天津市南开区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份天津市南开区九年级（上）期末数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．平安夜下雪
B．地球在自转的同时还不停的公转
C．所有人15岁时身高必达到1.70米
D．下雨时一定打雷
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（　　）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5
4．下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦xy=11，y是x的反比例函数的共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．对于函数y=，下列说法错误的是（　　）
A．这个函数的图象位于第一、第三象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
7．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
8．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2
9．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
10．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则的值为（　　）

A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，
正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．①④ D．①③
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．在比例尺为1：1000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离　　　　　　km．
14．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为　　　　　　．
15．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有　　　　　　个．
16．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为　　　　　　．

17．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　　　　　　．

18．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，此时∠CDB的度数为　　　　　　
（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，则∠CDB的度数为（用含α的代数式表示）　　　　　　．
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=DQ，则α的取值范围是　　　　　　．

　
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．
20．在x2□2x□1的空格中，任意填上“+”“﹣”，求其中能构成完全平方的概率（列出表格或画出树形图）
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
22．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．

23．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．
（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为　　　　　　元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为　　　　　　元．
（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．
（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．
24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=5，AD=时，求线段BG的长．

25．已知二次函数的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

　

2017-2018学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．平安夜下雪
B．地球在自转的同时还不停的公转
C．所有人15岁时身高必达到1.70米
D．下雨时一定打雷
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、平安夜下雪是随机事件，故A错误；
B、地球在自转的同时还不停的公转，是必然事件，故B正确；
C、所有人15岁时身高必达到1.70米是随机事件，故C错误；
D、下雪时一定打雷是不可能事件，故D错误；[来源:Z§xx§k.Com]
故选：B．
　
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可作出判断．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
　
3．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（　　）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2+4x=﹣1，
配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．
故选A．
　
4．下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦xy=11，y是x的反比例函数的共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】分别根据反比例函数、二次函数及一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：①y=2x是正比例函数；
可化为y=5x，是正比例函数；
③y=﹣符合反比例函数的定义，是反比例函数；
④y=5x+1是一次函数；
⑤y=x2﹣1是二次函数；
⑥y=不是函数；
⑦xy=11可化为y=，符合反比例函数的定义，是反比例函数．
故选C．
　
5．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（　　）
[来源:学科网]
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．
【解答】解：连接OD．
由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，
设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，
则R2=（）2+（R﹣1）2，由此得2R=3，
或由相交弦定理得（）2=1×（ 2R﹣1），由此得2R=3，所以AB=3
故选B．

　[来源:学科网]
6．对于函数y=，下列说法错误的是（　　）
A．这个函数的图象位于第一、第三象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大解答即可．
【解答】解：函数y=的图象位于第一、第三象限，A正确；
图象既是轴对称图形又是中心对称图形，B正确；
当x＞0时，y随x的增大而减小，C错误；
当x＜0时，y随x的增大而减小，D正确，
由于该题选择错误的，故选：C．
　
7．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵a=﹣1＜0，
∴二次函数图象开口向下，
又∵对称轴是直线x=﹣=1，
∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大而增大．
故选B．
　
8．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．
故选A．
　
9．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
【分析】先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解．
【解答】解：∵线段AB向左平移一个单位，
∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），
∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．
故选A．
　
10．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由S△BDE：S△CDE=1：3，得到=，于是得到=，根据DE∥AC，推出△BDE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴=，
∴=，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴==，
故选D．
　
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（﹣，1） D．（﹣，2）
【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH﹣OB=3﹣2=1，于是可写出C点坐标．
【解答】解：作CH⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，
∴A点横坐标为2，
当x=2时，y=x=2，
∴A（2，2），
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC=BA=2，∠ABC=60°，
∴∠CBH=30°，
在Rt△CBH中，CH=BC=，
BH=CH=3，
OH=BH﹣OB=3﹣2=1，
∴C（﹣1，）．
故选：A．

　
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，
正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．①④ D．①③
【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；
③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．
【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；

