云南省红河州九年级（上）期末数学模拟试卷（解析版）

这是一份云南省红河州九年级（上）期末数学模拟试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选一选，填一填，解答题等内容，欢迎下载使用。


2015-2016学年云南省红河州九年级（上）期末数学模拟试卷
　
一、选一选
1．二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
　
2．判断一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
　
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
　
4．一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元，如果每次降价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．121（1+x）=100 B．121（1﹣x）=100 C．121（1﹣x）2=100 D．100（1+x）2=121
　
5．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊（　　）
A．200只 B．400只 C．800只 D．1000只
　
6．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的全面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．21πcm2 D．24πcm2
　
7．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（　　）

A．π B．π C． D．
　
8．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（　　）

A．120° B．140° C．150° D．160°
　
　
二、填一填
9．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是　　　　　　．
　
10．一元二次方程x（x﹣1）=x的解是　　　　　　．
　
11．⊙O的半径为5cm，两条弦AB∥CD，AB=8cm、CD=6cm，则两条弦之间的距离为　　　　　　．
　
12．等边三角形至少旋转　　　　　　度才能与自身重合．
　
13．如图，正方形内接于圆O，已知正方形的边长为cm，则图中的阴影部分的面积是　　　　　　cm2（用π表示）．

　
14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列关系式中：①a＜0；②abc＞0；③a+b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中不正确的序号是　　　　　　．

　
15．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第7个图形有　　　　　　个小圆．

　
　
三、解答题
16．（2015秋•红河州期末）（1）解下列方程：（x+1）2=4x
（2）化简：2﹣1+|﹣|++（）0﹣．
　
17．（2010•仙桃）已知方程x2﹣4x+m=0的一个根为﹣2，求方程的另一根及m的值．
　
18．（2014•江汉区二模）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为　　　　　　；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为　　　　　　；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积　　　　　　．

　
19．（2005•宿迁）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：
（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．

　
20．（2014秋•安溪县期末）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．
（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率为　　　　　　；
（2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小龙去；否则小东去．你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
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21．（2006•辽宁）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）

　
22．（2012•祁门县三模）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
①设每件降价x元，每天盈利y元，列出y与x之间的函数关系式．
②若商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价多少元？
③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
　
23．（2008•安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

　
24．（2015秋•红河州期末）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：
（1）点A、B的坐标；
（2）抛物线的函数表达式；
（3）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM的最小值及点M的坐标；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　
25．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．

　
26．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：
（1）点A、B的坐标；
（2）抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　
　

2017-2018学年云南省红河州九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
　
一、选一选
1．二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为y=（x﹣1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣2）．
故选C．
【点评】本题考查通过抛物线的顶点坐标式写出抛物线的顶点坐标，比较容易．
　
2．判断一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先计算出△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，然后根据△的意义进行判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】移项，再配方，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣4x﹣3=0，
x2﹣4x=3，
x2﹣4x+4=3+4，
（x﹣2）2=7，
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，难度适中．
　
4．一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元，如果每次降价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．121（1+x）=100 B．121（1﹣x）=100 C．121（1﹣x）2=100 D．100（1+x）2=121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据原价为121元，表示出第一次降价后的价钱为121（1﹣x）元，然后再根据价钱为121（1﹣x）元，表示出第二次降价的价钱为121（11﹣x）2元，根据两次降价后的价钱为100元，列出关于x的方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：121（1﹣x）2=100，
故选C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
　
5．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊（　　）
A．200只 B．400只 C．800只 D．1000只
【考点】用样本估计总体．
【分析】根据先捕捉40只黄羊，发现其中2只有标志．说明有标记的占到，而有标记的共有20只，根据所占比例解得．
【解答】解：20÷=400（只）．
故选B．
【点评】此题考查了用样本估计总体；统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体．
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6．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的全面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．21πcm2 D．24πcm2
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出圆锥的侧面积，然后加上圆锥底面圆的面积即可得到圆锥的全面积．
【解答】解：这个圆锥的底面圆的面积=π•32=9π，
圆锥的侧面积=•2π•3•4=12π，
所以圆锥的全面积=9π+12π=21π（cm2）．
故选C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
　
7．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（　　）

