湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷（解析版），共24页。


2017-2018学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷
　
一、精心选一选，一锤定音．每小题3分，共30分．每小题只有一项是正确的．
1．方程x2﹣4=0的根是（　　）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4
　
2．在平面直角坐标系中，点A（l，3）关于原点O对称的点A′的坐标为（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（3，1） D．（﹣1，﹣3）
　
3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（　　）
A．y=﹣x2 B．y=﹣ C．y=﹣x+1 D．y=
　
4．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为O.1”．下列说法正确的是（　　）
A．抽10次奖必有一次抽到一等奖
B．抽一次不可能抽到一等奖
C．抽10次也可能没有抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
　
5．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
　
6．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）

A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或6
　
7．如图，直线AB、AD与⊙O相切于点B、D，C为⊙O上一点，且∠BCD=140°，则∠A的度数是（　　）

A．70° B．105° C．100° D．110°
　
8．已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．4
　
9．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
　
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0；则正确的结论是
（　　）

A．①②⑤ B．③④⑤ C．②③④ D．①④⑤
　
　
二、细心填一填，试试自己的身手．每小题3分，共18分．
11．若x=2为一元二次方程x2﹣ax﹣2=0的一根，则a=　　　　　　．
　
12．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是　　　　　　度．
　
13．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是　　　　　　．
　
14．若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣9x+8=0，则ABC的周长是　　　　　　．
　
15．在同一平面直角坐标系内，将函数y=x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象的顶点坐标为　　　　　　．
　
16．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=上，第二象限的点B在反比例函数y=上，且OA⊥OB，∠A=30°，则k的值为　　　　　　．

　
　
三、用心做一做，显显自己的能力．满分72分．
17．解下列方程．
（1）（3x﹣1）（x﹣2）=2
（2）2x2﹣1=3x．
　
18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
　
19．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转后能与△DFA重合．
（1）△BEA绕　　　　　　点　　　　　　时针旋转　　　　　　度能与△DFA重合；
（2）若AE=cm，求四边形AECF的面积．

　
20．为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
　
21．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．
　
22．如图，以等腰△ABC的一腰AB上的点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O交底边BC于点D．过D作⊙O的切线DE，交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=BC=CA=2，问圆心O与点A的距离为多少时，⊙O与AC相切？

　
23．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据．[来源:学科网]
薄板的边长（cm）
20
30
出厂价（元/张）
50
70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）40cm的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价﹣成本价）．
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
　
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

　
　

2017-2018学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、精心选一选，一锤定音．每小题3分，共30分．每小题只有一项是正确的．
1．方程x2﹣4=0的根是（　　）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】先移项，然后利用数的开方解答．
【解答】解：移项得x2=4，开方得x=±2，
∴x1=2，x2=﹣2．
故选C．
【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同号且a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
　
2．在平面直角坐标系中，点A（l，3）关于原点O对称的点A′的坐标为（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（3，1） D．（﹣1，﹣3）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点A（l，3）关于原点O对称的点A′的坐标为（﹣1，﹣3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
　
3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（　　）
A．y=﹣x2 B．y=﹣ C．y=﹣x+1 D．y=
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：A、∵y=﹣x2，∴对称轴x=0，当x＞0时，y随着x的增大而减小，故本选项错误；
B、∵反比例函数y=﹣中，k=﹣1＜0，∴当x＞0时y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵k＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵k＞0，∴y随着x的增大而增大，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，主要掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是解题的关键，是一道难度中等的题目．
　
4．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为O.1”．下列说法正确的是（　　）
A．抽10次奖必有一次抽到一等奖
B．抽一次不可能抽到一等奖
C．抽10次也可能没有抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【考点】概率的意义．
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为O.1”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．
　
5．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【考点】解直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据旋转的性质可得AC′=AC，∠BAC′=30°，然后利用∠BAC′的正切求出C′D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解．
【解答】解：根据题意，AC′=AC=1，
∵∠B′AB=15°，
∴∠BAC′=45°﹣15°=30°，
∴C′D=AC′tan30°=，
∴S阴影=AC′•C′D=×1×=．
故选B．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的两直角边相等，锐角等于45°的性质，是基础题，难度不大．
　
6．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）

A．4或4.8 B．3或4.8 C．2或4 D．1或6
【考点】相似三角形的判定．
【专题】动点型．
【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
【解答】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，
①若△ADE∽△ABC，则AD：AB=AE：AC，
即x：12﹣2x=x：6，
解得：x=3；
②若△ADE∽△ACB，则AD：AC=AE：AB，
即x：12=12﹣2x：6，
解得：x=4.8；
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选B．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．
　
7．如图，直线AB、AD与⊙O相切于点B、D，C为⊙O上一点，且∠BCD=140°，则∠A的度数是（　　）

