2020-2021学年19.2.3一次函数与方程、不等式教学设计

19.2　一次函数

19.2.3　一次函数与方程、不等式

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．用函数观点认识一元一次方程．

2．理解一次函数与二元一次方程(组)的关系．

3．会利用函数图象解二元一次方程组．

【过程与方法】

会应用一次函数表达式与图象之间的相互关系，处理一些较为复杂的问题，领会数形结合的思想．

【情感态度与价值观】

经历对实际问题建立数学模型的过程，体验数形结合的作用和一次函数模型的价值．

二、重难点目标

【教学重点】

1．函数观点认识一元一次方程．

2．应用函数图象求解一元一次方程．

【教学难点】

综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P96～P98的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这就相当于已知直线y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，确定这条直线与x轴交点的横坐标的值．

2．利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤：

(1)将一元一次方程转化为一次函数；

(2)画出一次函数的图象；

(3)找出一次函数的图象与x轴的交点，其横坐标即为一元一次方程的解．

3．由于任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0(或小于0)时，求相应的自变量的取值范围．而已知函数值y>0(或y<0)，求自变量x的取值范围，其实质就是解不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)．若用函数图象解不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)，就是求函数图象在x轴上方(或下方)时所对应的横坐标．

4．一元一次不等式y1≤kx＋b≤y2(y1，y2都是已知数，且y1<y2)的解集就是直线y＝kx＋b上满足y1≤y≤y2那条线段所对应的自变量的取值范围．

5．二元一次方程与一次函数是“数”与“形”的关系．二元一次方程y＝kx＋b的解就是一次函数y＝kx＋b图象上的点的坐标；一次函数y＝kx＋b图象上的点的坐标就是二元一次方程y＝kx＋b的解；二元一次方程组的解是两直线y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的交点坐标；求两直线l1：y1＝k1x＋b1(k1≠0)，直线l2：y2＝k2x＋b2( k2≠0)的交点，就是解关于x，y的方程组

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为(　　　)

A．x＝－1　　 B．x＝2

C．x＝0　　 D．x＝3

【互动探索】(引发学生思考)一次函数与一元一次方程有什么关系？

【分析】∵直线y＝kx＋b经过点(2,3)，(0,1)，

∴ 解得

∴一次函数解析式为y＝x＋1.

令x＋1＝0，解得x＝－1.

【答案】A

【互动总结】(学生总结，老师点评)当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．

【例2】对照图象，请回答下列问题：

(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1?

(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1?

(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1?

【互动探索】(引发学生思考)一次函数与一元一次不等式有什么关系？

【解答】(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，所以当x＝2时，2x－5＝－x＋1.

(2)由图象可知，当x＞2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的上方，即2x－5＞－x＋1.

(3)由图象可知，当x＜2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝k1x＋b1的值大于(或小于)一次函数y＝k2x＋b2的值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝k1x＋b1在直线y＝kx2＋b2上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

【例3】直角坐标系中有两条直线：y1＝x＋，y2＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)用图象法解方程组

(3)求△PAB的面积．

【互动探索】(引发学生思考)(1)分别令y＝0，求出x的值即可得到点A、B两点的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面积公式计算即可得解．

【解答】(1)令y1＝0，则x＋＝0，

解得x＝－3，∴点A的坐标为(－3,0)．

令－x＋6＝0，解得x＝4，

∴点B的坐标为(4,0)．

(2)如图所示，方程组的解是

(3)∵AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，

∴S△PAB＝×7×3＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．若关于x的方程ax－b＝0(a≠0)的解为x＝3，则一次函数y＝ax－b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(　B　)

A．(－3,0)　　 B．(3,0)

C．(a,0)　　 D．(－b,0)

2．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)，点(0,3)．有下列结论：①关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2；②关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝0；③当x＞2时，y＜0；④当x＜0时，y＜3.其中正确的是(　A　)

A．①②③　　 B．①③④

C．②③④　　 D．①②④

3．如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)与正比例函数y＝ax(a为常数，且a≠0)相交于点P，则不等式kx＋b＜ax的解集是x＞2.

4．如图，已知直线l1：y＝3x＋1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx＋n交于点P(－2，a)，根据以上信息解答下列问题：

(1)求a的值；

(2)不解关于x，y的方程组 请你直接写出它的解；

(3)若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．

解：(1)∵(－2，a)在直线y＝3x＋1上，

∴当x＝－2时，a＝－5.

(2)方程组的解为

(3)∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，

∴直线l2过点(3,0)．

又∵直线l2过点P(－2，－5)，

∴  解得

 ∴直线l2的函数解析式为y＝x－3.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例4】某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：

(1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式；

(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围．

【互动探索】(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程(组)，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的交点的横坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x的取值范围．

【解答】(1)设方案一的解析式为y＝kx，

把(40,1600)代入解析式，可得k＝40，

∴方案一y关于x的解析式为y＝40x.

设方案二的解析式为y＝ax＋b，

把(40,1400)和(0,600)代入解析式，

得

解得

 ∴方案二y关于x的解析式为y＝20x＋600.

(2)根据两直线相交，可得40x＝20x＋600，解得x＝30，故两直线交点的横坐标为30.

当x＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类识图题，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．一次函数与一元一次方程的关系

2．一次函数与一元一次不等式的关系

3．用图象法求二元一次方程组的解

4．应用一次函数与方程、不等式解决实际问题

练习设计

请完成本课时对应训练！