湖北省鄂州市鄂城区2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份湖北省鄂州市鄂城区2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年湖北省鄂州市鄂城区八年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．△ABC中BC边上的高作法正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（　　）
A．5 B．10 C．11 D．12
4．下列判断中错误的是（　　）
A．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
B．有一边相等的两个等边三角形全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
5．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
6．如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）

A．360° B．250° C．180° D．140°
7．如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为（　　）

A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（　　）

A．90° B．120° C．160° D．180°
9．附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（　　）cm．

A．30 B．40 C．50 D．60
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（　　）

A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定
　
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若正n边形的每个内角都等于150°，则n=　 　，其内角和为　 　．
12．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是　 　．

13．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是　 　．

14．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为　 　cm．

15．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A3，则∠A3=　 　．

16．△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则这样的点P的个数为　 　．
　
三、解答题（8+8+9+8+8+9+10+12=72分）
17．如图，点F、C在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．
求证：∠A=∠D．

18．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度数．

19．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）将△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位得△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A的对应点A1的坐标是　 　．
（2）将△ABC沿x轴翻折△A2BC，图中画出△A2BC，翻折后点A对应点A2坐标是　 　．
（3）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为　 　．

20．已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F．当BE=CF时，求证：AE=AF．

21．如图，∠AOB=30度，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．

22．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，
（1）求∠BPE的度数；
（2）若BF⊥AE于点F，试判断BP与PF的数量关系．

23．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如图1，连DE，求∠BDE的度数；
（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，求证：∠FED=∠CED；
（3）在（2）的条件下，若BF=2，求CE的长．

24．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求S△ABD：S△ACD；
（2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S△AED=2S△DGC；
（3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（4）若BD=8，求CD．

　

2017-2018学年湖北省鄂州市鄂城区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，A不合题意；
B、不是轴对称图形，B符合题意；
C、是轴对称图形，C不合题意；
D、是轴对称图形，D不合题意；
故选：B．
　
2．△ABC中BC边上的高作法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选D．
　
3．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（　　）
A．5 B．10 C．11 D．12
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于：8﹣3=5，而小于：3+8=11．
则此三角形的第三边可能是：10．
故选：B．
　
4．下列判断中错误的是（　　）
A．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
B．有一边相等的两个等边三角形全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据判定定理逐个判断即可．
【解答】解：
A、符合全等三角形的判定定理AAS，即能推出两三角形全等，故本选项错误；
B、∵△ABC和△A′B′C′是等边三角形，
∴AB=BC=AC，A′B′=B′C′=A′C′，
∵AB=A′B′，
∴AC=A′C′，BC=B′C′，即符合全等三角形的判定定理SSS，即能推出两三角形全等，故本选项错误；
C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出两三角形全等，故本选项正确；
D、
如上图，∵AD、A′D′是三角形的中线，BC=B′C′，
∴BD=B′D′，
在△ABD和△A′B′D′中，
，
∴△ABD≌△A′B′D′（SSS），
∴∠B=∠B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），故本选项错误；
故选C．
　
5．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】三角形三个内角之和是180°，三角形的一个角等于其它两个角的差，列出两个方程，即可求出答案．
【解答】解：设三角形的三个角分别为：a°、b°、c°，
则由题意得：，
解得：a=90，
故这个三角形是直角三角形．故选：B．
　
6．如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）

A．360° B．250° C．180° D．140°
【考点】K7：三角形内角和定理；L3：多边形内角与外角．
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故选B．

　
7．如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为（　　）

A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以证得：∠OBD=∠BOD，则依据等角对等边可以证得OD=BD，同理，OE=EC，即可证得BC=C△ODE从而求解．
【解答】解：∵BO是∠ACB的平分线，
∴∠ABO=∠OBD，
∵OD∥AB，
∴∠ABO=∠BOD，
∴∠OBD=∠BOD，
∴OD=BD，
同理，OE=EC，
BC=BD+DE+EC=OD+DE+OE=C△ODE=10cm．
故选C．
　
8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=（　　）

