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广西贵港市港南区九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份广西贵港市港南区九年级（上）期末数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下面生活中的实例，不是旋转的是（ ）
A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动
2．抛物线y=﹣x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2
3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
4．判断一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
5．一个不透明口袋中装有除颜色不同外其它都完全相同的小球，其中白球2个，红球3个，黄球5个，将它们搅匀后从袋中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．若圆锥的侧面面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（ ）
A．2πcmB．2cmC．4cmD．4πcm
7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．角B．线段C．等边三角形D．平行四边形
8．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100（1+x）=121B．100（1﹣x）=121C．100（1+x）2=121D．100（1﹣x）2=121
9．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）
A．S1＞S2B．S1=S2
C．S1＞S2D．大小关系不能确定
10．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116°B．32°C．58°D．64°
11．如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（ ）
A．30°B．40°C．46°D．60°
12．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．比较大小： ．（填“＞”、“=”、“＜”）．
14．分解因式：9a2b﹣b3= ．
15．已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个解，则m的值是 ．
16．请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的二次函数表达式 ．
17．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= ．
18．在平面直角坐标系xOy中，直线x=2和抛物线y=ax2在第一象限交于点A，过A作AB⊥x轴于点B．如果a取1，2，3，…，n时对应的△AOB的面积为S1，S2，S3，…，Sn，那么S1= ；S1+S2+S3+…+Sn= ．
三、解答题：（本大题共8小题，满分66分）
19．（1）计算：﹣22++20150+||
（2）2x2﹣3x﹣5=0．
20．先化简，再求值：，其中x=2﹣．
21．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为A（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
22．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．
（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．
23．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．
25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；
（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．
26．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'CM'
（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2=MN2．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可）
2017-2018学年广西贵港市港南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下面生活中的实例，不是旋转的是（ ）
A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动
【考点】生活中的旋转现象．
【专题】几何变换．
【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．
【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．
2．抛物线y=﹣x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线y=﹣x2﹣2x的对称轴是直线x=﹣=﹣1．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．
3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
【考点】圆与圆的位置关系．
【分析】由两个圆的半径分别为2和1，圆心之间的距离是3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两个圆的半径分别为2和1，圆心之间的距离是3，
又∵2+1=3，
∴这两个圆的位置关系是外切．
故选D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
4．判断一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先计算出△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，然后根据△的意义进行判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．一个不透明口袋中装有除颜色不同外其它都完全相同的小球，其中白球2个，红球3个，黄球5个，将它们搅匀后从袋中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【专题】计算题．
【分析】根据概率公式用黄球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：摸出黄球的概率==．
故选A．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0．
6．若圆锥的侧面面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（ ）
A．2πcmB．2cmC．4cmD．4πcm
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的母线长即可．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S=πrl，圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图的面积为12πcm2，
故12π=π×3×l，
解得：l=4（cm）．
故选C．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．
7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．角B．线段C．等边三角形D．平行四边形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形．依此作答．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．
故选B．
【点评】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合．
8．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100（1+x）=121B．100（1﹣x）=121C．100（1+x）2=121D．100（1﹣x）2=121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题；压轴题．
【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100（1+x）2=121，
故选C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
9．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）
A．S1＞S2B．S1=S2
C．S1＞S2D．大小关系不能确定
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出S1、S2的值即可进行比较．
【解答】解：由于A、B均在反比例函数y=的图象上，
且AC⊥x轴，BD⊥x轴，
则S1=；
S2=．
故S1=S2．
故选：B．
【点评】此题考查了反比例函数k的几何意义，找到相关三角形，求出k的一半即为三角形的面积．
10．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116°B．32°C．58°D．64°
【考点】圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，
∴∠BCD=∠A=32°．
故选B．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
