初中数学第十六章 二次根式16.1 二次根式教案及反思

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16.1　二次根式第1课时　二次根式的概念教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(　B　)A．　　 B．C．　　 D．环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？，，，，，(x≤3)，(x≥0)，，，(ab≥0)．【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.的根指数不是2，，(x≥0)，的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，＋在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使＋在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2　巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(　A　)A．－　　 B．C．　　 D．x2．使式子有意义的未知数x有(　B　)A．0 个　　 B．1 个C．2 个　　 D．无数个3．当x是多少时，＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得解得∴当x≥－且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x、y满足y＞＋＋3，求|y－3|－的值．【互动探索】要求|y－3|－的值，需确定出x、y的取值范围．根据式子y＞＋，可以确定出x、y的取值范围．【解答】由题意，得x－2≥0且6－3x≥0，解得x＝2，则y＞3.故|y－3|－＝y－3－y＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x的值，从而确定y的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式练习设计请完成本课时对应训练！第2课时　二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解(a≥0)是一个非负数、()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力．二、重难点目标【教学重点】二次根式的性质．【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)当a>0时，表示a的算术平方根，因此>0；(2)当a＝0时，表示0的算术平方根，因此＝0.概括：一般地，(a≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空：(1)()2＝4；　()2＝2；2＝；　()2＝0.(2)一般地，()2＝a(a≥0)．3．教材P4“探究”，填空：(1)＝2；　＝0.01；＝；　＝0.(2)一般地，＝a(a≥0)．教师点拨：二次根式的三个性质：(1)(a≥0)是一个非负数；(2)()2＝a(a≥0)；(3)＝a(a≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式．5．计算：＝21；＝.环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)()2；　(2)(2)2；(3)；　(4).【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)2 ＝1.5.　(2)(2)2＝22×()2＝4×5＝20.　(3)＝()＝4.(4)＝＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，＝＝【例2】化简下列二次根式．(1)(a≥0，b≥0)；(2).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)＝＝·＝2a.(2)＝＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2　巩固练习(学生独学)1．下列各式正确的是(　D　)A．＝×B．＝×C．＝×D．＝×2．计算：(1)()2；　(2)－()2；(3)；　(4).解：(1)9.　(2)－3.　(3)8.(4)＝＝.当a≥－1时，原式＝a＋1；当a<－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：＋2－|a－b|.解：从数轴上a、b的位置关系，可知－2＜a＜－1,1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0，原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．【解答】∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的性质练习设计请完成本课时对应训练！