②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x=﹣=1，
∴b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；

③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3=﹣3，
∴=﹣3，则a=﹣．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．
故③正确；

④根据题意知，a=﹣，﹣=1，
∴b=﹣2a=，
∴n=a+b+c=c．
∵2≤c≤3，
∴≤c≤4，即≤n≤4．
故④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选D．

　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．在比例尺为1：1000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离　150　km．
【分析】设两地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到15：x=1：1000 000，然后根据比例的性质计算出x，再把单位由cm化为km即可．
【解答】解：设两地的实际距离为xcm，
根据题意得15：x=1：1000 000，
所以x=15000000cm=150km．
故答案为150．
　
14．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为　4：9　．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个相似三角形的面积比为4：9．
　
15．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有　18　个．
【分析】让球的总数×黄色玻璃球的概率即为所求的黄色玻璃球的球数．
【解答】解：∵摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，
∴摸到黄球的概率为0.25，
故口袋中黄色玻璃球有0.25×72=18（个）．
故答案为：18．
　
16．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为　2　．

【分析】由正六边形的性质得出∠AOM=60°，OA=4，求出∠OAM=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OM=OA=2即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，OM⊥AC，
∴∠AOM=60°，∠OMA=90°，OA=4，
∴∠OAM=30°，
∴OM=OA=2，
即这个正三角形的边心距OM为2；
故答案为：2．
　
17．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　2　．

【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．
【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3﹣1=2．
故答案为：2．

　
18．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，此时∠CDB的度数为　30°　
（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，则∠CDB的度数为（用含α的代数式表示）　90°﹣α　．
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=DQ，则α的取值范围是　45°＜α＜60°　．

【分析】（1）由条件可得出AB=BC=AC，再利用旋转可得出QM=MC，证得CB=CD=BA，再由三角形外角的性质即可得出结论；
（2）由（1）可得BM为AC的垂直平分线，结合条件可以得出Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，由圆周角定理可得∠ACQ=∠APQ=α，可得出∠CDB和α的关系；
（3）借助（2）的结论和PQ=QD，可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，结合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，代入可得出α的范围．
【解答】解：（1）如图1，∵BA=BC，∠BAC=60°，
∴AB=BC=AC，∠ABC=60°，
∵M为AC的中点，
∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC．
∵PQ由PA旋转而成，
∴AP=PQ=QM=MC．
∵∠AMQ=2α=120°，
∴∠MCQ=60°，∠QMD=30°，
∴∠MQC=60°．
∴∠CDB=30°．
故答案为：30°；

（2）如图2，连接PC，
∵由（1）得BM垂直平分AC，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC=PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ=∠APQ=α，
∴∠BAC=∠ACD，
∴DC∥BA，
∴∠CDB=∠ABD=90°﹣α．
故答案为：90°﹣α；

（3）∵∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°﹣2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
故答案为：45°＜α＜60°．


　
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，可推△≥0，求出k的取值范围，得出k的数值即可；
（2）分别把k的值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，解得结果根据方程有两个非零的整数根进行分析，确定k的值，进一步利用二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，
∴△=4﹣4（k﹣1）≥0．
∴k≤2．
∵k为正整数，
∴k=1，2；

（2）设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则
x1+x2=﹣2，x1•x2=k﹣1，
当k=1时，方程x2+2x+k﹣1=0有一个根为零；
当k=2时，方程x2+2x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1．
k=2符合题意．
二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2，
对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，0）．
　
20．在x2□2x□1的空格中，任意填上“+”“﹣”，求其中能构成完全平方的概率（列出表格或画出树形图）
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中能构成完全平方的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，其中能构成完全平方的有2种情况，
∴其中能构成完全平方的概率为： =．
　
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．
[来源:学科网]
【分析】（1）先由点C的坐标求出反比例函数的关系式，再由DE=3，求出点D的坐标，把点C，点D的坐标代入一次函数关系式求出k，b即可求一次函数的关系式．
（2）由图象可知：一次函数的值小于反比例函数的值．
【解答】解：（1）点C（﹣6，﹣1）在反比例函数y=的图象上，
∴m=﹣6×（﹣1）=6，
∴反比例函数的关系式为y=，
∵点D在反比例函数y=上，且DE=3，
∴y=3，代入求得：x=2，
∴点D的坐标为（2，3）．
∵C、D两点在直线y=kx+b上，
∴，
解得：，
∴一次函数的关系式为y=x+2．

