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辽宁省本溪市九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份辽宁省本溪市九年级（上）期末数学试卷（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象应在（ ）
A．第一，三象限B．第一，二象限C．第二，四象限D．第三，四象限
3．图中三视图所对应的直观图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
6．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． cmB．2cmC．2cmD．4cm
7．在函数y=（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
8．已知=3，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（ ）
A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为 ．
13．一药品售价100元，连续两次降价后的价格为81元，则平均每次降价的降价率是 %．
14．已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为 cm．
15．（3分）已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y=mx+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
16．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为 ．
17．如图，正方形OABC和正方形ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则E点的坐标是 ．
18．（3分）对于正数x，规定f（x）=，例如f（2）=，f（3）=，f（）=，f（）=，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）的结果是 ．
三、解答题（共8小题，满分96分）
19．
（2）x（x+3）=7（x+3）
20．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．
21．为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．
（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？
22．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
23．（10分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°求证：AG=FG．
24．（12分）直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y=（x＜0）交于点A（﹣1，n）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值．
25．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ= ；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线l所在的直线的解析式为y=x，点B坐标为（10，0）过B做BC⊥直线l，垂足为C，点P从原点出发沿x轴方向向点B运动，速度为1单位/s，同时点Q从点B出发沿B→C→原点方向运动，速度为2个单位/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）OC= ，BC= ；
（2）当t=5（s）时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；
（3）设点P的运动时间为t（s），△PBQ的面积为y，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
2017-2018学年辽宁省本溪市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象应在（ ）
A．第一，三象限B．第一，二象限C．第二，四象限D．第三，四象限
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先利用待定系数法确定函数的表达式，再根据k的正负确定函数图象经过的象限．
【解答】解：y=，图象过（﹣3，﹣4），
所以k=12＞0，函数图象位于第一，三象限．
故选A．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的常数k和考查了反比例函数图象的性质．
3．图中三视图所对应的直观图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同．
只有C满足这两点．
故选C．
【点评】本题考查了三视图的概念．易错易混点：学生易忽略圆柱的高与长方体的高的大小关系，错选B．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得△＞0，即△=4﹣4（﹣k）＞0，解得k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=4﹣4（﹣k）＞0，
∴k＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． cmB．2cmC．2cmD．4cm
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故选D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
7．在函数y=（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】数形结合．
【分析】由k＜0，根据反比例函数的性质得到函数y=的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，而A（1，y1）在第四象限、B（﹣1，y2）和C（﹣2，y3）在第二象限，所以y1＜0，y2＞0，y3＞0，且y2＞y3，于是有y1＜y3＜y2．
【解答】解：∵k＜0，
∴函数y=的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∴y1＜0，y2＞0，y3＞0，且y2＞y3，
∴y1＜y3＜y2．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k≠0）的图象上点的横纵坐标之积等于定值k．也考查了反比例函数的性质．
8．已知=3，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把=3，代入就可以进行计算．
【解答】解：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，
==．
故选B．
【点评】解答本题关键在于利用分式基本性质从所求算式中整理出已知条件的形式，再进行代入计算，此方法中考题中常用，是热点．
9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】网格型．
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：B．
【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．
10．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（ ）
A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm
【考点】矩形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】∵△CDE的周长=CD+DE+EC，又EC=AE，∴周长=CD+AD．
【解答】解：∵ABCD为矩形，∴AO=OC．
∵EF⊥AC，
∴AE=EC．
∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（cm）
