初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除教案

16.2　二次根式的乘除

第1课时　二次根式的乘法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．

【过程与方法】

经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的乘法运算法则．

【教学难点】

运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

(1)×＝6，＝6；

(2)×＝20，＝20；

(3)×＝30，＝30.

规律：一般地，二次根式的乘法法则是·＝ .

2．把·＝反过来，就得到＝·，利用它可以进行二次根式的化简．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)×；　(2)×；

(3)×；　(4)×.

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算．

【解答】(1)×＝.

(2)×＝＝＝3.

(3)×＝＝＝9.

(4)×＝＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．

【例2】化简：

(1)9×；　(2)；　(3)81×100；

(4)；　(5).

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？

【解答】(1)＝×＝3×4＝12.

(2)＝×＝4×9＝36.

(3)＝×＝9×10＝90.

(4)＝··＝2·a·＝2ab.

(5)＝＝×＝3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．等式·＝成立的条件是(　A　)

A．x≥1　　 B．x≥－1

C．－1≤x≤1　　 D．x≥1或x≤－1

2．计算：

(1)×；　(2)×3；

(3)2××5.

解：(1)6.　(2)3.　(3)18.

3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)＝×；

(2)×＝4××＝4×＝4＝8.

解：(1)不正确．

改正：＝＝＝6.

(2)不正确．

改正：×＝×＝＝＝4.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】比较大小：

(1)3与5；　　(2)－4与－5.

【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．

【解答】(1)3＝×＝，

5＝×＝.

因为<，所以3<5.

(2)－4＝－×＝－，

－5＝－×＝－.

因为<，所以－>－，所以－4>－5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时　二次根式的除法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解＝(a≥0，b>0)和＝(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；

2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

【过程与方法】

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

【情感态度与价值观】

在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．

二、重难点目标

【教学重点】

最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．

【教学难点】

二次根式商的算术平方根的运用．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

(一)二次根式的除法

1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

(1)＝，＝；

(2)＝，＝；

(3)＝，＝.

规律：一般地，二次根式的除法法则是＝.

2．把＝ 反过来，就得到＝，利用它可以进行二次根式的化简．

(二)最简二次根式

1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如2，，等，可以发现这些式子有如下两个特点：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)；　(2)÷；

(3)÷；　(4).

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．

【解答】(1)原式＝＝＝2 .

(2)原式＝＝＝＝2.

(3)原式＝＝＝＝2.

(4)原式＝＝＝2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．

【例2】化简：

(1)；　(2)；　(3)；　(4) .

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．

【解答】(1)原式＝＝.

(2)原式＝＝.

(3)原式＝＝＝.

(4)原式＝＝＝2＋.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．计算÷÷的结果是(　A　)

A．   B． 

C．   D．

2．如果(y>0)是二次根式，那么化为最简二次根式是(　C　)

A．(y>0)　　 B．(y>0)

C．(y>0)　　 D．以上都不对

3．化简：

(1)； (2)； (3)； (4).

解：(1)4.　(2).　(3)＋1.　(4)11－2.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知＝，且x为偶数，求(1＋x)的值．

【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x的取值范围→化简所求式子

【解答】由题意，得即

∴6<x≤9.

∵x为偶数，∴x＝8，

∴原式＝(1＋x)＝(1＋x)＝(1＋x)＝.

∴当x＝8时，原式＝＝6.

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应训练！