初中数学人教版七年级上册1.3 有理数的加减法综合与测试学案
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T
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教学内容
有理数的加减法
【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1.定义:把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法.
2.法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0;
(3)一个数同0相加,仍得这个数.
要点诠释:利用法则进行加法运算的步骤:
(1)判断两个加数的符号是同号、异号,还是有一个加数为零,以此来选择用哪条法则.
(2)确定和的符号(是“+”还是“-”).
(3)求各加数的绝对值,并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减).
3.运算律:
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加,交换加数的位置,和不变
符号语言
a+b=b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变
符号语言
(a+b)+c=a+(b+c)
要点诠释:交换加数的位置时,不要忘记符号.
要点二、有理数的减法
1.定义: 已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法,例如:(-5)+?=7,求?,减法是加法的逆运算.
要点诠释:(1)任意两个数都可以进行减法运算.
(2) 几个有理数相减,差仍为有理数,差由两部分组成:①性质符号;②数字即数的绝对值.
2.法则:减去一个数,等于加这个数的相反数,即有:.
要点诠释: 将减法转化为加法时,注意同时进行的两变,一变是减法变加法;二变是把减数变为它的相反数”.如:
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算,适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1.计算:
(1)(+20)+(+12); (2); (3)(+2)+(-11);
(4)(-3.4)+(+4.3); (5)(-2.9)+(+2.9); (6)(-5)+0.
【答案与解析】(1)(2)属于同一类型,用的是加法法则的第一条;(3)(4)属于同一类,用的是加法法则的第二条;(5)用的是第二条:互为相反数的两个数相加得0;(6)用的是法则的第三条.
(1)(+20)+(+12)=+(20+12)=+32=32;
(2)
(3)(+2)+(-11)=-(11-2)=-9
(4)(-3.4)+(+4.3)=+(4.3-3.4)=0.9
(5)(-2.9)+(+2.9)=0;
(6)(-5)+0=-5.
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加,是有理数加法的难点,在应用法则时,一定要先确定符号,再计算绝对值.
举一反三:
【变式1】计算:
【答案】
【变式2】计算:(1) (+10)+(-11); (2)
【答案】(1) (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1;
1.计算:(1) (2)
(3) (4) (5)
【思路点拨】(1)(2)属于同一类型,用的是加法法则的第一条:;(3)(5)属于同一类,用的是加法法则的第二条;(4)用的是法则的第三条.
【答案与解析】
(1);
(2)
(3)
(4)
(5)
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加,是有理数加法的难点,在应用法则时,一定要先确定符号,再计算绝对值.
举一反三:
【变式1】计算:(1) -7+10; (2) (-)+(-7.3); (3) 1+(-2); (4) 7+(-3.8)+(-7.2)
【答案】(1)原式=;
(2)原式=;(3)原式=;
(4)原式=
【变式2】计算:
【答案】
【变式3】计算:
.
【答案】解法一:
→同号的数一起先加
.
解法二:
→同分母,互为相反数的数,或几个数可以凑整的数分别结合相加
.
类型二、有理数的减法运算
2. 计算:(1)(-32)-(+5); (2)(+2)-(-25).
【思路点拨】此题是有理数的减法运算,先按照减法法则将减法转化为加法,再按照有理数的加法进行计算.
【答案与解析】法一:
法二:(1)原式=-32-5=-32+(-5)=-37;(2)原式=2+25=27
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算,也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
举一反三:
【变式】若( )﹣(﹣2)=3,则括号内的数是( )
A.﹣1 B.1 C.5 D.﹣5
【答案】B.
根据题意得:3+(﹣2)=1,则1﹣(﹣2)=3.
2. (1)2-(-3); (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4); (3).
【思路点拨】此题是有理数的减法运算,先按照减法法则将减法转化为加法,再按照有理数的加法进行计算.
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算.
(1)2-(-3)=2+3=5 (2)原式=0+3.72+(-2.72)+4=(0+4)+(3.72-2.72)=4+1=5
(3)原式=
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算,也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
类型三、有理数的加减混合运算
3.计算,能用简便方法的用简便方法计算.
(1) 26-18+5-16 ; (2)(+7)+(-21)+(-7)+(+21)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案与解析】
(1) 26-18+5-16
=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法
=(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加
= 31+(-34)=-3
(2)(+7)+(-21)+(-7)+(+21)
=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加
=0
(3)
→同分母的数先加
(4)
→统一成加法
→整数、小数、分数分别加
(5)
→统一同一形式(小数或分数),把可凑整的放一起
(6)
→整数,分数分别加
【总结升华】在进行加减混合的运算时,(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算;(2)观察各加数之间的关系,再运用“技巧”适当交换加数的位置,注意交换时各加数的带着符号一起交换.
