及反思

17．3　一次函数

1　一次函数(第1课时)

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握一次函数、正比例函数的一般形式．

2．运用一次函数、正比例函数知识解决实际问题．

二、重难点目标

【教学重点】

一次函数、正比例函数的一般形式．

【教学难点】

探索实际问题中的一次函数、正比例函数关系．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P43～P45的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．若函数的关系式是用自变量的一次整式表示的，我们称它为一次函数．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数．

2．下列函数中，一次函数是(　B　)

A．y＝8x2　 B.y＝x＋1

C．y＝　 D．y＝

3．下面两个变量是正比例函数关系的是 (　D　)

A．正方形的面积和它的边长

B．变量x增加，变量y也随之增加

C．矩形的一组对边的边长固定，它的周长和另一组对边的边长

D．圆的周长与它的半径

4．已知y＝(k－1)x＋k2－1，当k≠1时，它是一次函数；当k＝－1时，它是正比例函数．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？

(1)y＝－x－4；　　　(2)y＝5x2－6；

(3)y＝2πx;          (4)y＝－；

(5)y＝；           (6)y＝8x2＋x(1－8x)．

【互动探索】(引发学生思考)一次函数的表达式是什么形式？正比例函数在一次函数形式的基础上又有什么特别条件？

【解答】(1)是一次函数，不是正比例函数．

(2)不是一次函数，也不是正比例函数．

(3)是一次函数，也是正比例函数．

(4)是一次函数，也是正比例函数．

(5)不是一次函数，也不是正比例函数．

(6)是一次函数，也是正比例函数．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．

【例2】已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.

(1)若它是一次函数，求m的值；

(2)该函数可能是正比例函数吗？若是正比例函数，求m的值．

【互动探索】(引发学生思考)要使函数是一次函数，则x的指数和系数应分别满足什么条件？若是正比例函数，则还需加上什么条件？

【解答】(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，

所以m2－24＝1，且m－5≠0，

所以m＝±5，且m≠5，得m＝－5，

所以当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．

(2)若y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是正比例函数，

则m2－24＝1，且m－5≠0，且m＋1＝0，

所以m＝±5，且m≠5，且m＝－1，

则这样的m不存在，

所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．

【互动总结】(学生总结，老师点评)函数y＝kxm＋b是一次函数，则k≠0，且自变量的次数m＝1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．对于函数y＝2x－1，当自变量增加m时，相应的函数值增加(　A　)

A．2m　 B.2m－1

C．m　 D．2m＋1

2．已知一次函数y＝2x＋1，当x＝0时，函数y的值是1.

3．乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，一列火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米/时，则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式是s＝600－58t.

4．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？

(1)小红去商店买笔记本，每本笔记本2.5元，小红所付款y(元)与买笔记本的本数x(本)之间的关系；

(2)有一个长为120米、宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，y与x之间的关系．

解：(1)y＝2.5x，既是一次函数，又是正比例函数．

(2)y＝－x＋20，是一次函数，但不是正比例函数．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用以生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：

煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．

(1)写出m与x的关系式；

(2)写出y与x的函数关系式．(不要求写自变量的取值范围)

【互动探索】(1)因为矿石的总量一定，当生产的甲产品的数量x变化时，那么乙产品的数量m将如何变化？

(2)要写出y与x的函数关系式，题中的等量关系是什么？

【解答】(1)因为4m＋10x＝300，

所以m＝.

(2)生产1吨甲产品获利4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生产1吨乙产品获利5500－4×200－8×400－500＝1000(元)，所以y＝600x＋1000m.将m＝代入，得y＝600x＋1000×，即y＝－1900x＋75 000.

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

一次函数：y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)

正比例函数：y＝kx(k≠0)

练习设计

请完成本课时对应练习！

2　一次函数的图象(第2课时)

教学目标

一、基本目标

1．认识一次函数和正比例函数的图象，会画一次函数和正比例函数的图象，掌握其函数图象的特点．

2．利用数形结合思想，得出一次函数和正比例函数图象的关系，能进行相互间的转化．

二、重难点目标

【教学重点】

一次函数和正比例函数图象的特点和画法．

【教学难点】

一次函数和正比例函数图象的关系．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P45～P48的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，通常也称为直线y＝kx＋b.因此，画一次函数的图象时只要确定了两个点，再作过两点的直线就可以了．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线．因此，画正比例函数的图象时，只要先描出原点以外的任意一点，过该点和原点画直线即可．