故选D．
【点评】本题的关键是利用线段垂直平分线的性质求出AE=CE，进而求三角形的周长．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 3 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到﹣2•x1=﹣6，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程另一个根为x1，根据题意得﹣2•x1=﹣6，
所以x1=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
12．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为 1 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，
∵AB=m，AB边上的高是n．
∴S△ABC=mn=×2=1，
故答案是：1．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13．一药品售价100元，连续两次降价后的价格为81元，则平均每次降价的降价率是 10 %．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设平均每次减价率是x，根据题意得
100（1﹣x）2=81，
解之，得x1=1.9（舍去），x2=0.1．
即平均每次降价率是10%．
【点评】本题需仔细分析题意，利用一元二次方程解决问题，但应注意解的取舍．
14．已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为 4.8 cm．
【考点】菱形的性质．
【分析】由四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，即可得AC⊥BD，OC=AC=3cm，OB=BD=4cm，然后由勾股定理求得BC的长，又由S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AC⊥BD，OC=AC=3cm，OB=BD=4cm，
∴BC==5（cm），
∵S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，
∴×6×8=5×AE，
∴AE=4.8（cm）．
故答案为：4.8．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
[来源:学&科&网]
15．（3分）已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y=mx+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
【考点】一次函数的性质．
【分析】根据题意四边形ABCD是矩形，所以直线y=mx+2只要经过对角线的交点即可．
【解答】解：如图，∵A（0，0），B（10，0），C（10，），D（0，6），
∴OD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC、BD的交点K（5，3），
∴直线y=mx+2经过点K（5，3）时，直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，
∴3=5m+2，
∴m=．
故答案为．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、一次函数的性质等知识，掌握中心对称图形的性质是解决问题的关键．
16．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为 ．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】网格型．
【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】解：连接CD．
则CD=，AD=，
则tanA===．
故答案是：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
17．如图，正方形OABC和正方形ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则E点的坐标是 （） ．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】设正方形ADEF的边长是a，则E的纵坐标是a，则可以求得D的横坐标，进而求得A的横坐标，得到B的坐标，根据E的坐标满足函数的解析式即可求得a的值，从而求得E的坐标．
【解答】解：设正方形ADEF的边长是a，则E的纵坐标是a，
把y=a代入y=得：x=，
则E的横坐标，即D的横坐标是：，
则A、B的横坐标是：﹣a=，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=AB，则B的坐标是：（，）．
∵B是y=上的点．
则=，
解得：a=，
则E的横坐标是： ==．
则E的坐标是（，）．
故答案是：（，）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，以及正方形的性质，正确理解两个正方形的关系是关键．
18．（3分）对于正数x，规定f（x）=，例如f（2）=，f（3）=，f（）=，f（）=，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）的结果是 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】规律型．
【分析】根据f（x）=，可得相应的函数值，根据加法交换律，结合律，可得答案．
【解答】解：原式=+++…++++++…+++
=（+）+（+）+（+）+…+（+）+（+）+
=2015+
=，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减，利用f（x）=得出相应的函数值，利用运算律是解题关键．
三、解答题（共8小题，满分96分）
19．
（2）x（x+3）=7（x+3）
【考点】特殊角的三角函数值；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入式子，根据二次根式的性质计算即可；
（2）运用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）
=
=1；
（2）x（x+3）﹣7（x+3）=0，
（x+3）（x﹣7）=0，
x+3=0，x﹣7=0，
解得，x1=﹣3，x2=7．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值和因式分解法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值、灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
20．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠A=∠C，再加上条件AE=CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；
（2）首先证明DF=BE，再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形，又DF=FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DF=FB，
∴四边形DEBF为菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质．
21．（12分）（2012•广安）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．
（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后利用树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）由小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
如图，可得某个同学抽签的所有等可能情况有16种；