举一反三:
【变式】用简便方法计算:
(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)
(2) 2
【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+) +(+3.1)]+(+0.8)
原式=(2-1-4)+(--+-)=-3+[-++(--)]=-3-1=-4
3.计算:(1)-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72;
(2)11-12+13-15+16-18+17; (3)
(4)
(5); (6)
【答案与解析】
(1)观察各个加数,可以发现-3.72与3.72互为相反数,把它们分为一组;
4.18、-2.93与-1.25的和为0,把它们分为一组可使计算简便.
解:-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72
=(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23
=0+0-1.23=-1.23
(2)把正数和负数分别分为一组.
解:11-12+13-15+16-18+17
=(11+13+16+17)+(-12-15-18)
=57+(-45)=12
(3)仔细观察各个加数,可以发现两个小数的和是-1,两个整数的和是29,三个分数通分后也不难算.故把整数、分数、小数分别分为一组.
解:
(4)3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组;-3.87与3.37的和为-0.5,把它们分为一组;与 易于通分,把它们分为一组;与同分母,把它们分为一组.
解:
(5)先把整数分离后再分组.
解:
注:带分数中的整数与分数分离时,如果这个数是负数,那么分离得到的整数与分数都是负数,例如 .
(6)如果按小数、整数分组,效果似乎不是很好.可先将小数和分数统一后再考虑分组.
解:
【总结升华】计算多个有理数相加时,必须先审题,分析特点,寻找规律,然后再去计算.注意在交换加数的位置时,要连同符号一起交换.
举一反三:
【变式】5.6+[0.9+4.4﹣(﹣8.1)].
【答案】解:原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19.
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
4.邮递员骑车从邮局出发,先向南骑行2km到达A村,继续向南骑行3km到达B村,然后向北骑行9km到C村,最后回到邮局.
(1)以邮局为原点,以向北方向为正方向,用1cm表示1km,画出数轴,并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置;
(2)C村离A村有多远?
(3)邮递员一共骑了多少千米?
【思路点拨】(1)以邮局为原点,以向北方向为正方向用1cm表示1km,按此画出数轴即可;
(2)可直接算出来,也可从数轴上找出这段距离;
(3)邮递员一共骑了多少千米?即数轴上这些点的绝对值之和.
【答案与解析】
解:(1)依题意得,数轴为:
;
(2)依题意得:C点与A点的距离为:2+4=6(千米);
(3)依题意得邮递员骑了:2+3+9+4=18(千米).
【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力,只要掌握数轴的基本知识即可.
举一反三:
【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏,每组的基本分为100分,答对一题加50分,答错一题扣50分,游戏结束后各组的得分如下表:
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
100
150
350
-400
-100
(1)第一名超过第二名多少分?
(2)第一名超过第五名多少分?
【答案】由表看出:第一名350分,第二名150分,第五名-400分.
(1) 350-150=200(分)
(2) 350-(-400)=350+400=750(分)
答:第一名超过第二名200分;第一名超过第五名750分.
【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋,每袋重量(单位:千克)如下:
197,202,197,203,200,196,201,198.
计算出售的粮食总共多少千克?
【答案】法一:以200(千克)为基准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,则这8个数的差的累计是:(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)=-6
200×8+(-6)=1594(千克)
答:出售的粮食共1594千克.
法二:197+202+197+203+200+196+201+198=1594(千克)
答:出售的粮食共1594千克.
4.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案,故又称“龟背图”,中国
古代数学史上经常研究这一神话.
(1)现有1,2,3,4,5,6,7,8,9共九个数字,请将它们分别填入图1的九个方格中,使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15;
(2)通过研究问题(1),利用你发现的规律,将3,5,﹣7,1,7,﹣3,9,﹣5,﹣1
这九个数字分别填入图2的九个方格中,使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等.
【答案与解析】
解:(1)15÷3=5,
∴最中间的数是5,其它空格填写如图1;
(2)如图2所示.
【总结升华】本题考查了有理数加法,熟知“九宫图”的填法是解题的关键.
举一反三:
【变式】某产粮专业户出售粮食8袋,每袋重量(单位:千克)如下:
197,202,197,203,200,196,201,198.
计算出售的粮食总共多少千克?
【答案】法一:以200(千克)为基准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,则这8个数的差的累计是:(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)=-6
200×8+(-6)=1594(千克)
答:出售的粮食共1594千克.