（2）由图象可知：当x＜﹣6或0＜x＜2时，一次函数的值小于反比例函数的值．

　
22．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．

【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°；
又∵∠APD=65°，
∴∠BPD=115°；
∴在△BPD中，
∴∠B=180°﹣∠CDB﹣∠BPD=25°；

（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；
∴OE∥AD；
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD=2OE=6．

　
23．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．
（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为　（10+7x）　元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为　（12+6x）　元．
（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．
（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．
【分析】（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10•0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12•0.5x）元/件；
（2）今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y=（12+6x）﹣（10+7x），然后整理即可；
（3）今年的年销售量为（2+2x）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量，得到w=2（1+x）（2﹣x），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案．
【解答】解：（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）﹣（10+7x），
∴y=2﹣x （0＜x≤1）；

（3）∵w=2（1+x）•y
=2（1+x）（2﹣x）
=﹣2x2+2x+4，
∴w=﹣2（x﹣0.5）2+4.5
∵﹣2＜0，0＜x≤1，
∴w有最大值，
∴当x=0.5时，w最大=4.5（万元）．
答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．
　
24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=5，AD=时，求线段BG的长．

【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形和ADEF是正方形得到判断△ABD≌△ACF的条件；
（2）由全等得到∠BGC=90°，利用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
∵ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠BAC=∠DAF，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中

∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF．
（2）①由（1）全等得：∠ABD=∠ACE，
∴∠GBC+∠GCB=∠GBC+∠ACF+∠ACB=（∠ABG+∠GBC）+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BGC=90°，
∴BG⊥CF．
②过D作DH⊥AB于H，AH=DH=AD÷=1，
∴BH=3，
∴BD==，
延长AD交BC于P，
则BP=CP，（AD平分∠BAC，AB=AC，等腰三角形三线合一）
由∠BCG=90°知：DP∥CG，
∴=1，
∴BG=2BD=2．
　
25．已知二次函数的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据对称轴公式求出x=﹣，求出即可；
（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；
（3）由抛物线的解析式可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明．
【解答】解：（1）由，
得x=﹣=﹣=3，
∴D（3，0）；

（2）方法一：
如图1，设平移后的抛物线的解析式为，
则C（0，k）OC=k，
令y=0即，
得，x2=3﹣，
∴A，B，
∴，
=2k2+8k+36，
∵AC2+BC2=AB2
即：2k2+8k+36=16k+36，
得k1=4，k2=0（舍去），
∴抛物线的解析式为，

方法二：
∵，∴顶点坐标，
设抛物线向上平移h个单位，则得到C（0，h），顶点坐标，
∴平移后的抛物线：，
当y=0时，，得，x2=3+，
∴A，B，
∵∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，则OC2=OA•OB，
即，
解得h1=4，h2=0（不合题意舍去），
∴平移后的抛物线：；

（3）方法一：
如图2，由抛物线的解析式可得，
A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，
过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，
∴，
，
在Rt△COD中，CD==AD，
∴点C在⊙D上，
∵，
∴DM2=CM2+CD2
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，
∴直线CM与⊙D相切．

方法二：
如图3，由抛物线的解析式可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，
作直线CM，过D作DE⊥CM于E，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，，由勾股定理得，
∵DM∥OC，
∴∠MCH=∠EMD，
∴Rt△CMH∽Rt△DME，
∴得DE=5，
由（2）知AB=10，∴⊙D的半径为5．
∴直线CM与⊙D相切．