华师大版九年级下册2. 圆的对称性教学设计

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2　圆的对称性第2课时　圆的对称性教学目标一、基本目标1．理解并掌握圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．理解同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．二、重难点目标【教学重点】圆的对称性、圆心角、弧、弦之间的关系．【教学难点】利用同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.2．(1)在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．(2)在同圆或等圆中，如果两弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.(3)在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.3．圆是轴对称图形，它的任意一条直径都是它的对称轴.4．如图，在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，＝；若＝，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD；若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，＝，＝.环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？【互动探索】(引发学生思考)根据圆心角、弦、弧之间的关系可得＝，再结合已知条件＝即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论．【解答】BE＝CE.理由：∵∠AOD＝∠BOE，∴＝.又∵＝，∴＝，∴BE＝CE.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行判断．【例2】如图，A、B、C是⊙O上三点，∠AOB＝120°，C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)观察法：由∠AOB＝120°，C是的中点，可想到连结OC→OA＝AC＝OC＝BC＝OB→四边形OACB是菱形．【解答】四边形OACB是菱形．理由如下：如图，连结OC.∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.又∵CO＝BO，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC.同理可得，△OCA是等边三角形，∴OA＝AC.又∵OA＝OB，∴OA＝AC＝BC＝BO，∴四边形OACB是菱形．【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线(连结弧中点和圆心)解决问题．活动2　巩固练习(学生独学)1．如图，在⊙O中，已知＝，则AC与BD的关系是(　A　)A．AC＝BD B．AC＜BDC．AC＞BD D．不确定2．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．解：连结OC.∵BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC.又∵AB是⊙O的直径，∴∠BOD＝×180°＝120°.3．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．解：∠AOC＝∠BOD.理由如下：∵在⊙O中，弦AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，∴∠AOC＝∠BOD.4．如图，AB、CD为⊙O的直径，＝.求证：BD＝CE.证明：连结AC.∵＝，∴AC＝CE.∵∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD，∴BD＝CE.活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：＝.【互动探索】求证＝，由弧、弦、圆心角的关系定理，考虑作辅助线连结OC、OD，从而通过证明∠COM＝∠DON来得到＝.【证明】如图，连结OC、OD.∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，∴OM＝ON.∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC和Rt△OND中，∵∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，∴∠COM＝∠DON，∴＝.【互动总结】(学生总结，老师点评)在同圆或等圆中，如果两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)圆的对称性练习设计请完成本课时对应训练！第3课时　*垂径定理教学目标一、基本目标1．理解与掌握垂径定理及其推论．2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论．【教学难点】利用垂径定理及其推论解决相关计算或证明问题．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P39～P40的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.即一条直线如果满足：①直线经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M.那么AM＝BM＝AB，＝，＝.2．垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图1)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．        图1        　　　图2【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高→结合垂径定理，作辅助线(如图2)→构造直角三角形求出CD长即可．【解答】如图2，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连结OB.根据垂径定理，得C是AB的中点，D是的中点，CD就是水深，则BC＝AB＝0.3米．又由题意可知，OD＝OB＝0.5米，所以在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝＝0.4米，所以CD＝OD－OC＝0.1米，即此时的水深为0.1米．【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m，求这段弯路的半径．【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径，可转化为求OC的长，结合已知条件，在Rt△OCF中利用勾股定理即可求得OC的长．【解答】连结OC.设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300(m)．在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2.解得R＝545.∴这段弯路的半径为545 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)常用辅助线：连结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．活动2　巩固练习(学生独学)1．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？解：弦AB的长是6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm.求截面圆心O到水面的距离．解：截面圆心O到水面的距离为6 cm.3．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是的中点，OE交弦AC于点D，若AC＝8 cm，DE＝2 cm，求OD的长．解：OD＝3 cm.4．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．解：不需要采取紧急措施．理由如下：如图，连结OM，设OA＝R m．由题意知，在Rt△AOC中，AC＝AB＝30 m，CD＝18 m，∴由勾股定理，得R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34.又在Rt△MOE中，ME＝MN＝16 m，∴342＝162＋(34－DE)2，解得DE＝4 m或64 m(不合题意，舍去)，∴DE＝4 m．∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，弦CD＝10，AB∥CD，求这两条平行弦AB、CD之间的距离．【互动探索】画出几何示意图→要求两条平行弦AB、CD之间的距离→利用垂径定理求解→作辅助线，构造直角三角形【解答】分两种情况讨论：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连结OC、OA.由题意可知，OA＝OC＝13.∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB.又∵AB＝24，CD＝10，∴由垂径定理，得AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，∴由勾股定理，得EO＝＝5，OF＝＝12，∴EF＝OF－OE＝7.         图1          　　　图2当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连结OC、OA.同理可得，EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF＋OE＝17.综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．要注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)垂径定理及其逆定理，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．练习设计请完成本课时对应训练！