A．π B．π C． D．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长．
【解答】解：设底面圆的半径为r，则：
2πr==π．
∴r=，
∴圆锥的底面周长为，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算，利用弧长公式求出弧长，然后根据扇形弧长与圆锥底面半径的关系求出底面圆的半径．
　
8．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（　　）

A．120° B．140° C．150° D．160°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】利用垂径定理得出==，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
　
二、填一填
9．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是　（﹣1，2）　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
　
10．一元二次方程x（x﹣1）=x的解是　0或2　．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】注意要把方程化为左边为两个一次因式相乘，右边为0的形式，才能运用因式分解法解方程．
【解答】解：原方程变形得：
x（x﹣1）﹣x=0
x（x﹣2）=0
∴x1=0，x2=2
故本题的答案是x1=0，x2=2．
【点评】因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
　
11．⊙O的半径为5cm，两条弦AB∥CD，AB=8cm、CD=6cm，则两条弦之间的距离为　1cm或7cm　．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】此题分为两种情况：两条平行弦在圆心的同侧或两条平行弦在圆心的两侧．根据垂径定理分别求得两条弦的弦心距，进一步求得两条平行弦间的距离．
【解答】解：如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD．
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=AB=4cm，CF=CD=3cm．
根据勾股定理，得
OE==3cm；OF==4cm，
①当AB和CD在圆心的同侧时，如图1，则EF=OF﹣OE=1cm；
②当AB和CD在圆心的两侧时，如图2，则EF=OE+OF=7cm；
则AB与CD间的距离为1cm或7cm．
故答案为1cm或7cm．

【点评】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意此题要考虑两种情况．
　
12．等边三角形至少旋转　120　度才能与自身重合．
【考点】旋转对称图形．
【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．
【解答】解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，
所以，旋转角为360°÷3=120°，故至少旋转120度才能与自身重合．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
　
13．如图，正方形内接于圆O，已知正方形的边长为cm，则图中的阴影部分的面积是　π﹣2　cm2（用π表示）．

【考点】正方形的性质；扇形面积的计算．
【分析】因为阴影部分的面积等于扇形AOB的面积减去三角形AOB的面积，所以只要求出两个的面积，就可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵正方形内接于圆O，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为cm，
∴正方形对角线的长为=4，
∵OA是正方形对角线的一半，
∴AO=×4=2，S△OAB=OB•OB=2，S扇形OAB==π，
∴阴影部分的面积=S扇形OAB﹣S△OAB=（π﹣2）cm2．

【点评】本题利用了圆内接正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，扇形的面积公式求解．
　
14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列关系式中：①a＜0；②abc＞0；③a+b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中不正确的序号是　③　．

【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，再结合图象判断各结论．
【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，
则①a＜0，正确；②abc＞0，正确；
③当x=1时，y=a+b+c＜0，错误；
④抛物线与x轴有两个不同的交点，b2﹣4ac＞0，正确．
故不正确的序号是③．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，先分析信息，再进行判断．
　
15．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第7个图形有　60　个小圆．

【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4．故第7个图形中小圆的个数为7×8+4=60个．
【解答】解：由分析知：第7个图形圆的个数为7×8+4=60个．
故答案为：60．
【点评】考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
　
三、解答题
16．（2015秋•红河州期末）（1）解下列方程：（x+1）2=4x
（2）化简：2﹣1+|﹣|++（）0﹣．
【考点】实数的运算；平方根；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用立方根定义计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项分母有理化即可得到结果．
【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣1）2=0，
解得：x1=x2=1；
（2）原式=+﹣2+1﹣=﹣2﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
17．（2010•仙桃）已知方程x2﹣4x+m=0的一个根为﹣2，求方程的另一根及m的值．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】根据根与系数的关系，可求出两根的和与两根的积，将已知的根代入即可求出另一根及m的值．
【解答】解：设原方程的两根为x1、x2；
则：x1+x2=4，x1x2=m；
∵x1=﹣2，
∴x2=4﹣x1=6，m=x1x2=﹣12；
即方程的另一根是6，m的值为﹣12．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系．
　
18．（2014•江汉区二模）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为　（1，0）　；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为　（﹣2，3）　；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积　　．

