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广东省深圳市科城中学九年级（上）期末数学模拟试卷【解析版】
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这是一份广东省深圳市科城中学九年级（上）期末数学模拟试卷【解析版】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年广东省深圳市科城中学九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分）
1．2cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A． C．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，AB=5，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
5．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
7．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（ ）
A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DF
C．四边形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC
8．某市商品房的均价原为18150元/m2，经过连续两次降价后均价为15000元/m2．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．18150（1﹣x）2=18150﹣15000 B．18150（1﹣x2）=15000
C．18150（1﹣2x）=15000 D．18150（1﹣x）2=15000
9．关于二次函数y=﹣2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．它的开口方向是向上
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是（﹣2，3）
D．当x=0时，y有最小值是3
10．一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣3）（x﹣4）=0的根，则这个三角形第三边的长是（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．3和4
11．如图，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（3，4）．反比例函数（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．32 B．24 C．20 D．12
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）
13．若关于x的方程x2﹣x+c=0有一根是x=3，则另一个根是 ．
14．为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞50条鱼都做上标记，然后放回湖中去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞200条鱼，发现其中10条有标记，那么你估计湖里大约有鱼 ．
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 ．
16．如图，已知双曲线（k≠0）与直线y=x交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，若S△ABC=4，则k= ．
三．解答题（本题共有7小题，共52分）
17．解方程：5x2﹣6x+1=0．
18．计算：．
19．一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
20．光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知≈1.732）
21．（8分）（2011思茅区校级二模）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．
（1）求证：AD=CE；
（2）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
22．天虹商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m件与每件的销售价x元满足一次函数关系m=kx+b，当销售单价定为35元时，每天可销售57件；当销售单价定为40元时，每天可销售42件．
（1）求m与x的函数关系式；
（2）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式；
（3）当每件的销售单价定为多少元时，商场每天所获的利润最高？最高利润为多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），将▱ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到▱A′B′CD′，A′D′与BC相交于点E．
（1）求经过点D、A、A′的抛物线的函数关系式；
（2）求▱ABCD与▱A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；
（3）点P是抛物线上点A、A′之间的一动点，是否存在点P使得△APA′的面积最大？若存在，求出△APA′的最大面积，及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年广东省深圳市科城中学九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分）
1．2cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．
【解答】解：∵cos45°=，
∴2cos45°=．
故选B．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
2．某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个矩形被分成三部分，分割线是虚线，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A． C．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1是顶点式，
∴顶点坐标为（3，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），考查了学生的应用能力，是中考中考查重点注意必须熟练掌握其性质．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，AB=5，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．
【解答】解：∵AC=4，AB=5，
∴BC===3，
∴cosB==．
故选：B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
5．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：设3辆车分别为A，B，C，
共有9种情况，在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为，
故选A．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
6．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
【考点】正方形的性质；菱形的性质．
【分析】菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分．
【解答】解：因为菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分．
所以对角线相等是正方形具有而菱形不具有的．
故选B．
【点评】本题考查菱形的性质和正方形的性质，要熟记菱形和正方形的性质．
7．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（ ）
