内蒙古鄂尔多斯市部分中学2021-2022学年八年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】

这是一份内蒙古鄂尔多斯市部分中学2021-2022学年八年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年内蒙古鄂尔多斯市部分中学八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列手机屏幕解锁图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm
C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm
3．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（　　）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（　　）

A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
5．△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
6．如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S阴影＝3cm2，则△ABC的面积为（　　）平方厘米．

A．9 B．12 C．15 D．18
8．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（　　）

A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边距离相等
10．如图，D为△BAC的外角∠FAC平分线上一点并且满足BD＝CD，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（3×6＝18分
11．下列是利用了三角形的稳定性的有 　 　个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条．
12．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β＝　 　．

13．如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为　 　．

14．如图，已知AB＝AC，AD＝AE和∠A＝54°，∠B＝28°，则∠ODB度数为　 　．

15．已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是　 　．
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，若BD＝8，则CE为 　 　．

三.简答题：
17．已知：如图，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝80°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠AED的度数．

18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE平分∠ADC交AB边于点E，BF平分∠ABC交DC边于点F．
求证：DE∥BF．

19．观察探究及应用．
（1）如图，观察图形并填空：

一个四边形有 　 　条对角线；一个五边形有 　 　条对角线；一个六边形有 　 　条对角线；
（2）分析探究：
由凸n边形的一个顶点出发，可作 　 　条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 　 　条对角线；
（3）结论：一个凸n边形有 　 　条对角线；
（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？
20．如图，在边长为1的方格纸上，直线AB和直线AC交于点A，点A、B、C都是格点．
（1）尺规作图，在网格中找到点D，使点D到直线AB和直线AC的距离相等，且点D到点B、C的距离相等；
（2）在（1）的情况下，直接写出∠BAC和∠BDC的数量关系 　 　．

21．如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，CE＝BF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

22．如图，△ABC的边AB与△EDC的边ED相交于点F，连接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求证：FC平分∠BFE．

23．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，求AC的长．

24．如图所示，在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：

（1）D为△ABC外一点，若AD＝CD，AB＝CB，则我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，试猜想筝形的角、对角线有什么性质？然后选择其中一条性质用全等三角形的知识证明你的猜想．
（2）知识拓展：如果D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，且AD＝CD，试证明：AB＝CB．
25．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线．
（1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝7，AC＝5，求AD的取值范围，我们可以延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，易证△ADC≌△MDB，所以BM＝AC．接下来，在△ABM中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是 　 　；
（2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接CE，ED，CE⊥DE，试猜想线段BC，CD，AD之间满足的数量关系，并予以证明．



参考答案
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列手机屏幕解锁图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm
C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可求解．
解：A、1+2＜4，不能组成三角形，不符合题意；
B、13+12＞20，能够组成三角形，符合题意；
C、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；
D、14+16＝30，不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
3．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（　　）边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．
解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，
∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°，
设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1080°，
解得：n＝8，
即多边形是八边形，
故选：C．
4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（　　）

A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是8，10，12，所以面积之比就是4：6：5．
解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝8：12：10＝4：6：5，
故选：C．
5．△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：B．
6．如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，∠C＝∠D＝90°，还有一条公共边AB＝AB，具备一角，一边分别对应相等，只要再添加任意一边或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
解：添加①AC＝BD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；
添加②BC＝AD，可根据HL判定△ABC≌△BAD
添加③∠CAB＝∠DBA，可根据AAS判定△ABC≌△BAD；
添加④∠CBA＝∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S阴影＝3cm2，则△ABC的面积为（　　）平方厘米．

A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△CFB＝S△EFB＝3cm2，于是得到S△CEB＝6cm2，再求出S△BDE＝3cm2，利用E点为AD的中点得到S△ABD＝2S△BDE＝6cm2，然后利用S△ABC＝2S△ABD求解．
解：∵F点为CE的中点，
∴S△CFB＝S△EFB＝3cm2，
∴S△CEB＝6cm2，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE＝S△BCE＝3cm2，
∵E点为AD的中点，
∴S△ABD＝2S△BDE＝6cm2，
∴S△ABC＝2S△ABD＝12cm2．
故选：B．
8．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】证明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性质可得PQ＝QH＝5，根据MQ＝NQ＝9，即可解决问题．
解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，
故选：B．
9．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（　　）

A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边距离相等
【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：A．
10．如图，D为△BAC的外角∠FAC平分线上一点并且满足BD＝CD，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由角平分线的性质得DE＝DF，证明Rt△CDE≌△Rt△BDF（HL），故①正确；再证Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），得AE＝AF，故②正确；由∠DBF＝∠DCE，得A、B、C、D四点共圆，可证③正确；由∠DEA＝90°，而∠BAC≠90°，则BA与DE不平行，可知④错误．
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE与Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌△Rt△BDF（HL），
故①正确；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，
故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
故③正确；
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
而∠BAC≠90°，
∴BA与DE不平行，
∴∠ABD≠∠BDE，
故④错误．
∴正确的结论有3个，
故选：C．
二、填空题：（3×6＝18分
11．下列是利用了三角形的稳定性的有 　3　个．
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条．
【分析】根据三角形的稳定性解决此题．
解：利用三角形的稳定性的有①③④，共3个．
故答案为：3．
12．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β＝　240°　．