【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算；坐标与图形变化-平移．
【分析】（1）根据平移的性质，上下平移在在对应点的坐标上，纵坐标上上加下减就可以求出结论；
（2）过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，就可以相应的结论；
（3）根据条件就是求扇形A2OA的面积即可．
【解答】解：（1）由题意，得
B1（1，3﹣3），
∴B1（1，0）．
故答案为：（1，0）；
（2）如图，①，过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，
②，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，
∴△A2OB2是所求作的图形．由作图得
A2（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）；
（3）由勾股定理，得
OA=，
∴线段OA扫过的图形的面积为： =．
故答案为：．

【点评】本题考查了旋转作图的运用，勾股定理的运用，扇形的面积公式的运用，平移的运用，解答时根据图形变化的性质求解是关键．
　
19．（2005•宿迁）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：
（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．

【考点】切线的判定；圆周角定理．
【专题】证明题．
【分析】（1）由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得．
（2）连接OD，再证明OD⊥DE即可．
【解答】证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC，
∴AD=BD．

（2）连接OD；
∵AD=BD，OB=OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．

【点评】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识点．要注意的是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
　
20．（2014秋•安溪县期末）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．
（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率为　　；
（2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小龙去；否则小东去．你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．

【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
【分析】（1）因为口袋中有4个小球，大于2的有两个分别是3，4，由此可求出其概率．
（2）游戏公平，分别求出题目各自获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平．
【解答】解：（1）∵的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，
∴从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率为；
故答案为：；
（2）游戏公平．
列举所有等可能的结果12个：

1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
∴所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5的概率为P=，
∴游戏公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
　
21．（2006•辽宁）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题；数形结合．
【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解法（1）：
解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）=540
整理得：x2﹣52x+100=0
解得：x1=50（舍去），x2=2
答：道路宽为2米．

解法（2）：
解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，
根据题意得：20×32﹣（20+32）x+x2=540
整理得：x2﹣52x+100=0
解得：x1=2，x2=50（舍去）
答：道路宽应是2米．


【点评】这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
　
22．（2012•祁门县三模）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
①设每件降价x元，每天盈利y元，列出y与x之间的函数关系式．
②若商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价多少元？
③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？[来源:学科网ZXXK]
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】①根据每天盈利等于每件利润×销售件数得到y=（40﹣x）（20+2x），整理即可；
②令y=1200，得到﹣2x2+60x+800=1200，整理得x2﹣30x+20=0，然后利用因式分解法解即可；
③把y=﹣2x2+60x+800配成顶点式得到y=﹣2（x﹣15）2+1250，然后根据二次函数的最值问题即可得到答案．
【解答】解：①y=（40﹣x）（20+2x）
=﹣2x2+60x+800
所以y与x之间的函数关系式为y=﹣2x2+60x+800；
②令y=1200，
∴﹣2x2+60x+800=1200，
整理得x2﹣30x+200=0，解得x1=10（舍去），x2=20，
所以商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价20元；
③y=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a=﹣2＜0，
∴当x=15时，y有最大值，其最大值为1250，
所以每件降价15元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是1250元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：根据题意列出二次函数关系式，再配成顶点式y=a（x﹣h）2+k，当a＜0，x=h，y有最大值k；当a＞0，x=h，y有最小值k．也考查了一元二次方程的应用．
　
23．（2008•安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】（1）将二次函数化简为y=﹣（x﹣）2+，即可解出y最大的值．
（2）当x=4时代入二次函数可得点B的坐标在抛物线上．
【解答】解：（1）将二次函数y=x2+3x+1化成y=（x）2，（3分），
当x=时，y有最大值，y最大值=，（5分）
因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．（6分）

