初中数学华师大版九年级上册25.2随机事件的概率综合与测试导学案

第18讲  随机事件的概率

1.不可预测事件的概率一般都通过事件发生的频率去估计．用频率估计概率时，一般观察所计算的各频率数值的变化趋势，即观察当试验次数很大时各数值主要集中在哪个常数附近，这个常数就是所求概率的估计值

2.可预测事件的概率一般都可以利用公式P(A)＝来计算，在具体运用时要先计算出所有可能的结果数，再计算出所求事件发生可能出现的结果数．

知识点01 频率与概率

1.频率与概率的定义

频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率.

无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.

概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即.

2.频率与概率的关系

事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.

【微点拨】

①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必   然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.

②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.

【即学即练1】

1.为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为　   　个．

【点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．

【答案】20．

【解析】解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：=0.2，

解得：n=20，

故答案为：20．

【总结】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

2. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？

【解析】落在黄色区域的可能性大.

　理由如下：　　　　

由图可知：黄色占整个转盘面积的 ；　　　

红色占整个转盘面积的 ；

蓝色占整个转盘面积的.　　　　

由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.　

【总结】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面积法、数值法等.

3.. 某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下：

(1)计算表中各场次比赛进球的频率；

(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?

【点拨】计算出每次的频率值，看频率稳定在哪个值附近，这个值就约等于概率.

【解析】

（1）

(2)P(进球)≈0.75.

【总结】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.

4.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；
　　(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？

【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90.
　       (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.

考法01  

1．从某批玉米种子里抽取6次，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下表：

根据以上数据可以估计：该批玉米种子发芽的概率为________(结果精确到0.1)．

【答案】0.8　

【解析】观察题中表格可以发现，随着试验中抽取种子粒数的不断增加，该批玉米种子的发芽频率逐渐稳定在0.8附近．

2．一名运动员在练习投篮时，命中的结果如下表：

(1)填表(结果精确到0.001)；

(2)根据表格求这名运动员投篮命中的频率稳定在哪个常数附近(结果精确到0.1)．

【答案】解：(1)表中依次填：0.900，0.750，0.867，0.787，0.805，0.797，0.803.

(2)根据表格可以看出，随着练习次数的增加，这名运动员投篮命中的频率稳定在0.8附近．

3．一个木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表：

(1)请将数据表补充完整；

(2)在下图中画出“兵”字面朝上的频率分布折线统计图；

(3)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；

(4)小明和小丽想利用这一试验进行比赛，为了使比赛结果对双方公平，请你为他们制定比赛的规则．

(第3题)

【答案】解：(1)所填数字为：18；0.55

(2)画出折线统计图如图所示．

(第3题)

(3)根据表中数据，频率为0.70；0.45；0.63；0.59；0.52；0.55；0.56；0.55，稳定在0.55左右，故估计这个概率是0.55.

(4)根据(3)可知，“兵”字面朝上的概率为0.55，小明和小丽想利用这一试验进行比赛，为了使比赛结果对双方公平，可制定比赛的规则为：“兵”字面朝上小明得4.5分，否则小丽得5.5分，投掷10次，得分高者获胜(答案不唯一)．

考法02 

1．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为(　　)

A.    B.     C.    D.

【答案】C

2．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数，从这十张卡片中随机抽取一张，上面所标数恰好能被4整除的概率是(　　)

A.    B.    C.    D.

【答案】C

【解析】在十张卡片上面所标数中，恰好能被4整除的为标有4，8的卡片，共2张，共有10张卡片，则随机抽一张，上面所标数恰好能被4整除的概率为2÷10＝，故选C.

3．如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2 cm，4 cm，6 cm，将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是________．

(第3题)　　

【答案】 　

【解析】题图中整个圆盘的面积为π·62＝36π(cm2)，

阴影圆环的面积为π·42－π·22＝12π(cm2)，

所以飞镖落在阴影圆环内的概率为＝.

4．如图，A，B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点上任意放置点C(不与点A，B重合)，恰好能使△ABC的面积为1的概率是________．

(第4题)

【答案】 　

【解析】根据三角形的面积公式可知，欲使△ABC的面积为1 ，且顶点C也在网格格点上，那么此三角形的底边、高的值应该分别为2，1或1，2，结合题目所给图形，可以找到全部符合条件的点．如图，图形中有34个格点，其中有8个格点可以使△ABC的面积为1，所以P(△ABC的面积为1)＝＝.此题容易漏解或者选取了不在网格格点上的点作为点C造成错解．

(第4题)

5．如图是芳芳自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成12个扇形，上面有12个有理数，求转出的数是：(1)正数的概率；(2)负数的概率；(3)绝对值小于6的数的概率；(4)相反数大于或等于8的数的概率．

                                 (第5题)

【答案】解：(1)P(正数)＝＝.

(2)P(负数)＝.

(3)P(绝对值小于6的数)＝.

(4)P(相反数大于或等于8的数)＝＝.

【分析】依据各类数所占的份数确定概率．

6．如图是一个被等分成6份的转盘，你能否在转盘上涂上颜色，使得自由转动的转盘满足以下条件：

(1)转盘停止后，指针落在红色和黄色区域的概率相等；

(2)转盘停止后，指针落在蓝色区域的概率大于落在红色区域的概率．

请你设计方案满足上述两个条件．

(第6题)

【答案】解：要满足P(指针落在红色区域)＝P(指针落在黄色区域)，P(指针落在蓝色区域)＞P(指针落在红色区域)，则只要使转盘中红色区域和黄色区域的份数相同，同时蓝色区域的份数大于红色区域的份数即可，所以应为1份红色区域，1份黄色区域，4份蓝色区域．

7．小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5，2，0这三个数字组成，但具体顺序忘记了，则她第一次就拨对电话的概率是(　　)

A.     B.    C.    D.

【答案】C　

【解析】此题用到了列举法．因为5，2，0这三个数字排列共有520，502，025，052，205，250六种情况，符合的只有一种，所以她第一次就拨对电话的概率是.