（2）∵小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，
∴他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是=．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）过点B作BE⊥AD于点E，然后根据AB=40m，∠A=30°，可求得点B到AD的距离；
（2）先求出∠EBD的度数，然后求出AD的长度，然后根据∠A=30°即可求出CD的高度．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB=40m，∠A=30°，
∴BE=AB=20m，AE==20m，
即点B到AD的距离为20m；
（2）在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，
∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，
∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴DC==（10+10）m．
答：塔高CD为（10+10）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．（10分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°求证：AG=FG．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】证明题．
【分析】过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG．
【解答】证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB=45°，
∴CH=HF，
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
在△AGB和△BHC中，
，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG=BH，BG=CH，
∵BH=BG+GH，
∴BH=HF+GH=FG，
∴AG=FG．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高，题目难度不小．
24．（12分）直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y=（x＜0）交于点A（﹣1，n）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得直线解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的判定，可得△OCB是等腰直角三角形，根据正弦函数，可得OM的长，根据勾股定理，可得OA的长，再根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【解答】解：（1）将C点代入y=x+b中得到b=﹣4，
∴y=x﹣4；
再将A点带入y=x﹣4得到n=﹣5，
∴A（﹣1，﹣5），
∴m=﹣1×（﹣5）=5，
∴y=
∴直线与双曲线的解析式分别为y=x﹣4，y=；
（2）过点O作OM⊥AC于点M，
当x=0时，y=﹣4，即B（0，﹣4）．
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴在△OMB中 sin45°=，
∴OM=4×=2．
∴在直角三角形AOM中，
AO==，
sin∠OAB==．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，利用正弦函数得出OM的长是解题关键．
25．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ= 8 ；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】综合题；压轴题；分类讨论．
【分析】（1）可通过证△APD∽△CDQ来求解．
（2）不会改变，关键是还是证△APD∽△CDQ，已知了一组45°角，关键是证（1）中的∠APD=∠QDC，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么∠APD=90°﹣α，∠CDQ=90°﹣α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．
（3）本题分类两种情况进行讨论：①当0°＜α＜45°时②当45°≤α＜90°时．
【解答】解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜边中点为O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案为：8．
（2）AP•CQ的值不会改变．
理由如下：
∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°﹣45°﹣（45°+α）=90°﹣α，
∠CDQ=90°﹣α，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴．
∴AP•CQ=AD•CD=AD2=（AC）2=8．
（3）情形1：当0°＜α＜45°时，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=
于是y=AB•BC﹣CQ•DN﹣AP•DG
=8﹣x﹣（2＜x＜4）
情形2：当45°≤α＜90°时，0＜CQ≤2时，即0＜x≤2，此时两三角板重叠部分为△DMQ，
由于AP=，PB=﹣4，易证：△PBM∽△DNM，
∴即解得．
∴MQ=4﹣BM﹣CQ=4﹣x﹣．
于是y=MQ•DN=4﹣x﹣（0＜x≤2）．
综上所述，当2＜x＜4时，y=8﹣x﹣．
当0＜x≤2时，y=4﹣x﹣（或y=）．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及二次函数等知识的综合应用．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线l所在的直线的解析式为y=x，点B坐标为（10，0）过B做BC⊥直线l，垂足为C，点P从原点出发沿x轴方向向点B运动，速度为1单位/s，同时点Q从点B出发沿B→C→原点方向运动，速度为2个单位/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）OC= 8 ，BC= 6 ；
（2）当t=5（s）时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；
（3）设点P的运动时间为t（s），△PBQ的面积为y，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据勾股定理，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得直线PQ上的点到O、C的距离相等，根据两点之间线段最短，可得M点与P点重合，根据三角形的周长，可得答案；
（3）根据速度与时间的关系，可得OP，BQ，根据正切函数，可得QH，根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l所在的直线的解析式为y=x，BC⊥直线l，
∴=．
又∵OB=10，BC=3x，OC=4x，
∴（3x）2+（4x）2=102，
解得x=2，x=﹣2（舍），
OC=4x=8，BC=3x=6，
故答案为：8，6；
（2）如图1：，
PQ是OC的垂直平分线，OB交PQ于P即M点与P点重合，
M与P点重合时△BCM的周长最小，
周长最小为=BM+PM+BC=OB+BC=10+6=16；
（3）①当0＜t≤3时，过Q作QH⊥OB垂足为H，如图2：，
PB=10﹣t，BQ=2t，HQ=2t•sinB=2t•cs∠COB=2t×=t，
y=PB•QH=（10﹣t）t=﹣t2+8t；
②当3＜t＜5时，过Q作QH⊥OB垂足为H，如图3：，
PB=10﹣t，OQ=OC+BC﹣2t=14﹣2t，
QH=OQ•sin∠QOH=（14﹣2t）=（14﹣2t）=﹣t，
y=PB•QH=（10﹣t）（﹣t）=t2﹣t+42，
综上所述y=．
【点评】本题考查了一次函数综合题，利用轴对称的性质得出M与P重合是解题关键；利用锐角三角函数得出QH的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象应在（ ）