A．70° B．105° C．100° D．110°
【考点】切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【分析】过点B作直径BE，连接OD、DE．
根据圆内接四边形性质可求∠E的度数；根据圆周角定理求∠BOD的度数；根据四边形内角和定理求解．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【解答】解：过点B作直径BE，连接OD、DE．
∵B、C、D、E共圆，∠BCD=140°，
∴∠E=180°﹣140°=40°．
∴∠BOD=80°．
∵AB、AD与⊙O相切于点B、D，
∴∠OBA=∠ODA=90°．
∴∠A=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°．
故选C．

【点评】此题考查了切线的性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识点，难度中等．
连接切点和圆心是解决有关切线问题时常作的辅助线．
　
8．已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．4
【考点】根与系数的关系．[来源:Z。xx。k.Com]
【分析】首先，根据根与系数的关系求得x1+x2=，x1•x2=1；
其次，对所求的代数式进行变形，变为含有两根之和、两根之积的形式的代数式；
最后，代入求值即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程的两根，
∴x1+x2=，x1•x2=1，
∴=（x1+x2）2﹣2x1•x2=5﹣2=3．
故选A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
　
9．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】延长AO交BC于D，过O作BC的垂线，设垂足为E，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，设AB的长为xcm，由此可表示出OD、BD和DE的长；在Rt△ODE中，根据∠ODE的度数，可得出OD=2DE，进而可求出x的值．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，
设AB的长为xcm，
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=x；
∵OA=4cm，BC=10cm，
∴BE=5cm，DE=（x﹣5）cm，OD=（x﹣4）cm，
又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD，
∴x﹣5=（x﹣4），
解得：x=6．
故选B．

【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用．解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得．
　
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0；则正确的结论是
（　　）

A．①②⑤ B．③④⑤ C．②③④ D．①④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线与x轴的交点个数，可判断b2﹣4ac；由开口方向、对称轴的位置以及与y轴的交点，可判断a，b，c的符号；由对称轴x=﹣，可求得a与b的关系；由x=1时，y=a+b+c，x=﹣1时，y=a﹣b+c，可分别判断其符号．
【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac；故正确；
②∵开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＜0，
∴b＞0，
∵交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0；故错误；
③∵﹣=﹣1，
∴b=2a，
即2a﹣b=0；故错误；
④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故正确；
⑤∵当x=1时，y=a+b+c＞0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＞0；故正确．
故选D．
【点评】此题考查了二次函数的系数与图象的关系．注意熟练掌握各判定方法，准确认识图形是关键．
　
二、细心填一填，试试自己的身手．每小题3分，共18分．
11．若x=2为一元二次方程x2﹣ax﹣2=0的一根，则a=　1　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据方程的解的定义，把x=2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：依题意，得
22﹣2a﹣2=0，即﹣2a+2=0，
解得，a=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
　
12．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是　150　度．
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：扇形的面积公式=lr=240πcm2，
解得：r=24cm，
又∵l==20πcm，
∴n=150°．
故答案为：150．
【点评】此题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角．
　
13．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：由树状图可知共有3×2=6种可能，选看的2场恰好都是乒乓球比赛的有2种，所以概率是．

【点评】画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
14．若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣9x+8=0，则ABC的周长是　3或24或17　．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=8，然后分类讨论：当三角形三边都是1时，当三角形三边都是8时，当三角形三边为8、8、1时，再分别计算对应的周长即可．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣8）=0，
x﹣1=0或x﹣8=0，
所以x1=1，x2=8，
当三角形三边都是1时，三角形的周长为3；
当三角形三边都是8时，三角形的周长为24；
当三角形三边为8、8、1时，三角形的周长为17，
所以ABC的周长为3或24或17．
故答案为3或24或17．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
　
15．在同一平面直角坐标系内，将函数y=x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象的顶点坐标为　（2，﹣4）　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得答案．
【解答】解：将函数y=x2﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新函数解析式为y=（x﹣2）2﹣3﹣1，
即y=（x﹣2）2﹣4，
其顶点坐标为（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
　
16．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=上，第二象限的点B在反比例函数y=上，且OA⊥OB，∠A=30°，则k的值为　﹣　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．设A（x，）（x＞0），由点A在反比例函数y=上可得ON•AN=，由tan∠A==，再证明△MBO∽△NOA，可得===，进而可得BM=ON，OM=AN，然后再利用反比例函数图象上点的坐标特点可得k=﹣OM•BM=﹣ON×AN=﹣×=﹣．
【解答】解：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．
∵第一象限内的点A在反比例函数y的图象上，
∴设A（x，）（x＞0），ON•AN=．
∵∠A=30°，
∴tan∠A==，
∵OA⊥OB，
∴∠BMO=∠ANO=∠AOB=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，∠MOB+∠AON=90°，
∴∠MBO=∠AON，
∴△MBO∽△NOA， ===，
∴BM=ON，OM=AN．
又∵第二象限的点B在反比例函数y=上，
∴k=﹣OM•BM=﹣ON×AN=﹣×=﹣．
故答案为﹣．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于k．
　
三、用心做一做，显显自己的能力．满分72分．
17．解下列方程．
（1）（3x﹣1）（x﹣2）=2
（2）2x2﹣1=3x．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）3x2﹣7x=0，
x（3x﹣7）=0，
x=0或3x﹣7=0，
所以x1=0，x2=；
（2）2x2﹣3x﹣1=0，
△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17，
x=，
所以x1=，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
　
18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范围；
（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x1+x2=2（k﹣1）＜0，去绝对值号结合等式关系，可得出k的值．
【解答】解：（1）由方程有两个实数根，可得
△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，
解得，k≤；