【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
解：∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和＝180°﹣60°＝120°；
∴∠α+∠β＝360°﹣120°＝240°
故答案是：240°．
13．如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为　75°　．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠DMC，求出∠AMF，根据三角形外角性质得出∠1＝∠A+∠AMF，代入求出即可．
【解答】
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠MCD＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠DMC＝30°，
∴∠AMF＝∠DMC＝30°，
∵∠A＝45°，
∴∠1＝∠A+∠AMF＝45°+30°＝75°，
故答案为75°．
14．如图，已知AB＝AC，AD＝AE和∠A＝54°，∠B＝28°，则∠ODB度数为　82°　．

【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得∠B＝∠C＝28°，由外角的性质可求解．
解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C＝28°，
∴∠ODB＝∠A+∠C＝28°+54°＝82°，
故答案为：82°．
15．已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是　9　．
【分析】由于BD是△ABC的一条中线，由此可以得到AD＝CD，而△ABD与△BCD的周长分别为21，12，并且BD公共，利用三角形的周长公式即可求出AB﹣BC的长．
解：∵BD是△ABC的一条中线，
∴AD＝CD，
而△ABD与△BCD的周长分别为21，12，并且BD公共，
∴AB﹣BC的长＝21﹣12＝9．
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，若BD＝8，则CE为 　4　．

【分析】延长BA，CE交于点F，证△BEF≌△BEC，△ABD≌△ACF，得出EF＝EC，EC＝CF，及BD＝CF，则CE＝BD，可以求出其值．
解：延长BA，CE交于点F，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠BEC，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵CE⊥BD，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°
在△BEF和△BEC中，
，
∴△BEF≌△BEC（ASA），
∴EF＝EC，
∴EC＝CF，
∴CE＝BD，
∵BD＝8，
∴CE＝4
故答案为：4．

三.简答题：
17．已知：如图，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝80°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠AED的度数．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE是∠BAC的平分线，可得∠EAC的度数，在直角△ADC中，可求出∠DAC的度数；
（2）得出∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC，进而即可解答．
解：（1）∵△ABC中，∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣50°﹣80°
＝50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝25°，
∵AD是BC边上的高，
∴在直角△ADC中，
∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣80°＝10°，
（2）∵∠DAC＝10°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣10°＝15°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣15°＝75°．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE平分∠ADC交AB边于点E，BF平分∠ABC交DC边于点F．
求证：DE∥BF．

【分析】由四边形的内角和为360度求出∠ADC+∠ABC度数，由DE、BF分别为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠ADE+∠FBC为90度，再由直角三角形ADE两锐角互余及∠ADE＝∠EDC，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵DE平分∠ADC交AB边于点E，BF平分∠ABC交DC边于点F，
∴∠ADE＝∠EDC，∠ABF＝∠CBF，
∴∠ADE+∠FBC＝90°，
∵∠AED+∠ADE＝90°，∠ADE＝∠EDC，
∴∠AED＝∠ABF，
∴DE∥BF．
19．观察探究及应用．
（1）如图，观察图形并填空：

一个四边形有 　2　条对角线；一个五边形有 　5　条对角线；一个六边形有 　9　条对角线；
（2）分析探究：
由凸n边形的一个顶点出发，可作 　（n﹣3）　条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 　n（n﹣3）　条对角线；
（3）结论：一个凸n边形有 　　条对角线；
（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？
【分析】（1）根据图形数出对角线条数即可；
（2）根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线即可求解；
（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，即可解答；
（4）由（3）把n＝12代入计算即可．
解：（1）根据图形数出对角线条数，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9对角线，一个七边形有14对角线；
故答案为：2，5，9；
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，若允许重复计数，共可作n（n﹣3）条对角线；
故答案为：（n﹣3），n（n﹣3）；
（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，
故答案为：；
（4）把n＝12代入计算得：＝54．
故答案为：54．
20．如图，在边长为1的方格纸上，直线AB和直线AC交于点A，点A、B、C都是格点．
（1）尺规作图，在网格中找到点D，使点D到直线AB和直线AC的距离相等，且点D到点B、C的距离相等；
（2）在（1）的情况下，直接写出∠BAC和∠BDC的数量关系 　∠BAC+∠BDC＝180°　．

【分析】（1）∠BAC的角平分线，线段BC的垂直平分线的交点D即可所求．
（2）结论：∠BAC+∠BDC＝180°，构造全等三角形证明即可．
解：（1）如图，点D即为所求．


