初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试习题ppt课件

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1．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理“等边对等角”，知它们所对的角也相等，这与题设两个角不相等相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立．
2．有下列命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．
(1)③和⑤是互逆命题吗？
解：由于③的条件是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由命题③交换条件和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．
解：③的逆命题：如果a>0，b>0，那么a＋b>0；⑤的逆命题：如果ab>0，那么a>0，b>0.
(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？
(3)请指出哪几个命题是互逆命题．
①与④、②与⑥分别是互逆命题．
3．下列三个定理中，存在逆定理的有(　　)个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行．A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
4．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与其逆命题是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；
解：逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们是互逆定理．
解：逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是同一个角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不是互逆定理．
(2)同角的补角相等．
5．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交DE，AD于点F，M.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．
解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.又∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D＝25°，∠BAC＝∠DAE＝50°.　∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.∴∠AMF＝∠BAD＋∠B＝60°＋25°＝85°.∴∠DFB＝∠AMF－∠D＝85°－25°＝60°.
6．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°.思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
7．【中考·怀化】如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.　∵△EBC是等边三角形，∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°.∴∠EBA＝∠ECD＝30°.
(2)求∠AED的度数．
解：由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°，　∴∠BAE＝∠BEA＝75°. 同理，∠CDE＝∠CED＝75°.∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.　
8．【2021·乐山】如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为(　　)A．120°B．130°C．140°D．150°
证明：如图，连接AM.∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM. ∴∠MAB＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∴∠MAB＝30°. ∴∠MAC＝90°.∵∠C＝30°，∴CM＝2AM. ∴CM＝2BM.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.
10．【中考·东营】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D.若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是__________．
11．【中考·咸宁】已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.(1)如图①，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)如图②，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
根据以上作图步骤，请你证明∠A′O′B′＝∠AOB.
证明：如图所示．∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2. ∴∠2＝∠3.∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.　∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE，即△BDE是等腰三角形．
12．【中考·内江】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD.求四边形ABCD的面积．
14．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，∴点O在∠BAC的平分线上．
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
15．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC的外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：(1)∠1＝∠2；
证明：∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B＝60°.又∵∠ADC＝∠2＋∠ADE＝∠1＋∠B，∴∠1＝∠2.
证明：如图，在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD，则∠BMD＝∠BDM.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC.∴∠BMD＝60°. ∴∠AMD＝120°.∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝120°.∵CE是∠ACF的平分线，∴∠ECA＝∠ECF＝60°.∴∠DCE＝120°. ∴∠AMD＝∠DCE.
16．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的大小关系，并说明理由．
解：AB＝AC.理由如下：∵AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形．取线段DE的中点F，连接AF，则AF既是△ADE的中线又是底边上的高，即AF⊥DE，DF＝EF.又∵BD＝CE，∴BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.∴AF是线段BC的垂直平分线．根据线段的垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，可得AB＝AC.
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，BD＝CD，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC.(1)求证：∠APO＋∠DCO＝30°；
解：△OPC是等边三角形．理由如下：∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∠PBC＝30°，∴∠APC＋∠DCP＝150°.∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°.∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°.又∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形．
(2)判断△OPC的形状，并说明理由．
18．如图所示，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，过点P作PD⊥BM，垂足为D，作PF⊥BN，垂足为F.求证：BP是∠ABC的平分线．
证明：如图所示，过点P作PE⊥AC，垂足为E.∵AP，CP分别平分∠MAC，∠NCA，且PD⊥BM，PF⊥BN，∴PD＝PE，PF＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．∴PD＝PF.又∵PD⊥BM，PF⊥BN，∴点P在∠ABC的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．∴BP是∠ABC的平分线．
19．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．写出作法，并说明理由．
解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长，交直线l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.