A．第一，三象限B．第一，二象限C．第二，四象限D．第三，四象限
3．图中三视图所对应的直观图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
6．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． cmB．2cmC．2cmD．4cm
7．在函数y=（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
8．已知=3，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（ ）
A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为 ．
13．一药品售价100元，连续两次降价后的价格为81元，则平均每次降价的降价率是 %．
14．已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为 cm．
15．（3分）已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y=mx+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
16．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为 ．
17．如图，正方形OABC和正方形ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则E点的坐标是 ．
18．（3分）对于正数x，规定f（x）=，例如f（2）=，f（3）=，f（）=，f（）=，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）的结果是 ．
三、解答题（共8小题，满分96分）
19．
（2）x（x+3）=7（x+3）
20．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．
21．为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．
（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？
22．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
23．（10分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°求证：AG=FG．
24．（12分）直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y=（x＜0）交于点A（﹣1，n）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值．
25．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ= ；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线l所在的直线的解析式为y=x，点B坐标为（10，0）过B做BC⊥直线l，垂足为C，点P从原点出发沿x轴方向向点B运动，速度为1单位/s，同时点Q从点B出发沿B→C→原点方向运动，速度为2个单位/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）OC= ，BC= ；
（2）当t=5（s）时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；
（3）设点P的运动时间为t（s），△PBQ的面积为y，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
2017-2018学年辽宁省本溪市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．如果反比例函数y=的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象应在（ ）
A．第一，三象限B．第一，二象限C．第二，四象限D．第三，四象限
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先利用待定系数法确定函数的表达式，再根据k的正负确定函数图象经过的象限．
【解答】解：y=，图象过（﹣3，﹣4），
所以k=12＞0，函数图象位于第一，三象限．
故选A．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的常数k和考查了反比例函数图象的性质．
3．图中三视图所对应的直观图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同．
只有C满足这两点．
故选C．
【点评】本题考查了三视图的概念．易错易混点：学生易忽略圆柱的高与长方体的高的大小关系，错选B．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得△＞0，即△=4﹣4（﹣k）＞0，解得k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=4﹣4（﹣k）＞0，
∴k＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． cmB．2cmC．2cmD．4cm
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故选D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
7．在函数y=（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】数形结合．
【分析】由k＜0，根据反比例函数的性质得到函数y=的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，而A（1，y1）在第四象限、B（﹣1，y2）和C（﹣2，y3）在第二象限，所以y1＜0，y2＞0，y3＞0，且y2＞y3，于是有y1＜y3＜y2．
【解答】解：∵k＜0，
∴函数y=的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∴y1＜0，y2＞0，y3＞0，且y2＞y3，
∴y1＜y3＜y2．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k≠0）的图象上点的横纵坐标之积等于定值k．也考查了反比例函数的性质．
8．已知=3，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把=3，代入就可以进行计算．
【解答】解：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，
==．
故选B．
【点评】解答本题关键在于利用分式基本性质从所求算式中整理出已知条件的形式，再进行代入计算，此方法中考题中常用，是热点．
9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】网格型．
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：B．
【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．
10．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（ ）
A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm
【考点】矩形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】∵△CDE的周长=CD+DE+EC，又EC=AE，∴周长=CD+AD．
【解答】解：∵ABCD为矩形，∴AO=OC．
∵EF⊥AC，
∴AE=EC．
∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（cm）
故选D．
