数学九年级下册26.3 实践与探索教案设计

26．3　实践与探索

第1课时　二次函数的应用

教学目标

一、基本目标

会运用二次函数的图象与性质解决生活中的实际问题，培养分析和解决问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

利用二次函数解决实际问题的步骤．

【教学难点】

读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，当x＝－时，函数值y有最小值，其值为；若a＜0，当x＝－时，函数值y有最大值，其值为.

2．建立二次函数模型，解决实际问题的一般步骤：

(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系；

(2)把已知条件转化为点的坐标；

(3)合理设出所求函数的解析式；

(4)利用待定系数法求出函数解析式；

(5)根据求得的解析式进一步分析判断并进行相关的计算．

3．常见的二次函数模型：

直观图象式：直接由物体运动的轨迹，如喷出的水流、涵洞等建立数学模型解决问题．

情景应用式：根据实际问题创设情景，由所提供的条件建立数学模型解决问题．

几何综合式：与几何知识结合并运用其性质建立数学模型解决问题．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为1.25 m，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下，如图1所示．

根据设计图纸已知：在图2所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋.

(1)喷出的水流距水面的最大高度是多少？

(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？

【互动探索】(引发学生思考)在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点(最大高度)、与x轴、y轴的交点，解答题目的问题．

【解答】(1)∵y＝－x2＋2x＋＝－(x－1)2＋2.25，

∴顶点是(1,2.25)，

故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米．

(2)解方程－x2＋2x＋＝0，

得x1＝－，x2＝，

∴点B的坐标为，

∴OB＝.

故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外．

【互动总结】(学生总结，老师点评)这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，利用抛物线的性质即可解决问题．

【例2】一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图．现测得当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m?

【互动探索】(引发学生思考)根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y＝ax2.根据AB＝1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，那么B点坐标应该是(0.8，－2.4)，利用待定系数法即可求出函数的解析式，继而求出点D的坐标及ED的长．

【解答】设抛物线的函数解析式为y＝ax2(a＜0)．

由题意，得点B在抛物线上，且B(0.8，－2.4)，

将B(0.8，－2.4)代入y＝ax2(a＜0)，

解得a＝－，

∴所求函数解析式为y＝－x2.

设点D的坐标为(x，－0.9)(x>0)，

则有－0.9＝－x2，解得x＝，

故DE宽度为＜1，

∴涵洞宽ED不超过1 m.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？

解：球出边线了．

【教师点拨】抛物线的解析式为y＝－(x－9)2＋5.5.代入C点的纵坐标0，得x≈20.12＞18，所以球出边线了．

2．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管(如图1)做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图2所示的坐标系进行计算．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)计算所需不锈钢管立柱的总长度．

图1

图2

解：(1)y＝－x2＋.　(2)80米．

3．如图，一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；

(2)该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

解：(1)抛物线的表达式为y＝－0.2x2＋3.5.(2)0.2 m.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】某跳水运动员在进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时运动员在距水面高度5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．

(1)求这条抛物线的函数关系式；

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3 m，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．

【互动探索】(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式．(2)要判断会不会失误，只要看运动员是否在距水面高度5 m以前完成规定动作，于是只要求运动员在距池边水平距离为3 m时的纵坐标即可．

【解答】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c.

由题意知，O、B两点的坐标依次为(0,0)、(2，－10)，且顶点A的纵坐标为，

∴

解得或

∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴－＞0，

∴a＝－，b＝，c＝0.

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x.

(2)此次试跳会出现失误．理由如下：

由题意知，横坐标为3.6－2＝1.6，

即当x＝1.6时，y＝×2＋×＝－，

此时运动员距水面的高为10－＝＜5.

因此，此次试跳会出现失误．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式的关系

教学目标

一、基本目标

1．经历探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系的过程，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．

2．理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝h(h是实数)交点的横坐标．

二、重难点目标

【教学重点】

二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．

【教学难点】

用图象法解一元二次不等式．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P28的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．

3．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？

(1)方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1；

(2)方程x2－6x＋9＝0的根是x1＝x2＝3；

(3)方程x2－x＋1＝0的根的情况是无实根.

4．若二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是没有交点.

5．给出三个二次函数：①y＝x2－3x＋2；②y＝x2－x＋1；③y＝x2－2x＋1.

它们的图象分别为

(1)观察图象与x轴的交点个数，分别是2个、0个、1个．

(2)你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？

图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程的根的情况有关．

(3)能否利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象寻找方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解？

能．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】画出函数y＝x2－x－的图象，根据图象回答下列问题．

(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系？

(3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0?

【互动探索】(引发学生思考)数形结合法：画出函数图象→根据所画图象解决问题．

【解答】函数图象如图所示：

(1)图象与x轴的交点坐标为、，与y轴的交点坐标为.

(2)当x＝－或x＝时，y＝0，x的取值与方程x2－x－＝0的解相同．

(3)当x＜－或x＞时，y＞0；当－＜x＜时，y＜0.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题常用数形结合的思想方法：(1)二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，请你根据图象求出方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－3，x2＝1.

2．若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，求c的取值范围．

解：∵二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，∴x2－2x＋c＝0的判别式Δ＜0，即b2－4ac＝4－4c＜0，解得c＞1.