（2）结论；∠BAC+∠BDC＝180°．
理由：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
∵∠AMD＝∠AND＝90°，
∴∠BAC+∠MDN＝180°，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴∠MDB＝∠NDC，
∴∠BDC＝∠MDN，
∴∠BAC+∠BDC＝180°．
故答案为：∠BAC+∠BDC＝180°．
21．如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，CE＝BF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

【分析】由“AAS”可证△AEB≌△DFC，可得AB＝CD．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵CE＝BF，
∴CE+EF＝BF+EF，
∴CF＝BE，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（AAS），
∴AB＝CD．
22．如图，△ABC的边AB与△EDC的边ED相交于点F，连接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求证：FC平分∠BFE．

【分析】（1）根据SAS证明△ABC与△EDC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质得出CG＝CH，进而利用角平分线的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BCD＝∠ACE，
∴∠BCD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC与△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB＝ED；
（2）过点C作CG⊥AB，CH⊥DE，垂足分别为G，H，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠B＝∠D，
∵CG⊥AB，CH⊥DE，
∴∠BGC＝∠DHC＝90°，
在△BCG与△DCH中
，
∴△BCG≌△DCH（AAS），
∴CG＝CH，
∴FC平分∠BFE．
23．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，求AC的长．

【分析】设BM＝2t，则BN＝3t，使△ACM与△BMN全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，列方程解得t，可得AC；
情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，列方程解得t，可得AC．
解：设BM＝2tcm，则BN＝3tcm，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况：
情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，
∵BN＝AM，AB＝20cm，
∴3t＝20﹣2t，
解得：t＝4，
∴AC＝BM＝2t＝2×4＝8cm；
情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，
∵BM＝AM，AB＝20cm，
∴2t＝20﹣2t，
解得：t＝5，
∴AC＝BN＝3t＝3×5＝15cm，
综上所述，AC＝8cm或AC＝15cm．
24．如图所示，在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：

（1）D为△ABC外一点，若AD＝CD，AB＝CB，则我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，试猜想筝形的角、对角线有什么性质？然后选择其中一条性质用全等三角形的知识证明你的猜想．
（2）知识拓展：如果D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，且AD＝CD，试证明：AB＝CB．
【分析】（1）根据已知条件可证得△ADB≌△CDB，利用全等三角形的性质和已知条件可得△AOD≌△COD，从而可得∠AOD＝∠COD，OA＝OC，由此可得结论；
（2）过点D分别作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分别为E，F，然后由角平分线的性质得DE＝DF，根据直角三角形全等的判定与性质可得结论．
解：（1）猜想BD⊥AC，∠AOD＝∠COD，AO＝OC．
∵AD＝CD，AB＝CB，
在△ADB和△BCD中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠ADO＝∠ODC，
在△AOD和△ODC中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD，OA＝OC，
∴∠DOC＝90°，
∴BD⊥AC．
（2）如图，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分别为E，F，

∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∵BD＝BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE＝BF，
∵ED＝FD，AD＝CD，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE＝CF，
∴BE+AE＝CF+BF，即AB＝CB．
25．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线．
（1）如图1，AD是△ABC的中线，AB＝7，AC＝5，求AD的取值范围，我们可以延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，易证△ADC≌△MDB，所以BM＝AC．接下来，在△ABM中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是 　1＜AD＜6　；
（2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接CE，ED，CE⊥DE，试猜想线段BC，CD，AD之间满足的数量关系，并予以证明．

【分析】（1）如图1中，延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM．证明△ADC≌△MDB（SAS），推出AC＝BM＝5，再根据AB﹣BM≤AM≤AB+BM，可得结论；
（2）如图2中，延长AD到T，使得DT＝AD，连接BT．由△ADC≌△TDB，推出AC＝BT，∠C＝∠TBD，推出BT∥AC，再证明BF＝BT，可得结论；
（3）结论：CD＝AD+BC．如图3中，延长CE交DA的延长线于点G．利用全等三角形的性质证明BC＝AG，DC＝DG，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM．

∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM＝5，
∵AB＝7，
∴AB﹣BM＜AM＜AB+BM．
∴2＜AM＜12，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6．
故答案为：1＜AD＜6；

（2）证明：如图2中，延长AD到T，使得DT＝AD，连接BT．

同法可证△ADC≌△TDB，
∴AC＝BT，∠C＝∠TBD，
∴BT∥AC，
∴∠T＝∠DAC，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFT，
∴∠T＝∠BFT，
∴BF＝BT，
∴AC＝BF；

（3）解：结论：CD＝AD+BC．
理由：如图3中，延长CE交DA的延长线于点G．

∵AD∥BC，
∴∠G＝∠ECB，
∵E 是AB的中点，
∴AE＝EB，
在△AEG和△BEC中，
，
∴△AEG≌△BEC（AAS），
∴AG＝BC．EC＝EG，
∵DE⊥CG，
∴CD＝GD，
∵DG＝AD+AG＝AD+BC，
∴CD＝AD+BG．