【点评】本题的关键是利用线段垂直平分线的性质求出AE=CE，进而求三角形的周长．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 3 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到﹣2•x1=﹣6，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程另一个根为x1，根据题意得﹣2•x1=﹣6，
所以x1=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
12．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为 1 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，
∵AB=m，AB边上的高是n．
∴S△ABC=mn=×2=1，
故答案是：1．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13．一药品售价100元，连续两次降价后的价格为81元，则平均每次降价的降价率是 10 %．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设平均每次减价率是x，根据题意得
100（1﹣x）2=81，
解之，得x1=1.9（舍去），x2=0.1．
即平均每次降价率是10%．
【点评】本题需仔细分析题意，利用一元二次方程解决问题，但应注意解的取舍．
14．已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为 4.8 cm．
【考点】菱形的性质．
【分析】由四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，即可得AC⊥BD，OC=AC=3cm，OB=BD=4cm，然后由勾股定理求得BC的长，又由S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AC⊥BD，OC=AC=3cm，OB=BD=4cm，
∴BC==5（cm），
∵S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，
∴×6×8=5×AE，
∴AE=4.8（cm）．
故答案为：4.8．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
[来源:学&科&网]
15．（3分）已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y=mx+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
【考点】一次函数的性质．
【分析】根据题意四边形ABCD是矩形，所以直线y=mx+2只要经过对角线的交点即可．
【解答】解：如图，∵A（0，0），B（10，0），C（10，），D（0，6），
∴OD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC、BD的交点K（5，3），
∴直线y=mx+2经过点K（5，3）时，直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，
∴3=5m+2，
∴m=．
故答案为．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、一次函数的性质等知识，掌握中心对称图形的性质是解决问题的关键．
16．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为 ．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】网格型．
【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】解：连接CD．
则CD=，AD=，
则tanA===．
故答案是：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
17．如图，正方形OABC和正方形ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则E点的坐标是 （） ．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】设正方形ADEF的边长是a，则E的纵坐标是a，则可以求得D的横坐标，进而求得A的横坐标，得到B的坐标，根据E的坐标满足函数的解析式即可求得a的值，从而求得E的坐标．
【解答】解：设正方形ADEF的边长是a，则E的纵坐标是a，
把y=a代入y=得：x=，
则E的横坐标，即D的横坐标是：，
则A、B的横坐标是：﹣a=，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=AB，则B的坐标是：（，）．
∵B是y=上的点．
则=，
解得：a=，
则E的横坐标是： ==．
则E的坐标是（，）．
故答案是：（，）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，以及正方形的性质，正确理解两个正方形的关系是关键．
18．（3分）对于正数x，规定f（x）=，例如f（2）=，f（3）=，f（）=，f（）=，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）的结果是 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】规律型．
【分析】根据f（x）=，可得相应的函数值，根据加法交换律，结合律，可得答案．
【解答】解：原式=+++…++++++…+++
=（+）+（+）+（+）+…+（+）+（+）+
=2015+
=，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减，利用f（x）=得出相应的函数值，利用运算律是解题关键．
三、解答题（共8小题，满分96分）
19．
（2）x（x+3）=7（x+3）
【考点】特殊角的三角函数值；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入式子，根据二次根式的性质计算即可；
（2）运用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）
=
=1；
（2）x（x+3）﹣7（x+3）=0，
（x+3）（x﹣7）=0，
x+3=0，x﹣7=0，
解得，x1=﹣3，x2=7．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值和因式分解法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值、灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
20．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠A=∠C，再加上条件AE=CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；
（2）首先证明DF=BE，再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形，又DF=FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DF=FB，
∴四边形DEBF为菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质．
21．（12分）（2012•广安）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．
（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后利用树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）由小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
如图，可得某个同学抽签的所有等可能情况有16种；
（2）∵小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，