8．合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位上的概率是________．

(第8题)

【答案】 　

【解析】因为学生B，C，D坐到1，2，3号座位上共有6种情况：B，C，D；B，D，C；C，B，D；C，D，B；D，B，C；D，C，B.其中有2种情况(C，B，D；D，B，C)B坐在2号座位上，所以B坐在2号座位上的概率是＝.

9．如图是小明从自己家到姨妈家再到外公家的乘车方式图．问小明从自己家到姨妈家再到外公家始终乘坐同一种交通工具的概率是多少？

【答案】解：小明从自己家到姨妈家再到外公家乘坐交通工具的组合有：(火车，汽车)，(火车，火车)，(火车，飞机)，(汽车，汽车)，(汽车，飞机)，(汽车，火车)，(轮船，汽车)，(轮船，火车)，(轮船，飞机)，(飞机，汽车)，(飞机，火车)，(飞机，飞机)，共12种方式，始终乘坐同一种交通工具的情况有3种，所以他始终乘坐同一种交通工具的概率为＝.

题组A  基础过关练

1. 下列说法正确的是(   )．

A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.

B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖

C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨

D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

【答案】D.

2. 在不透明的袋中装有除颜色外，其余均相同的红球和黑球各一个，从中摸出一个球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率的大小关系是(   )

A．摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率

B．摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率

C．相等

D．不能确定

【答案】C.

【解析】两种情况的概率均为50%.

3.下列说法正确的是( 　)
A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1
B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业
C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，所以从袋中

取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)

D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面.

【答案】B.

4. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：
　　　　　　　　　　
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；　　

乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6号扇形；　　

丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；　　

丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有(   )
A．1个　　　 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个

【答案】A.

【解析】只有丙是正确的，指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率都是50%.

5. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有　  　个．

【答案】12.

【解析】设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴=，解得：x=12，故白球的个数为12个．故答案为：12．

10．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：

根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为        （精确到0.1）．

【答案】0.8；

【解析】随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近.

6. 下面4个说法中，正确的个数为_______．
(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．　　

(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．　　

(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．　

(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小．

【答案】0.

【解析】(1)中即使概率是99%，很大了，但是仍然有不是红球的可能，所以错误；　

(2) 因为有三个球，机会相等，所以概率应该是；　　

(3) 概率的取值范围是．　

　  (4) 应该是取出一只红球的可能性不存在．

题组B  能力提升练

7．口袋里有14个球，除颜色外都相同，其中1个红球、4个黄球、9个绿球．从口袋里随意摸出1个球，将摸到红球、黄球、不是红球，不是黄球的可能性按从小到大的顺序排列．

【答案】解：因为袋子中总球数固定，红球个数是1，黄球的个数是4，不是红球的个数是13，不是黄球的个数是10，所以摸到的球是红球的可能性<摸到的球是黄球的可能性<摸到的球不是黄球的可能性<摸到的球不是红球的可能性．

方法总结：在一个固定数量物品的整体中，判断事件发生的可能性大小时，某种物品的数量越多，则摸到或选中该种物品的可能性就越大，即可能性大小主要看这个事件中出现这个结果的机会的大小．

8．如图，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6.

(1)若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？

(2)求指针指向的数字能被3整除的概率．

【答案】解：(1)P(指针指向奇数区域)＝＝.

(2)P(指针指向的数字能被3整除)＝＝.

9．小樱和小贝一起做游戏．在一个不透明的袋子中放有4个红球和3个蓝球(这些球除颜色外其他均相同)，从袋子中随机摸出1个球，摸到红球小樱获胜，摸到蓝球小贝获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？

【答案】解：不公平．理由如下：因为袋子中放有4个红球和3个蓝球，即7个球，所以P(小樱获胜)＝，P(小贝获胜)＝.

又因为≠，所以游戏对双方不公平．

【分析】判断游戏是否公平，关键是看双方在游戏中所关注的事件发生的概率是否相同．

10．如图是两个可以自由转动的转盘，转盘被等分成若干个扇形．请你利用这两个转盘设计如下游戏：

(1)使概率等于；

(2)使概率等于；

(3)使概率最大．

【答案】解：(1)转动题图中的甲转盘，停止后，指针落在红色部分的概率为.

(2)转动题图中的甲转盘，停止后，指针落在蓝色部分(或黄色部分)的概率为.

(3)转动题图中的乙转盘，停止后，指针落在白色区域的概率为.

【分析】根据所设计的内容正确找到所有可能出现的结果是解决此类问题的关键．

题组C  培优拔尖练

11. 下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率

(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到一次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______.

(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_____次正面，正面出现的频率是_____；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_____次反面，反面出现的频率是______

(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是_______.
【解析】① 4；80%；

           ② 5006；50.1%；4993；49.9%；

           ③ .

12. 如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘，上面写有10个有理数．
　　（1）求转得正数的概率．
　　（2）求转得偶数的概率．
　　（3）求转得绝对值小于6的数的概率．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【解析】

解：（1）P（转得正数）==；
　　（2）P（转得偶数）==；
　　（3）P（转得绝对值小于6的数）==．

13. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
(1)求摸出1个球是白球的概率；　　

(2)现在再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．

【解析】(1)；

(2)由题意得，  ∴
　             经检验，n＝4是方程的根，且符合题意．