（2）能成功表演．理由是：
当x=4时，y=×42+3×4+1=3.4．
即点B（4，3.4）在抛物线y=x2+3x+1上，
因此，能表演成功．（12分）．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
　
24．（2015秋•红河州期末）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：
（1）点A、B的坐标；
（2）抛物线的函数表达式；
（3）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM的最小值及点M的坐标；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将x=0代入直线的解析式可求得点B的坐标，将y=0代入直线的解析式可求得点A的坐标；
（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、k的方程组，求得a、k的值，从而可求得抛物线的解析式；
（3）先求得抛物线的对称轴方程，从而可求得点C的坐标，由轴对称图形的性质可知AM+BM=BM+MC，当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的长，从而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，从而得到点M的坐标；
（4）设点P的坐标为（2，m），然后分为AP=PB，AP=AB，BA=BP三种情况列方程求解即可．[来源:学&科&网]
【解答】解：（1）∵将x=0代入直线的解析式得：y=3，
∴点B的坐标为（0，3）．
∵将y=0代入直线的解析式得：﹣3x+3=0，解得：x=1．
∴点A的坐标为（1，0）．
（2）将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：，
解得：a=1，k=﹣1．
抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．
（3）如图所示：连接BC交抛物线的对称轴于点M，连接AM．

∵由题意可知抛物线的对称轴为x=2，
∴点C的坐标为（3，0）．
∵点A与点M关于x=2对称，
∴AN=MC．
∴AM+BM=BM+MC．
∵当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值为BC的长．
∴AM+BM的最小值==3．[来源:Zxxk.Com]
∵MD∥OB，
∴△CDM∽△COB．
∴，即．
解得：MD=1．
∴M（2，1）．
（4）设点P的坐标为（2，m）．
①当PA=PB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．
整理得：6m=12．
解得：m=2．
点P的坐标为（2，2）．
②当AP=AB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（1﹣0）2+（0﹣3）2．
整理得：m2=9．
解得：m=3或m=﹣3（舍去）．
点P的坐标为（2，3）．
③当BA=BP时，由两点间的距离公式可知：（1﹣0）2+（0﹣3）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．
整理得：（m﹣3）2=6．
解得：m=3+或m=3﹣．
点P的坐标为（2，3+）或（2，3﹣）．
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定、两点间的距离公式、轴对称图形的性质，分为AP=PB，AP=AB，BA=BP三种情况列出关于m的方程是解题的关键．
　
25．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
【点评】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．
　
26．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：
（1）点A、B的坐标；
（2）抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由y=﹣3x+3得，当x=0时，y=3；当y=0时，x=1，即可确定点A，B的坐标；
（2）把点A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x﹣2）2+k得：，解得，即可解答；
（3）存在，由AO=1，BO=3，得到AB=．设对称x轴交于点D，P（2y），D（2，0），所以DA=1，PD=|y|，PA2=PD2+DA2=y2+1，分三种情况讨论解答：当PA=AB即PA2=AB2=10时；当PB=AB即PB2=AB2=10时；当PA=PB即PA2=PB2时．
【解答】解：（1）由y=﹣3x+3得，当x=0时，y=3；当y=0时，x=1
∴A（1，0）、B（0，3）．
（2）把点A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x﹣2）2+k得：

解得
∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1．
（3）∵AO=1，BO=3，
∴AB=．
设对称x轴交于点D，P（2，y），D（2，0），
∴DA=1，PD=|y|，PA2=PD2+DA2=y2+1，
当PA=AB即PA2=AB2=10时，
∴y2+1=10，
解得y=±3
∴P（2，±3），
但当P（2，﹣3）时，P、A、B在同一条直线上，不合题意舍去．
∴P1（2，3），
当PB=AB即PB2=AB2=10时，如图，过B作BE⊥对称轴于点E，

则E（2，3），EB=2，PE2=（y﹣3）2，
∴PB2=PE2+BE2=（y﹣3）2+4=10，
解得
∴P2（2，3+）、P3（2，3﹣），当PA=PB即PA2=PB2时，
y2+1=（y﹣3）2+4
解得y=2，
∴P4（2，2）．
综上所述，所求的点为P1（2，3），P2（2，3+），P3（2，3﹣），P4（2，2）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，在（3）中解决问题的关键是采用分类讨论思想解答．