11．如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（ ）
A．30°B．40°C．46°D．60°
【考点】旋转的性质．
【分析】由旋转的性质可得：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=70°，然后由等腰三角形的性质，求得∠AC′C的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵根据题意得：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=70°，
∴∠AC′C=∠C=70°，
∴∠AC′B=180°﹣∠AC′C=110°，
∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=40°．
故选B．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】推理填空题．
【分析】①先根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号，再根据有理数乘法法则即可判断；
②把x=﹣2代入函数关系式，结合图象即可判断；
③根据对称轴求出b=﹣4a，即可判断；
④根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断；
⑤先求出点（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标，根据抛物线的增减性即可判断y1和y2的大小．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x=2，
∴﹣=2，
∴b=﹣4a＜0，
∴abc＞0．
故①正确；
②把x=﹣2代入y=ax2+bx+c
得：y=4a﹣2b+c，
由图象可知，当x=﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0．
故②错误；
③∵b=﹣4a，
∴4a+b=0．
故③正确；
④∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．
故④正确；
⑤∵（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标是（7，y1），
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，
∴y1＞y2．
故⑤错误；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴有交点时，两交点关于对称轴对称，此外还要根据图象判断x=﹣2时对应函数值的正负及二次函数的增减性．
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．比较大小： ＞ ．（填“＞”、“=”、“＜”）．
【考点】实数大小比较．
【专题】计算题．
【分析】先把2平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵2=，
∴＞．
故答案为：＞
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质，首先运用二次根式的性质把根号外的移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
14．分解因式：9a2b﹣b3= b（3a+b）（3a﹣b） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【分析】原式提取b后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=b（9a2﹣b2）
=b（3a+b）（3a﹣b）．
故答案为：b（3a+b）（3a﹣b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个解，则m的值是 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于m的方程，从而求得m的值．
【解答】解：把x=﹣1代入方程得：1+m﹣2=0，
解得m=1．
故答案为：1；
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16．请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的二次函数表达式 y=﹣x2+2x+1（答案不唯一） ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】利用二次函数的开口方向以及图象与y轴的交点得出一个符合题意的答案．
【解答】解：∵图象开口向下，并且与y轴交于点（0，1），
∴二次函数表达式可以为：y=﹣x2+2x+1（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣x2+2x+1（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的性质是解题关键．
17．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= 2 ．
【考点】整式的混合运算；解一元一次方程．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．
【解答】解：根据题意化简=8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，
整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，
解得：x=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．
18．在平面直角坐标系xOy中，直线x=2和抛物线y=ax2在第一象限交于点A，过A作AB⊥x轴于点B．如果a取1，2，3，…，n时对应的△AOB的面积为S1，S2，S3，…，Sn，那么S1= 4 ；S1+S2+S3+…+Sn= 2n（n+1） ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】规律型．
【分析】把a=1和x=2代入抛物线解析式求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
表示出S1，S2，S3，…，Sn，然后相加，再利用求和公式列式计算即可得解．
【解答】解：a=1，x=2时，y1=1×22=4，
△AOB的面积为S1=×2×4=4，
∵S1=4，
S2=×2×（2×22）=2×4，
S3=×2×（3×22）=3×4，
…，
Sn=×2×（n×22）=4n，
∴S1+S2+S3+…+Sn=4+2×4+3×4+…+4n=4×（1+2+3+…+n）=2n（n+1）．
故答案为：4，2n（n+1）．
【点评】本题考查了二次根式的性质，主要利用了抛物线上点的坐标特征，求出点A的纵坐标并求出△AOB的面积等于4的倍数是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题：（本大题共8小题，满分66分）
19．（1）计算：﹣22++20150+||
（2）2x2﹣3x﹣5=0．
【考点】实数的运算；零指数幂；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的乘方及开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）把方程的左边分解为两个因式积的形式，．进而可得出x的值．
【解答】解：（1）原式=﹣4+2+1+3
=2；
（2）方程左边因式分解得（2x﹣5）（x+1）=0．
故2x﹣5=0或x+1=0，解得x1=，x2=﹣1．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的乘方及开方法则是解答此题的关键．
20．先化简，再求值：，其中x=2﹣．
【考点】分式的化简求值；分母有理化．
【分析】先把分式化简：先除后减，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分；做减法运算时，应是同分母，可以直接通分．最后把数代入求值．
【解答】解：原式=
=
=；
当x=2﹣时，
原式==﹣．
【点评】考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等．
21．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为A（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】（1）先将点A（2，3）代入反比例函数和一次函数y=kx+2，求得m、k的值，
（2）可求得点B的坐标，设P（x，y），由S△PBC=18，即可求得x，y的值．
【解答】解：（1）把A（2，3）代入，∴m=6．
∴．（1分）
把A（2，3）代入y=kx+2，
∴2k+2=3．∴．
∴．（2分）
（2）令，解得x=﹣4，即B（﹣4，0）．
∵AC⊥x轴，∴C（2，0）．
∴BC=6．（3分）
设P（x，y），
∵S△PBC==18，
∴y1=6或y2=﹣6．
分别代入中，
得x1=1或x2=﹣1．
∴P1（1，6）或P2（﹣1，﹣6）．（5分）
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．
22．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．
（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．
【考点】列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．
【专题】常规题型．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；
（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），
∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为： =．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题；压轴题．