法二:197+202+197+203+200+196+201+198=1594(千克)
答:出售的粮食共1594千克.
【巩固练习一】
一、选择题
1.某市2009年元旦的最高气温为2℃,最低气温为-8℃,那么这天的最高气温比最低气温高( ).
A.-10℃ B.-6℃ C.6℃ D.10℃
2.(2015•吉林)若等式0□1=﹣1成立,则□内的运算符号为( )
A.+B.﹣C.×D.÷
3.两个有理数相加,和小于其中一个加数而大于另一个加数,需满足 ( )
A.两个数都是正数 B.两个数都是负数
C.一个是正数,另一个是负数 D.至少有一个数是零
4.下列说法中正确的是
A.正数加负数,和为0
B.两个正数相加和为正;两个负数相加和为负
C.两个有理数相加,等于它们的绝对值相加
D.两个数的和为负数,则这两个数一定是负数
5.下列说法正确的是( )
A.零减去一个数,仍得这个数
B.负数减去负数,结果是负数
C.正数减去负数,结果是正数
D.被减数一定大于差
6.某粮店出售的三种品牌的面粉袋上,分别标有质量为(25±0.1)kg,(25±0.2)kg,(25±0.3)kg的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差 ( )
7. -3+5的相反数是( ).
A.2 B.-2 C.-8 D.8
二、填空题
8.有理数 c在数轴上对应点位置如图所示,用“>”或“<”
(1)|a|______|b|;(2)a+b+c______0:
(3)a-b+c______0;(4)a+c______b;
(5)c-b______a.
9. 计算:|﹣2|+2=________.
10.某月股票M开盘价20元,上午10点跌1.6元,下午收盘时又涨了0.4元,则股票这天的收盘价是_______.
11.列出一个满足下列条件的算式:(1)所有的加数都是负数,和为-5,________;(2)一个加数是0,和是-5________;(3)至少有一个加数是正整数,和是-5,________.
12. 数学活动课上,王老师给同学们出了一道题:规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b,有a☆b=a-b+1,请你根据新运算,计算(2☆3)☆2的值是 .
13.如图所示,数轴上A、B两点所表示的有理数的和是_________.
三、解答题
(1) (2)
(3) (4)
(5)
(6)
15. 已知:|a|=2,|b|=3,求a+b的值.
16. .(2014•永嘉县校级模拟)某人用400元购买了8套儿童服装,准备以一定价格出售,如果以每套儿童服装55元的价格为标准,超出的记作正数,不足的记作负数,记录如下:+2,﹣3,+2,+1,﹣2,﹣1,0,﹣2.(单位:元)
(1)当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损?
(2)盈利(或亏损)了多少钱?
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】2-(-8)=2+8=10(℃).
2.【答案】B
3. 【答案】C
【解析】举例验证.
4.【答案】B
【解析】举反例:如5+(-2)=+3≠0,故A错;如:(-2)+(-3)≠|-2|+|-3|,故C错;如(+2)+(-8)=-6,故D错误.
5.【答案】C
【解析】举反例逐一排除.
6.【答案】B
【解析】因为最低重量为24.7kg,最大重量为25.3kg,故质量最多相差25.3-24.7=0.6kg.
7.【答案】B
二、填空题
8. 【答案】<,<,>,>,>
【解析】由图可知:,且,再根据有理数的加法法则可得答案.
9.【答案】4.
10.【答案】18.8元
【解析】跌1.6元记为-1.6元,涨0.4元记为+0.4元,故有收盘价为20+(-1.6)+0.4-18.8.
11.【答案】(1)(-2)+(-3)=-5 (2)(-5)+0=-5 (3)2+(-7)=-5
【解析】答案不唯一.
12. 【答案】-1
【解析】(2☆3)☆2=(2☆3)-2+1=2-3+1-2+1=-1
13. 【答案】-1.
三、解答题
14. 【解析】(1)原式;
(2)原式
(3)原式
(4)原式
(5)原式
(6)原式=
15. 【解析】由题意知:a=±2, b=±3,所以要分四种情况代入求值.
∵|a|=2, ∴ a=±2, ∵|b|=3, ∴b=±3.
当a=+2, b=+3时, a+b=(+2)+(+3)=+5;
当a=+2, b=-3时, a+b=(+2)+(-3)=-1;
当a=-2,b=+3时, a+b=(-2)+(+3)=+1;
当a=-2, b=-3时, a+b=(-2)+(-3)=-5.