∴他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是=．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）过点B作BE⊥AD于点E，然后根据AB=40m，∠A=30°，可求得点B到AD的距离；
（2）先求出∠EBD的度数，然后求出AD的长度，然后根据∠A=30°即可求出CD的高度．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB=40m，∠A=30°，
∴BE=AB=20m，AE==20m，
即点B到AD的距离为20m；
（2）在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，
∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，
∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴DC==（10+10）m．
答：塔高CD为（10+10）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．（10分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°求证：AG=FG．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】证明题．
【分析】过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG．
【解答】证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB=45°，
∴CH=HF，
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
在△AGB和△BHC中，
，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG=BH，BG=CH，
∵BH=BG+GH，
∴BH=HF+GH=FG，
∴AG=FG．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高，题目难度不小．
24．（12分）直线y=x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y=（x＜0）交于点A（﹣1，n）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得直线解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的判定，可得△OCB是等腰直角三角形，根据正弦函数，可得OM的长，根据勾股定理，可得OA的长，再根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【解答】解：（1）将C点代入y=x+b中得到b=﹣4，
∴y=x﹣4；
再将A点带入y=x﹣4得到n=﹣5，
∴A（﹣1，﹣5），
∴m=﹣1×（﹣5）=5，
∴y=
∴直线与双曲线的解析式分别为y=x﹣4，y=；
（2）过点O作OM⊥AC于点M，
当x=0时，y=﹣4，即B（0，﹣4）．
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴在△OMB中 sin45°=，
∴OM=4×=2．
∴在直角三角形AOM中，
AO==，
sin∠OAB==．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，利用正弦函数得出OM的长是解题关键．
25．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ= 8 ；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】综合题；压轴题；分类讨论．
【分析】（1）可通过证△APD∽△CDQ来求解．
（2）不会改变，关键是还是证△APD∽△CDQ，已知了一组45°角，关键是证（1）中的∠APD=∠QDC，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么∠APD=90°﹣α，∠CDQ=90°﹣α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．
（3）本题分类两种情况进行讨论：①当0°＜α＜45°时②当45°≤α＜90°时．
【解答】解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜边中点为O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案为：8．
（2）AP•CQ的值不会改变．
理由如下：
∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°﹣45°﹣（45°+α）=90°﹣α，
∠CDQ=90°﹣α，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴．
∴AP•CQ=AD•CD=AD2=（AC）2=8．
（3）情形1：当0°＜α＜45°时，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=
于是y=AB•BC﹣CQ•DN﹣AP•DG
=8﹣x﹣（2＜x＜4）
情形2：当45°≤α＜90°时，0＜CQ≤2时，即0＜x≤2，此时两三角板重叠部分为△DMQ，
由于AP=，PB=﹣4，易证：△PBM∽△DNM，
∴即解得．
∴MQ=4﹣BM﹣CQ=4﹣x﹣．
于是y=MQ•DN=4﹣x﹣（0＜x≤2）．
综上所述，当2＜x＜4时，y=8﹣x﹣．
当0＜x≤2时，y=4﹣x﹣（或y=）．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及二次函数等知识的综合应用．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线l所在的直线的解析式为y=x，点B坐标为（10，0）过B做BC⊥直线l，垂足为C，点P从原点出发沿x轴方向向点B运动，速度为1单位/s，同时点Q从点B出发沿B→C→原点方向运动，速度为2个单位/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）OC= 8 ，BC= 6 ；
（2）当t=5（s）时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；
（3）设点P的运动时间为t（s），△PBQ的面积为y，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据勾股定理，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得直线PQ上的点到O、C的距离相等，根据两点之间线段最短，可得M点与P点重合，根据三角形的周长，可得答案；
（3）根据速度与时间的关系，可得OP，BQ，根据正切函数，可得QH，根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l所在的直线的解析式为y=x，BC⊥直线l，
∴=．
又∵OB=10，BC=3x，OC=4x，
∴（3x）2+（4x）2=102，
解得x=2，x=﹣2（舍），
OC=4x=8，BC=3x=6，
故答案为：8，6；
（2）如图1：，
PQ是OC的垂直平分线，OB交PQ于P即M点与P点重合，
M与P点重合时△BCM的周长最小，
周长最小为=BM+PM+BC=OB+BC=10+6=16；
（3）①当0＜t≤3时，过Q作QH⊥OB垂足为H，如图2：，
PB=10﹣t，BQ=2t，HQ=2t•sinB=2t•cs∠COB=2t×=t，
y=PB•QH=（10﹣t）t=﹣t2+8t；
②当3＜t＜5时，过Q作QH⊥OB垂足为H，如图3：，
PB=10﹣t，OQ=OC+BC﹣2t=14﹣2t，
QH=OQ•sin∠QOH=（14﹣2t）=（14﹣2t）=﹣t，
y=PB•QH=（10﹣t）（﹣t）=t2﹣t+42，
综上所述y=．
【点评】本题考查了一次函数综合题，利用轴对称的性质得出M与P重合是解题关键；利用锐角三角函数得出QH的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
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