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；
（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，
7000（1﹣x）2=5670，
解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）
=95%×85%
=80.75%，
（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格．
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．
【解答】（1）证明：如图．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B．
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE=CD=×4=2，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，
∴r2=（2）2+（r﹣2）2，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；
（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法将A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点代入解析式求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；
（2）利用两点之间距离公式求出PA=2，PC=，AC=3，进而得出△PAC为直角三角形，求出面积即可；
（3）首先求出点D的坐标为（﹣2，3），PC=DP，进而得出四边形PCED是菱形，再利用∠PCA=90°，得出答案即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
故P（﹣1，4）；
（2）∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴PA=2，PC=，AC=3，
∵PA2=PC2+AC2，
∴∠PCA=90°，
∴S△APC=AC•PC=××3=3；
（3）四边形PCED是正方形，
理由：∵点C与点D关于抛物线的对称轴对称，点P为抛物线的顶点，
∴点D的坐标为（﹣2，3），PC=DP，
∵A（﹣3，0），C（0，3），代入y=kx+b，
，
解得：，
∴直线AC的函数关系式是：y=x+3，
同理可得出：直线DP的函数关系式是：y=x+5，
∴AC∥DP，
同理可得：PC∥BD，
∴四边形PCED是菱形，
又∵∠PCA=90°，
∴四边形PCED是正方形．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形与正方形的判定方法等知识，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
26．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'CM'
（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2=MN2．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可）
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可；
（2）连接M'N，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可；
（3）将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C′C，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答．
【解答】解：（1）旋转后的△A'CM'如图1所示：
（2）连接M'N，
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°，
∵△BCM'是由△ACM旋转得到的，
∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，
∴∠M'CN=∠MCN=45°，∠NBM'=90°，
∵CN=CN，
在△MCN与△M'CN中，
，
∴△MCN≌△M'CN（SAS），
∴MN=M'N，
在RT△BM'N中，根据勾股定理得：M'N2=BN2+BM'2，
∴MN2=AM2+BN2；
（3）如图2，将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，
则△AC'C是等腰直角三角形，C'D=3，
∵∠C'=∠ACB=45°，
∴C'，D'，B，C均在同一直线上，
在△DAB与△D'AB中，
，
∴△DAB≌△D'AB（SAS），
∴DB=D'B，
在RT△BCD'中，
∵BC=4，CD=3，
∴DB=5，
∴CC'=12，
∴AC=6．
【点评】此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答．
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下面生活中的实例，不是旋转的是（ ）
A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动
2．抛物线y=﹣x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2
3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
4．判断一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
5．一个不透明口袋中装有除颜色不同外其它都完全相同的小球，其中白球2个，红球3个，黄球5个，将它们搅匀后从袋中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．若圆锥的侧面面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（ ）
A．2πcmB．2cmC．4cmD．4πcm
7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．角B．线段C．等边三角形D．平行四边形
8．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100（1+x）=121B．100（1﹣x）=121C．100（1+x）2=121D．100（1﹣x）2=121
9．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）
A．S1＞S2B．S1=S2
C．S1＞S2D．大小关系不能确定
10．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116°B．32°C．58°D．64°
11．如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（ ）
A．30°B．40°C．46°D．60°
12．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．比较大小： ．（填“＞”、“=”、“＜”）．
14．分解因式：9a2b﹣b3= ．
15．已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个解，则m的值是 ．
16．请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的二次函数表达式 ．
17．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= ．
18．在平面直角坐标系xOy中，直线x=2和抛物线y=ax2在第一象限交于点A，过A作AB⊥x轴于点B．如果a取1，2，3，…，n时对应的△AOB的面积为S1，S2，S3，…，Sn，那么S1= ；S1+S2+S3+…+Sn= ．
三、解答题：（本大题共8小题，满分66分）
19．（1）计算：﹣22++20150+||
（2）2x2﹣3x﹣5=0．
20．先化简，再求值：，其中x=2﹣．
21．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为A（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
22．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．
（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．
23．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．
25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；
（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．
26．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'CM'
（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2=MN2．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可）
2017-2018学年广西贵港市港南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下面生活中的实例，不是旋转的是（ ）
A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动
【考点】生活中的旋转现象．
【专题】几何变换．
【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．
【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．