3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根．

解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点是(1，－1)，∴当y＝－1，即ax2＋bx＋c＝－1时，x1＝x2＝1，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根为x1＝x2＝1.

4．已知二次函数y＝2x2－4x－6.

(1)此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；

(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？

(3)通过观察图象，在x＞0及当y≥－6时，试求x的取值范围．

解：(1)∵y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，∴图象开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－8)．画出的函数图象如下图所示：

(2)∵对称轴x＝1，图象开口向上，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．

(3)由图知，点(0，－6)关于x＝1的对称点为(2，－6)，∴在x＞0及当y≥－6时，x的取值范围为x≥2.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知二次函数y＝x2－(a－1)x＋a－2，其中a是常数．

(1)求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；

(2)当a＝4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B、D两点，与y轴交于点C，求四边形ABCD的面积．

【互动探索】(1)要证明二次函数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断方法．(2)由a＝4→确定A、B、C、D的坐标→求四边形ABCD的面积．

【解答】(1)证明：令y＝x2－(a－1)x＋a－2＝0.

∵Δ＝[－(a－1)]2－4(a－2)＝(a－3)2≥0，

∴方程x2－(a－1)x＋a－2＝0有实数根，

∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．

(2)由题可知，当a＝4时，y＝x2－3x＋2.

配方，得y＝x2－3x＋2＝2－，

∴A.

当y＝0时，x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.

∴B(1,0)、D(2,0)．

当x＝0时，y＝2，

∴C(0,2)，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝＋1＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的情况即可．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：

2.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为(x0,0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

练习设计

请完成本课时对应训练！

第3课时　利用二次函数的图象求一元二次方程的根

教学目标

一、基本目标

1．掌握方程与函数间的转化．

2．掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．

二、重难点目标

【教学重点】

能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

【教学难点】

用图象法求解一元二次方程．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P29的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，这样求出的根是准确值吗？由于作图或观察可能存在误差，由二次函数的图象求得一元二次方程的根，一般是近似值．

2．根据二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的近似解的方法：

(1)直接作出函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根；

(2)先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＋bx＝－c，再分别作抛物线y1＝ax2＋bx和直线y2＝－c，则两图象交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根；

(3)先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＝－bx－c，再分别作出抛物线y1＝ax2和直线y2＝－bx－c，则两图象交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．

3．在难以读出交点的坐标时，我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的近似根．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】利用函数的图象，求下列方程的解：

(1)x2＋2x－3＝0；　(2)2x2－5x＋2＝0.

【互动探索】(引发学生思考)将一元二次方程转化为两个函数→利用图象法求交点坐标即可．

【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝－2x＋3的图象，

得到它们的交点(－3,9)、(1,1)，如图1，

则方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.

(2)先把方程2x2－5x＋2＝0化为x2－x＋1＝0，然后在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝x－1的图象，如图2，

得到它们的交点、(2,4)，

则方程2x2－5x＋2＝0的解为x1＝，x2＝2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)一般地，求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解时，可先将方程ax2＋bx＋c＝0化为x2＋x＋＝0，然后分别画出函数y＝x2和y＝－x－的图象，得出两函数图象的交点，交点的横坐标即为方程的解．

【例2】利用函数的图象，求下列方程组的解：

(1)(2)

【互动探索】(引发学生思考)(1)可以通过直接画出函数y＝－x＋和y＝x2的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；(2)也可以同样解决．

【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝－x＋的图象，如图1，

得到它们的交点、(1,1)，

则方程组的解为

(2)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2＋2x和y＝3x＋6的图象，如图2，得到它们的交点(－2,0)、(3,15)，则方程组的解为

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意分别画出两函数的图象，由函数图象的交点即可得出方程组的解，考查的是用数形结合的方法求方程组的解，解答此题的关键是正确画出函数的图象，找出两图象的交点坐标．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下：

则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x满足条件(　C　)

A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4

C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6

2．如图，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y2＝kx＋b(k≠0)的图象交于A(－2,4)、B(8,2)，求能使y1<y2成立的x的取值范围．

解：－2＜x＜8.

3．用函数的图象求下列方程的解：

(1)x2－3x＋2＝0；

(2)－x2－6x－9＝0.

解：(1)画图略，方程的解是x1＝1，x2＝2.

(2)画图略，方程的解是x1＝x2＝－3.

4．利用函数的图象求下列方程组的解：

(1)　(2)

解：(1)画图略，方程组的解为

(2)画图略，方程组的解为

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根．(精确到0.1)

【互动探索】利用图象求一元二次方程的近似根．

【解答】一元二次方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．

作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示：

由图象可知，方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．

先求－1和0之间的根：

当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.

因此，x＝－0.4是方程的一个近似根．

同理，x＝2.4是方程的另一个近似根．

综上，x1≈－0.4，x2≈2.4.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；(3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：

(1)画出二次函数的图象；

(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；

(3)列表，在(2)中的两数之间取值，进行估计．

2．在列表求近似根时，近似根就出现在对应y值正负交换的位置，也就是对x取一系列值，看y对应于哪两个值由负变成正，或由正变成负，此时x的两个对应值之间必有一个近似根．

练习设计

请完成本课时对应训练！