初中数学冀教版九年级上册28.4 垂径定理说课ppt课件

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垂径定理垂径定理的推论
按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．如图，CD⊥AB于点E，CD是⊙O的直径，那么可用几何语言表述为：
特别提醒：“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线. 其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
 解：如图，连接OA.设⊙O的半径为r. ∴ CD为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ AE=BE.∴AB=8，∴ AE=BE=4， 在 Rt△OAE 中，OA2=OE2+AE2， OE=OD－ED，即r2 = (r－2)2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10.
利用垂径定理求线段长，一般是求弦长或半径或弦心距，通用的方法就是在半径、弦长的一半及弦心距三者构成的直角三角形中利用勾股定理求其中的未知的线段长．
[中考·温州]如图，在⊙O中，OC垂直于弦AB 于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是(　　) A. B. C. D.
【中考·广元】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点 E，则下列结论中错误的是(　　) A．CE＝DE B．AE＝OE C. D．△OCE≌△ODE【中考·黄石】如图，⊙O的半径为13，弦AB的长 度是24，ON⊥AB，垂足为N， 则ON等于(　　) A．5 B．7 C．9 D．11
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE＝BE，那么可用几何语言表述为：
拓宽视野： 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径）；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
解题通法：证明两条弦相等的方法：证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等. 根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法.
如图，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB， CD的中点，且∠AMN＝∠CNM. 求证：AB＝CD.
解题秘方：根据弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行 证明.
证明：如图，连接OM，ON，OA，OC. ∵M，N分别为AB，CD的中点， ∴AB＝2AM，CD＝2CN.∴OM⊥AB， ON⊥CD. ∴∠OMA＝∠ONC＝90°. ∵∠AMN＝∠CNM，∴∠OMN＝∠ONM. ∴OM＝ON.又∵OA＝OC， ∴Rt△OAM≌Rt△OCN.∴AM＝CN.∴AB＝CD.
证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等．根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法．
如图，已知AB为⊙O的直径，交CD于点E， ，则下列结论可能错误的是(　　) A．CE＝DE　　　B．AE＝OE　　 　C. 　　 D．△OCE≌△ODE
如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的 弦，AM＝BM，OM︰OC＝3︰5， 则AB的长为(　　) A．8 cm B. cm C．6 cm D．2 cm如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝ 60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为(　　) A. B．3 C．2 D．4
垂径定理基本图形计算中的四变量、两关系：  (1)四变量：如图，弦长为a，圆心到弦的距离(弦心距)为d，半径为r，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量中知任意两个可求其他两个． (2)两关系：① ＋d2＝r2；②h＋d＝r. 注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形