A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DF
C．四边形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．
【解答】解：A、∵AD∥BC
∴△AFD∽△EFB
∴===
故S△AFD=4S△EFB；
B、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．
C、由∠AEC=∠DCE可知正确．
D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．
8．某市商品房的均价原为18150元/m2，经过连续两次降价后均价为15000元/m2．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．18150（1﹣x）2=18150﹣15000 B．18150（1﹣x2）=15000
C．18150（1﹣2x）=15000 D．18150（1﹣x）2=15000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
【解答】解：由题意可列方程是：18150（1﹣x2）=15000．
故选B．
【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格．
9．关于二次函数y=﹣2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．它的开口方向是向上
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是（﹣2，3）
D．当x=0时，y有最小值是3
【考点】二次函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】分别根据抛物线的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．
【解答】解：A、∵二次函数y=﹣2x2+3中，x=﹣2＜0，∴此抛物线开口向下，故本选项错误；
B、∵抛物线的对称轴x=﹣=0，∴当x＞﹣1时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、抛物线的顶点坐标为（0，3），故本选项错误；
D、∵抛物线开口向下，∴此函数有最大值，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大．
10．一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣3）（x﹣4）=0的根，则这个三角形第三边的长是（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．3和4
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】先解方程，求出x的值，再根据三角形三边关系舍去不合题意的解．
【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x1=3，x2=4，
当x=3时，3+3=6（不合题意，舍去），
∴x=4，即这个三角形第三边的长是4．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，此题比较简单，易于掌握．
11．如图，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（3，4）．反比例函数（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．32 B．24 C．20 D．12
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据菱形的性质以及勾股定理得出AO=CO=5，即可得出B点坐标，进而求出k的值．
【解答】解：∵菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（3，4），
∴CO==5，
∴AO=BC=5，
∴B（8，4），
∴k=xy=4×8=32．
故选；A．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上点的坐标性质，得出B点坐标是解题关键．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出a、b的正负情况，再根据二次函数图象与y轴的交点判断出c=0，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=﹣＜0，
∴b＜0，
∵二次函数图象经过坐标原点，
∴c=0，
∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y=位于第二四象限，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的情况是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）
13．若关于x的方程x2﹣x+c=0有一根是x=3，则另一个根是 ﹣2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】设方程的另一个根是t，根据根与系数的关系得到3+t=1，然后解一次方程求t即可．
【解答】解：设方程的另一个根是t，
根据题意得3+t=1，解得t=﹣2，
即方程另一个根是﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
14．为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞50条鱼都做上标记，然后放回湖中去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞200条鱼，发现其中10条有标记，那么你估计湖里大约有鱼 1000条 ．
【考点】用样本估计总体．
【分析】在样本中“捕捞200条鱼，发现其中10条有标记”，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【解答】解：设湖中有x条鱼，
则200：10=x：50，
解得x=1000．
故答案为：1000条．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 12 ．
【考点】矩形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】计算题．
【分析】根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．
【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
同理EF∥HG，EF=HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=AC×BD=×8××6=12．
【点评】此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．
16．如图，已知双曲线（k≠0）与直线y=x交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，若S△ABC=4，则k= 4 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】过C作CD⊥X轴于D，设A的坐标是（a，b），根据双曲线的性质得到C的坐标是（﹣a，﹣b），根据三角形的面积公式推出×a×b+×a×b=4，代入即可求出k．
【解答】解：过C作CD⊥X轴于D，
设A的坐标是（a，b），则根据双曲线的两个分支关于原点对称，则C的坐标是（﹣a，﹣b），
则ab=k，OB=a，AB=b，CD=b，
∵S△ABC=S△AOB+S△COB=4，
∴×a×b+×a×b=4，
即k+k=4，
k=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查对三角形的面积，反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的理解和掌握，能推出k+k=4是解此题的关键．
三．解答题（本题共有7小题，共52分）
17．解方程：5x2﹣6x+1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：5x2﹣6x+1=0，