2．抛物线y=﹣x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线y=﹣x2﹣2x的对称轴是直线x=﹣=﹣1．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．
3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
【考点】圆与圆的位置关系．
【分析】由两个圆的半径分别为2和1，圆心之间的距离是3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两个圆的半径分别为2和1，圆心之间的距离是3，
又∵2+1=3，
∴这两个圆的位置关系是外切．
故选D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
4．判断一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先计算出△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，然后根据△的意义进行判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．一个不透明口袋中装有除颜色不同外其它都完全相同的小球，其中白球2个，红球3个，黄球5个，将它们搅匀后从袋中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【专题】计算题．
【分析】根据概率公式用黄球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：摸出黄球的概率==．
故选A．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0．
6．若圆锥的侧面面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（ ）
A．2πcmB．2cmC．4cmD．4πcm
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的母线长即可．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S=πrl，圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图的面积为12πcm2，
故12π=π×3×l，
解得：l=4（cm）．
故选C．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．
7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．角B．线段C．等边三角形D．平行四边形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形．依此作答．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．
故选B．
【点评】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合．
8．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100（1+x）=121B．100（1﹣x）=121C．100（1+x）2=121D．100（1﹣x）2=121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题；压轴题．
【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100（1+x）2=121，
故选C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
9．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）
A．S1＞S2B．S1=S2
C．S1＞S2D．大小关系不能确定
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出S1、S2的值即可进行比较．
【解答】解：由于A、B均在反比例函数y=的图象上，
且AC⊥x轴，BD⊥x轴，
则S1=；
S2=．
故S1=S2．
故选：B．
【点评】此题考查了反比例函数k的几何意义，找到相关三角形，求出k的一半即为三角形的面积．
10．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116°B．32°C．58°D．64°
【考点】圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，
∴∠BCD=∠A=32°．
故选B．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
11．如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（ ）
A．30°B．40°C．46°D．60°
【考点】旋转的性质．
【分析】由旋转的性质可得：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=70°，然后由等腰三角形的性质，求得∠AC′C的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵根据题意得：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=70°，
∴∠AC′C=∠C=70°，
∴∠AC′B=180°﹣∠AC′C=110°，
∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=40°．
故选B．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】推理填空题．
【分析】①先根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号，再根据有理数乘法法则即可判断；
②把x=﹣2代入函数关系式，结合图象即可判断；
③根据对称轴求出b=﹣4a，即可判断；
④根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断；
⑤先求出点（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标，根据抛物线的增减性即可判断y1和y2的大小．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x=2，
∴﹣=2，
∴b=﹣4a＜0，
∴abc＞0．
故①正确；
②把x=﹣2代入y=ax2+bx+c
得：y=4a﹣2b+c，
由图象可知，当x=﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0．
故②错误；
③∵b=﹣4a，
∴4a+b=0．
故③正确；
④∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．
故④正确；
⑤∵（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标是（7，y1），
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，
∴y1＞y2．
故⑤错误；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴有交点时，两交点关于对称轴对称，此外还要根据图象判断x=﹣2时对应函数值的正负及二次函数的增减性．
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．比较大小： ＞ ．（填“＞”、“=”、“＜”）．
【考点】实数大小比较．
【专题】计算题．
【分析】先把2平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵2=，
∴＞．
故答案为：＞
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质，首先运用二次根式的性质把根号外的移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
14．分解因式：9a2b﹣b3= b（3a+b）（3a﹣b） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【分析】原式提取b后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=b（9a2﹣b2）
=b（3a+b）（3a﹣b）．
故答案为：b（3a+b）（3a﹣b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个解，则m的值是 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于m的方程，从而求得m的值．
【解答】解：把x=﹣1代入方程得：1+m﹣2=0，
解得m=1．
故答案为：1；
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16．请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的二次函数表达式 y=﹣x2+2x+1（答案不唯一） ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】利用二次函数的开口方向以及图象与y轴的交点得出一个符合题意的答案．
【解答】解：∵图象开口向下，并且与y轴交于点（0，1），
∴二次函数表达式可以为：y=﹣x2+2x+1（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣x2+2x+1（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的性质是解题关键．
17．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= 2 ．