（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），x1•x2=k2，
由（1）可知k≤，
∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，
∴﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=x1•x2﹣1，
∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，
解得k1=1（舍去），k2=﹣3，
∴k的值是﹣3．
答：（1）k的取值范围是k≤；（2）k的值是﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．
　
19．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转后能与△DFA重合．
（1）△BEA绕　A　点　逆　时针旋转　90　度能与△DFA重合；
（2）若AE=cm，求四边形AECF的面积．

【考点】旋转的性质．
【分析】（1）根据旋转的性质直接填空得出即可；
（2）根据垂直的定义可得∠AEB=∠AEC=90°，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ADF和△ABE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠F，全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后证明四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形可得四边形AECF是正方形，然后根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）△BEA绕A点逆（或顺）时针旋转90度（或270度）能与△DFA重合；
故答案为：A，逆（或顺）；90（或270度）；

（2）∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵AB=AD，△BEA旋转后能与△DFA重合，
∴△ADF≌△ABE，
∴∠AEB=∠F，AE=AF，
∵∠C=90°，
∴∠AEC=∠C=∠F=90°，
∴四边形AECF是矩形，
又∵AE=AF，
∴矩形AECF是正方形，
∵AE=cm，
∴四边形AECF的面积为（）2=6（cm2）．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到全等三角形，然后证明四边形AECF是正方形是解题的关键．
　
20．为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】阅读型．
【分析】先要根据付给旅行社的费用来判断这次春游人数的大致范围．然后根据相应范围的不同的费用基数按方法来列出方程，求出符合题意的值．
【解答】解：∵25人的费用为2500元＜2800元
∴参加这次春游活动的人数超过25人．
设该班参加这次春游活动的人数为x名，根据题意得[100﹣2（x﹣25）]x=2800
整理得x2﹣75x+1400=0
解得x1=40，x2=35
当x1=40时，100﹣2（x﹣25）=70＜75，不合题意，舍去．
当x2=35时，100﹣2（x﹣25）=80＞75，符合题意．
答：该班参加这次春游活动的人数为35名．
【点评】可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．本题中根据工费用判断人数的大致范围是解题的基础．
　
21．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．
【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵（a，b）的可能结果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），
∴（a，b）取值结果共有9种；

（2）∵当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=7＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=2＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=8＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=3＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
当a=1，b=3时，△=b2﹣4ac=5＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=2时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
∴P（甲获胜）=P（△＞0）=＞P（乙获胜）=，
∴这样的游戏规则对甲有利，不公平．

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
　
22．如图，以等腰△ABC的一腰AB上的点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O交底边BC于点D．过D作⊙O的切线DE，交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=BC=CA=2，问圆心O与点A的距离为多少时，⊙O与AC相切？

【考点】切线的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）连接OD，由切线性质求出OD⊥DE，根据等腰三角形性质求出∠B=∠ODB=∠C，推出OD∥AC，即可求出DE⊥AC．
（2）作OF⊥AC于F，设AF=x，根据等边三角形的性质求出∠A=60°，OF=x=OB，OA=2x，根据OA+OB=AB得出x+2x=2，求出x即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
又AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥OD，
∴DE⊥AC．

（2）解：过O作OF⊥AC于F，设AF=x，
∵△ABC为等边三角形，
∴在Rt△AOF中∠A=60°，OF=x=OB，OA=2x，
由OA+OB=AB得： x+2x=2，
解得：x=4﹣2，
∴OA=2x=8﹣4，
答：圆心O与点A的距离为8﹣4时，⊙O与AC相切．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平行线的性质的应用，通过做此题培养了学生的推理能力和计算能力，题型较好，综合性比较强．
　
23．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据．
薄板的边长（cm）
20
30
出厂价（元/张）
50
70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）40cm的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价﹣成本价）．
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y﹣mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n．
由表格中的数据，得，
解得k=2，n=10，
所以y=2x+10；

（2）①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：
p=y﹣mx2=2x+10﹣mx2，
将x=40，p=26代入p=2x+10﹣mx2中，
得26=2×40+10﹣m×402．
解得m=．
所以p=﹣x2+2x+10．
②因为a=﹣＜0，所以，当x=﹣=﹣═25（在5～50之间）时，
p最大值===35．
即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．
【点评】本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法
　
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；[来源:Zxxk.Com]
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3

（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，﹣3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=
∴y=；
∴x2﹣2x﹣3=
解得x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（，）

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得：
∴直线BC的解析式为y=x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
当0=x2﹣2x﹣3，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ[来源:学.科.网]
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．


【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．