A．90° B．120° C．160° D．180°
【考点】IK：角的计算．
【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
【解答】解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．
故选D．
　
9．附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（　　）cm．

A．30 B．40 C．50 D．60
【考点】KK：等边三角形的性质．
【分析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．
【解答】解：设AB=x，
∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，
∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，
∵AF=2AB，即x+6=2x，
∴x=6cm，
∴周长为7 x+18=60cm．
故选D
　
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（　　）

A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；K6：三角形三边关系．
【分析】在AB上截取AE=AD，则易得△AEC≌△ADC，则AE=AD，CE=CD，则AB﹣AD=BE，放在△BCE中，根据三边之间的关系解答即可．
【解答】解：如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB﹣AD=AB﹣AE=BE，BC﹣CD=BC﹣CE，
∵在△BCE中，BE＞BC﹣CE，
∴AB﹣AD＞CB﹣CD．
故选A．

　
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若正n边形的每个内角都等于150°，则n=　12　，其内角和为　1800°　．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】先根据多边形的内角和定理求出n，再根据多边形的内角和求出多边形的内角和即可．
【解答】解：∵正n边形的每个内角都等于150°，
∴=150°，
解得，n=12，
其内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为：12；1800°．
　
12．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是　5　．

【考点】KF：角平分线的性质．
【分析】要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离=CD=2，
∴△ABD的面积是5×2÷2=5．
故答案为：5．
　
13．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是　50°　．

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°．
　
14．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为　8　cm．

【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm．
故答案为：8．

　
15．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A3，则∠A3=　8°　．

【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，故∠A3=∠A2=∠A．
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，
∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
即∠ACD=∠A1+∠ABC，
∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1=∠A，
∴∠A1=×64°=32°，
∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，
∴∠A3=∠A2=∠A=×64°=8°．
故答案为：8°．
　
16．△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则这样的点P的个数为　10　．
【考点】KK：等边三角形的性质；KI：等腰三角形的判定．
【分析】根据点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
【解答】解：如图：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故答案为：10．
　
三、解答题（8+8+9+8+8+9+10+12=72分）
17．如图，点F、C在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．
求证：∠A=∠D．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】易证BC=EF，即可证明△ABC≌△DEF，可得∠A=∠D．即可解题．
【解答】证明：∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A=∠D．
　
18．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度数．

【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
∴∠C=∠ABC=2∠A=72°．
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°﹣∠C=18°．
　
19．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）将△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位得△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A的对应点A1的坐标是　（3，﹣1）　．
（2）将△ABC沿x轴翻折△A2BC，图中画出△A2BC，翻折后点A对应点A2坐标是　（﹣2，﹣3）　．
（3）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为　13.5　．

【考点】P7：作图﹣轴对称变换；Q4：作图﹣平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于x轴对称点的性质进而得出对应点位置；
（3）利用平移的性质可得△ABC扫过的面积为△A′B′C′+平行四边形A′C′CA的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，平移后点A的对应点A1的坐标是：（3，﹣1）；
故答案为：（3，﹣1）；

（2）如图所示：△A2BC，即为所求，翻折后点A对应点A2坐标是：（﹣2，﹣3）；
故答案为：（﹣2，﹣3）；

（3）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为：
S△A′B′C′+S平行四边形A′C′CA
=×3×5+2×3
=13.5．
故答案为：13.5．

　
20．已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F．当BE=CF时，求证：AE=AF．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【分析】过点B作BG∥FC，延长FD交BG于点G．由平行线的性质可得∠G=∠F，然后判定△BDG和△CDF全等，根据全等三角形的性质和等量代换得到BE=BG，由等腰三角形的性质可得∠G=∠BEG，由对顶角相等及等量代换得出∠F=∠AEF，根据等腰三角形的判定得出AE=AF．
【解答】证明：过点B作BG∥FC，延长FD交BG于点G．