【考点】整式的混合运算；解一元一次方程．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．
【解答】解：根据题意化简=8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，
整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，
解得：x=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．
18．在平面直角坐标系xOy中，直线x=2和抛物线y=ax2在第一象限交于点A，过A作AB⊥x轴于点B．如果a取1，2，3，…，n时对应的△AOB的面积为S1，S2，S3，…，Sn，那么S1= 4 ；S1+S2+S3+…+Sn= 2n（n+1） ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】规律型．
【分析】把a=1和x=2代入抛物线解析式求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
表示出S1，S2，S3，…，Sn，然后相加，再利用求和公式列式计算即可得解．
【解答】解：a=1，x=2时，y1=1×22=4，
△AOB的面积为S1=×2×4=4，
∵S1=4，
S2=×2×（2×22）=2×4，
S3=×2×（3×22）=3×4，
…，
Sn=×2×（n×22）=4n，
∴S1+S2+S3+…+Sn=4+2×4+3×4+…+4n=4×（1+2+3+…+n）=2n（n+1）．
故答案为：4，2n（n+1）．
【点评】本题考查了二次根式的性质，主要利用了抛物线上点的坐标特征，求出点A的纵坐标并求出△AOB的面积等于4的倍数是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题：（本大题共8小题，满分66分）
19．（1）计算：﹣22++20150+||
（2）2x2﹣3x﹣5=0．
【考点】实数的运算；零指数幂；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的乘方及开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）把方程的左边分解为两个因式积的形式，．进而可得出x的值．
【解答】解：（1）原式=﹣4+2+1+3
=2；
（2）方程左边因式分解得（2x﹣5）（x+1）=0．
故2x﹣5=0或x+1=0，解得x1=，x2=﹣1．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的乘方及开方法则是解答此题的关键．
20．先化简，再求值：，其中x=2﹣．
【考点】分式的化简求值；分母有理化．
【分析】先把分式化简：先除后减，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分；做减法运算时，应是同分母，可以直接通分．最后把数代入求值．
【解答】解：原式=
=
=；
当x=2﹣时，
原式==﹣．
【点评】考查分式的化简与求值，主要的知识点是因式分解、通分、约分等．
21．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为A（2，3）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】（1）先将点A（2，3）代入反比例函数和一次函数y=kx+2，求得m、k的值，
（2）可求得点B的坐标，设P（x，y），由S△PBC=18，即可求得x，y的值．
【解答】解：（1）把A（2，3）代入，∴m=6．
∴．（1分）
把A（2，3）代入y=kx+2，
∴2k+2=3．∴．
∴．（2分）
（2）令，解得x=﹣4，即B（﹣4，0）．
∵AC⊥x轴，∴C（2，0）．
∴BC=6．（3分）
设P（x，y），
∵S△PBC==18，
∴y1=6或y2=﹣6．
分别代入中，
得x1=1或x2=﹣1．
∴P1（1，6）或P2（﹣1，﹣6）．（5分）
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．
22．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．
（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．
【考点】列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．
【专题】常规题型．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；
（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），
∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为： =．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题；压轴题．
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；
（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，
7000（1﹣x）2=5670，
解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）
=95%×85%
=80.75%，
（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格．
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．
【解答】（1）证明：如图．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B．
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE=CD=×4=2，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，
∴r2=（2）2+（r﹣2）2，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；
（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法将A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点代入解析式求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；
（2）利用两点之间距离公式求出PA=2，PC=，AC=3，进而得出△PAC为直角三角形，求出面积即可；
（3）首先求出点D的坐标为（﹣2，3），PC=DP，进而得出四边形PCED是菱形，再利用∠PCA=90°，得出答案即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
故P（﹣1，4）；
（2）∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴PA=2，PC=，AC=3，
∵PA2=PC2+AC2，
∴∠PCA=90°，
∴S△APC=AC•PC=××3=3；
（3）四边形PCED是正方形，
理由：∵点C与点D关于抛物线的对称轴对称，点P为抛物线的顶点，
∴点D的坐标为（﹣2，3），PC=DP，
∵A（﹣3，0），C（0，3），代入y=kx+b，
，
解得：，
∴直线AC的函数关系式是：y=x+3，
同理可得出：直线DP的函数关系式是：y=x+5，
∴AC∥DP，
同理可得：PC∥BD，
∴四边形PCED是菱形，
又∵∠PCA=90°，
∴四边形PCED是正方形．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形与正方形的判定方法等知识，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
26．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'CM'
（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2=MN2．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可）
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可；
（2）连接M'N，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可；
（3）将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C′C，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答．
【解答】解：（1）旋转后的△A'CM'如图1所示：
（2）连接M'N，
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°，
∵△BCM'是由△ACM旋转得到的，
∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，
∴∠M'CN=∠MCN=45°，∠NBM'=90°，
∵CN=CN，
在△MCN与△M'CN中，
，
∴△MCN≌△M'CN（SAS），
∴MN=M'N，
在RT△BM'N中，根据勾股定理得：M'N2=BN2+BM'2，
∴MN2=AM2+BN2；
（3）如图2，将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，
则△AC'C是等腰直角三角形，C'D=3，
∵∠C'=∠ACB=45°，
∴C'，D'，B，C均在同一直线上，
在△DAB与△D'AB中，
，
∴△DAB≌△D'AB（SAS），
∴DB=D'B，
在RT△BCD'中，
∵BC=4，CD=3，
∴DB=5，
∴CC'=12，
∴AC=6．
【点评】此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答．
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