2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以看作由正比例函数y＝kx(k≠0)的图象上下平移得到的：当b>0时，把正比例函数y＝kx的图象向上平移b个单位即得一次函数y＝kx＋b的图象；当b<0时，把正比例函数y＝kx的图象向下平移|b|个单位即得一次函数y＝kx＋b的图象．

3．下列函数的图象经过原点的是(　B　)

A．y＝2x＋1　 B.y＝x

C．y＝2x－3　 D．y＝

4．一次函数y＝－3x－9的图象与x轴的交点坐标是(－3，0)，与y轴的交点坐标是(0，－9)．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系．

(1)y＝－2x；　　　(2)y＝－2x－4.

【互动探索】(引发学生思考)一次函数图象是一条直线，怎样作出它的图象呢？

【解答】列表如下：

描点、连线，得两函数图象如下：

由图象可知，将直线y＝－2x向下平移4个单位长度即得直线y＝－2x－4.

【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数的图象是直线，所以根据两点确定一条直线，只要找出坐标满足函数关系式的两个点，作过这两个点的直线就是所要求作的一次函数的图象，此方法也称为两点法．通常选择两个特殊的点，即直线y＝kx＋b与x轴的交点和与y轴的交点(0，b)．

【例2】某同学带10元钱去文具店买铅笔，每支铅笔定价1.50元，写出剩余的钱y(元)与所买铅笔x(支)之间的函数关系式，并在图中画出函数的图象．

【互动探索】已知总钱数和铅笔的单价，根据“剩余的钱＝总钱数－买铅笔花的钱”可得函数关系式，如何画出其图象？

【解答】根据题意，得剩余的钱y(元)与所买铅笔x(支)之间的函数关系式为y＝10－1.5x(x是正整数)．

因为10－1.5x≥0，且x是正整数，所以x≤6且为正整数，所以图象应是6个离散的点，如题图所示．

【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数的图象可能是一条直线，也可能是一条线段，还可能是一条射线、一条折线或离散的点，这全部取决于自变量的取值范围，因此在解题时应具体问题具体分析．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是 (　C　)

2．如果将直线l1：y＝2x－2平移后得到直线l2：y＝2x，那么下列平移过程正确的是 (　C　)

A．将l1向左平移2个单位

B．将l1向右平移2个单位

C．将l1向上平移2个单位

D．将l1向下平移2个单位

3．某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费y2元，观察下列图象可知，当x>1500时，选用个体车较合算．

4．已知一次函数y＝x＋2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.

(1)求点A、B的坐标，并在如图的坐标系中画出函数y＝x＋2的图象；

(2)若点C(2，m)在函数y＝x＋2的图象上，求点C到x轴的距离．

解：(1)在y＝x＋2中，令y＝0，得x＝－4；令x＝0，得y＝2，∴A(－4，0)、B(0，2)．

其图象如题图所示．

(2)∵点C(2，m)在函数y＝x＋2的图象上，∴m＝×2＋2＝3，∴点C到x轴的距离为3.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，直线y＝－2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．

【互动探索】先根据直线y＝－2x＋3求出点A、B的坐标，再由OP＝2OA求出点P的坐标，进而求出△ABP的面积．

【解答】在y＝－2x＋3中，令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝3，

∴A、B(0，3)．

∵OP＝2OA，

∴P(3，0)或(－3，0)，

∴AP＝或，

∴S△ABP＝AP·OB＝××3＝，或S△ABP＝AP·OB＝××3＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时注意点P的位置要分情况讨论，不要漏解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

一次函数的图象

练习设计

请完成本课时对应练习！

3　一次函数的性质(第3课时)

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握一次函数的性质．

2．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．

二、重难点目标

【教学重点】

一次函数的性质．

【教学难点】

根据一次函数的图象特征理解并掌握一次函数的性质．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P48～P50的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)有下列性质：

(1)若k>0，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

(2)若k<0，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．

2．下列函数中，y的值随x的值增大而增大的函数是 (　C　)

A．y＝－2x　 B．y＝－2x＋1

C．y＝x－2　 D．y＝－x－2

3．点A(－1，y1)、B(3，y2)是直线y＝kx＋b(k<0)上的两点，则y1－y2>0.(填“>”或“<”)

4．已知一次函数y＝(2m－1)x＋m＋5，当m满足什么条件时，函数值y随x的增大而减小？

解：由题意，得2m－1<0，解得m<.