∴∠G=∠F．
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BDG和△CDF中，

∴△BDG≌△CDF（AAS）．
∴BG=CF．
∵BE=CF，
∴BE=BG．
∴∠G=∠BEG．
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠G=∠AEF．
∴∠F=∠AEF．
∴AE=AF．
　
21．如图，∠AOB=30度，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KF：角平分线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【分析】过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC=15°，根据平行线的性质可得∠DPO=∠AOP=15°，从而可得PD=OD，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
【解答】解：过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠AOP=15°，
∴∠BOC=∠DPO，
∴PD=OD=4cm，
∵∠AOB=30°，PD∥OA，
∴∠BDP=30°，
∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，
∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
∴PE=PF=2cm．

　
22．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，
（1）求∠BPE的度数；
（2）若BF⊥AE于点F，试判断BP与PF的数量关系．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可证明△ABD≌△CAE，得到∠ABD=∠CAE，利用外角∠BPE=∠BAP+∠ABD，即可解答
（2）由△ABD≌△CAE得出对应角相等∠ABD=∠CAE，根据三角形的外角性质得出∠BPF=60°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出PF与BP的关系．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BPE=∠BAP+∠ABD，
∴∠BPE=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°．
（2）PF=BP．
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BPF=∠BAP+∠ABD，
∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°，
∵BF⊥AE，
∴∠PFB=90°，
∴∠PBF=30°，
∴PF=BP．
　
23．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如图1，连DE，求∠BDE的度数；
（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，求证：∠FED=∠CED；
（3）在（2）的条件下，若BF=2，求CE的长．

【考点】KY：三角形综合题．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和SAS可证△BDE≌△ACD，再根据等腰直角三角形的性质即可得到∠BDE的度数；
（2）先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°，求出∠BED，再由（1）结论推导出∠BCD=∠DEC=67.5°即可．
（3）由（1）知CD=DE，根据等腰三角形的性质和角的和差关系可得∠CDE=45°，过D作DM⊥CE于M，根据角平分线的性质以及等量关系即可得到CE的长
【解答】解：（2）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AC=BC，BD=AC，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC==67.5°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°，
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED，
∴∠BDE=∠ACD=22.5°，
（2）由（1）有∠BDE=22.5°，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°﹣∠BDE=67.5°，
由（1）有，△ADC≌△BED，
∴DC=DE，
∴∠DEC=∠BCD=67.5°，
∴∠DEF=∠DEC，
即：∠FED=∠CED；
（3）如图2，

由（1）知CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC=67.5°，
∴∠CDE=45°，
过D作DM⊥CE于M，
∴CM=ME=CE，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°，
∵EM⊥DM，EF⊥DB，
∴EF=ME，
∵∠BFE=90°，∠B=45°，
∴∠BEF=∠B=45°，
∴EF=BF，
∴CE=2ME=2EF=2BF=4．
　
24．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）求S△ABD：S△ACD；
（2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S△AED=2S△DGC；
（3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（4）若BD=8，求CD．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．
【分析】（1）由于AD是角平分线，则DF=DM，S△ABD：S△ACD=AB：AC；
（2）由于DF=DM，所以S△AED与S△DGC之比就等于AE与CG之比，而AE与CG之比为2；
（3）只需让EF=MG即可；
（4）由可直接求出；
【解答】解：（1）∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴AE=2t，CG=t．
∴，
∴
∴在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC；
（3）∵∠BAD=∠DAC，AD=AD，DF=DM，
∴△ADF≌△ADM．
∴AF=AM=10．
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t，
∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，CG=t．
∴0＜t＜5．
①当M在线段CG上时，MG=CG﹣（AC﹣AM）=t﹣4．
当EF=MG时△DFE与△DMG全等时．
∴10﹣2t=t﹣4．
解得 t=．
②当M在线段CG延长线上时，MG=4﹣t．
∴10﹣2t=4﹣t．
解得t=6（舍去）．
③当E在BF上时，2t﹣10=t﹣4，解得t=6，符合题意，
∴当 t=s或6s时，△DFE 与△DMG 全等．
（4）过点A作AN⊥BC交BC于N，如图，

由（1）得∴；
又∵，
∴；
又∵BD=8，
∴CD=7．