16. 【解析】
解:根据题意得
(1)2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2=﹣3,
55×8+(﹣3)=437元,
∵437>400,
∴卖完后是盈利;
(2)437﹣400=37元,
故盈利37元.
【巩固练习二】
一、选择题
1.某地一天的最高气温是12℃,最低气温是2℃,则该地这天的温差是( )
A.﹣10℃B.10℃C.14℃D.﹣14℃
2.两数相加,和比每个加数都小,那么这两个数是( ).
A.同为负数B.两数异号 C.同为正数D.负数和零
3.如果三个数的和为零,那么这三个数一定是( ).
A.两个正数,一个负数 B.两个负数,一个正数
C.三个都是零 D.其中两个数之和等于第三个数的相反数
4. 若,, 则与的和是 ( )
A. B. C. D. .
5.下列判断正确的是( )
A.两数之差一定小于被减数.
B.若两数的差为正数,则两数都为正数.
C.零减去一个数仍得这个数.
D.一个数减去一个负数,差一定大于被减数.
6.某粮店出售的三种品牌的面粉袋上,分别标有质量为(25±0.1)kg,(25±0.2)kg,(25±0.3)kg的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差 ( )
A.0.8kg B.0.6kg C.0.5kg D.0.4kg
二、填空题
7.有理数在数轴上对应点位置如图所示,用“>”或“<”填空:
(1)|a|______|b|;(2)a+b+c______0:
(3)a-b+c______0; (4)a+c______b;
(5)c-b______a.
8.小明存折中原有450元,取出260元,又存入150元,现在存折中还有______元.
9. 若a ,b 为整数,且|a-2|+| a -b|=1,则a+b=________.
10.某地的冬天,半夜的温度是-5C,早晨的温度是-1C,中午的温度是4
(1)早晨的温度比半夜的温度高________度;
(2)早晨的温度比中午的温度低________度.
11.北京与纽约的时差为-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚).如果现在是北京时间15:00,那么纽约时间是______________
12. 数学活动课上,王老师给同学们出了一道题:规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b,有a☆b=a-b+1,请你根据新运算,计算(2☆3)☆2的值是 .
三、解答题
(1);
(2)
(3)
(4)1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100的值.
(5);
(6)
14.数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x,不大于3的正整数的个数为y,绝对值等于3的整数的个数为z,求:x+y+z的值.
15.阅读下列材料:
因为,,…,
所以……
请模仿上面的方法计算:
.
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B.
2. 【答案】A
【解析】A正确,若两数均为负数,则和为绝对值更大的负数,所以小于每个加数;B错误,若两数异号,则和的大小一定位于两个加数之间;C错误,若两数均为正数,则和大于每一个加数;D错误,负数和0的和还是原来这个负数.
3. 【答案】D
【解析】若,则或或,所以D正确.
4.【答案】D
【解析】()的符号与绝对值较大的一致为负的,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,即有.
5. 【答案】D
【解析】A错误,反例:2-(-3)=5,而5>2;B不对,反例:2-(-3)=5,而-3为负数;C错误,0-2=-2,0-(-2)=2,所以零减去一个数得这个数的相反数.
6.【答案】B
【解析】因为最低重量为24.7kg,最大重量为25.3kg,故质量最多相差25.3-24.7=0.6kg.
二、填空题
7. 【答案】<,<,>,>,>
【解析】由图可知:,且,再根据有理数的加法法则可得答案.
8.【答案】340
【解析】450﹣260+150=290+150=340(元).
9.【答案】2,6,3或5
【解析】当|a-2|=1,| a -b|=0时,得:a+b=6或2;当|a-2|=0,| a -b|=1时,得:a+b=3或5;
10.【答案】(1)4 (2) 5
【解析】 (1)-1-(-5)=4 (2) -1-(+4)= -5
11.【答案】2:00
【解析】15:00+(-13)=2:00.
12. 【答案】 -1
【解析】(2☆3)☆2=(2☆3)-2+1=2-3+1-2+1=-1
三、解答题
13. 【解析】(1)原式
(2)原式
(3)原式
=
.
(4)1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100
=[1+(-2) + (-3)+4]+[5+(-6) + (-7)+8]+…+[97+(-98) + (-99)+100]
=0+0++…+0=0.
(5)
(6)原式
14.【解析】
解:根据数轴,到原点的距离小于3的整数为0,±1,±2,即x=5,
不大于3的正整数为1,2,3,即y=3,
绝对值等于3的整数为3,﹣3,即z=2,
所以x+y+z=10.
15. 【解析】
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