∴当m<时，函数值y随x的增大而减小．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】已知一次函数y＝(2＋m)x＋(n－4)．

(1)m为何值时，y随x的增大而减小？

(2)m、n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？

(3)m、n为何值时，函数图象过原点？

【互动探索】(引发学生思考)(1)因为k<0时，y随x的增大而减小，故2＋m<0；(2)要使直线与y轴的交点在x轴的下方，必有2＋m≠0，同时n－4<0；(3)直线过原点是正比例函数的特征，即2＋m≠0且n－4＝0.

【解答】(1)依题意，得2＋m<0，即m<－2.

故当m<－2时，y随x的增大而减小．

(2)依题意，得解得n<4且m≠－2.

故当m≠－2且n<4时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方．

(3)依题意，得解得n＝4且m≠－2.

故当m≠－2且n＝4时，函数图象过原点．

【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，k的符号决定直线上升或下降，b的符号决定直线与y轴的交点位置，在考虑b的值时，同时要考虑k≠0这一隐含条件．在利用一次函数的性质解决问题时，常常结合方程和不等式求解．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．一次函数y＝x－1的图象经过的象限是 (　D　)

A．第一、二、三象限

B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限

D．第一、三、四象限

2．一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m、n的取值范围是 (　D　)

A．m>0，n<2　 B.m>0，n>2

C．m<0，n<2　 D．m<0，n>2

3．已知直线y＝x＋5与一条经过原点的直线l平行，则直线l的函数表达式为y＝x.

4．你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？

(1)y＝－2x＋1；(2)y＝x－1；(3)y＝x；(4)y＝－x.

解：四个图象对应的函数关系式依次为(3)、(1)、(2)、(4)．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】两个一次函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是(　　)

【互动探索】A、C选项中，由y1的图象知a>0，b<0，则y2的图象应过第一、二、四象限，故A错误，C正确；B选项中，由y1的图象知a>0，b>0，则y2的图象应过第一、二、三象限，故B错误；D选项中，由y1的图象知a<0，b>0，则y2的图象应过第一、三、四象限，故D错误．故选C.

【答案】C

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题目时要注意前后两个函数中同一字母的取值与符号都相同．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！

4　求一次函数的表达式(第4课时)

教学目标

一、基本目标

理解并掌握用待定系数法求一次函数的表达式．

二、重难点目标

【教学重点】

用待定系数法求一次函数的表达式．

【教学难点】

待定系数法．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P50～51的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．待定系数法：先设待求函数表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法．

2．已知正比例函数图象经过点(2，－4)，其解析式为(　B　)

A．y＝2x　 B.y＝－2x

C．y＝x　 D．y＝－x

3．已知y与x＋1成正比例，比例系数是2，则y与x的函数关系式是y＝2x＋2.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】已知一次函数的图象经过(0，5)，(2，－5)两点，求一次函数的表达式．

【互动探索】(引发学生思考)先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)，(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程组即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

【解答】设一次函数的表达式为y＝kx＋b.

根据题意，得解得

∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．一次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．已知正比例函数y＝kx，当x＝－3时，y＝6，那么该正比例函数应为(　B　)

A．y＝x　 B.y＝－2x

C．y＝－x　 D．y＝2x

2．一次函数的图象经过点(2，1)和(－1，－3)，则它的表达式为 (　D　)

A．y＝x－　 B.y＝x－

C．y＝x＋　 D．y＝x－

3．已知y＝kx－4，当x＝－2时，y＝0，则k＝－2.

4．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过第一、二、四象限，点A(0，m)在l上．

(1)在图中标出点A；

(2)若m＝2，且l过点(－3，4)，求直线l的表达式．

解：(1)如题图所示．

(2)设直线l的表达式为y＝kx＋b.把(0，2)，(－3，4)分别代入，得解得故直线l的表达式为y＝－x＋2.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.

【互动探索】从表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍……从中怎样得到函数关系式？

【解答】由表中信息，得y＝(8＋0.4)x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21，所以数量是2.5千克时的售价是21元．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题要根据所给的条件建立函数模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，进而根据函数的表达式作答．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！