（5x﹣1）（x﹣1）=0，
5x﹣1=0，x﹣1=0，
x1=，x2=1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
18．计算：．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】将sin45°和tan30°的值代入计算可得出答案．
【解答】解：原式=﹣×
=﹣1
=﹣．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
19．一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据摸得黑球的概率为，假设出白球个数直接得出答案；
（2）利用先随机从口袋中摸出一球，不放回，得出树状图即可．
【解答】解：（1）∵一个口袋中有1个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
∴假设白球有x个，
∴，
∴x=2．
∴口袋中白球的个数为2个；
（2）∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．
∴两次都摸到白球的概率为：．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，根据已知得出树状图注意按要求从口袋中摸出一球，不放回，容易在这个地方犯错．
20．光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】作CD⊥AB于D，构造出Rt△ACD与Rt△BCD，求出AB的长度．根据平行线的性质求出三角形各角之间的关系，利用特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：作CD⊥AB于D．
设AD=x，则BD=50×20﹣x=1000﹣x．
∵∠EAC=60°，
∴∠CAB=90°﹣60°=30°．
在Rt△BCD中，
∵∠FBC=45°，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∴CD=DB=1000﹣x．
在Rt△ACD中，
∵∠CAB=30°，
∴CD=tan30°AD，
即DB=CD=tan30°AD=1000﹣x=x，
解得：x≈633.98，
∴CD=1000﹣633.98=366.02．
答：建筑物C到公路AB的距离为366.02m．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
21．（8分）（2011思茅区校级二模）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．
（1）求证：AD=CE；
（2）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得出AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，由CE∥AB，得到∠DAO=∠ECO，利用AAS证明△ADO≌△CEO，即可得出OD=OE；
（2）由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得平行四边形ADCE是菱形．
【解答】（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°．
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△ADO与△CEO中，
，
∴△ADO≌△CEO（ASA），
∴AD=CE；
（2）解：四边形ADCE是菱形．理由如下：
由（1）得OA=OC，AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC⊥DE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
【点评】本题考查了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证明△ADO≌△CEO，得出OD=OE是解题的关键．
22．天虹商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m件与每件的销售价x元满足一次函数关系m=kx+b，当销售单价定为35元时，每天可销售57件；当销售单价定为40元时，每天可销售42件．
（1）求m与x的函数关系式；
（2）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式；
（3）当每件的销售单价定为多少元时，商场每天所获的利润最高？最高利润为多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）根据待定系数法解出解析式即可；
（2）根据题意列出函数解析式解答即可；
（3）根据题意列出函数解析式，利用函数解析式的最值解答即可．
【解答】解：（1）把x=35，m=57；x=40，m=42代入m=kx+b得，，
解得：．
故m与x的函数关系式为：m=﹣3x+162；
（2）根据题意得：y=（﹣3x+162）（x﹣30），
即：销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式：y=﹣3x2+252x﹣4860；
（3）∵y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，
∴当x=42时，y最大=432，
∴每件的销售单价定为42元时，商场每天所获的利润最高，最高利润为432元．
【点评】此题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出方程和函数解析式，利用函数解析式的最值分析．
23．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），将▱ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到▱A′B′CD′，A′D′与BC相交于点E．
（1）求经过点D、A、A′的抛物线的函数关系式；
（2）求▱ABCD与▱A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；
（3）点P是抛物线上点A、A′之间的一动点，是否存在点P使得△APA′的面积最大？若存在，求出△APA′的最大面积，及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据平行四边形的性质和旋转的性质易求点D的坐标和A′坐标，再把D（﹣1，1）、A（0，4）、A′（3，1）代入求出a、b、
c的值即可；
（2）根据旋转：∠CED’=90°，所以可证明△CED′∽△CAB，利用相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方即可求出▱ABCD与▱A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；
（3）易得：yAA'=﹣x+4，设P（t，﹣t2+2t+4），则Q（t，﹣t+4），所以PQ=（﹣t2+2t+4）﹣（﹣t+4）=﹣t2+3t，利用三角形的面积公式即可得到s和t的二次函数关系式利用函数的性质即可求出△APA′的最大面积，进而可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，将▱ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到▱A′B′CD′，
顶点A、B、C的坐标分别为A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），
∴D（﹣1，1）、A′（3，1），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将D（﹣1，1）、A（0，4）、A′（3，1）代入得：，
解得：，
∴y=﹣x2+2x+4或：y=﹣（x﹣1）2+5；
（2）根据旋转：∠CED’=90°，
∴△CED′∽△CAB，
∴，
即，
∴；
或易得：yBC=3x+1与，
由得：E（，），
∴；
（3）易得：yAA'=﹣x+4
设P（t，﹣t2+2t+4），则Q（t，﹣t+4），
∴PQ=（﹣t2+2t+4）﹣（﹣t+4）=﹣t2+3t，
∴，
∴△APA’的最大面积为，
此时，P（，）．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、函数图象的交点等知识点，综合性强，同时也考查了数形结合的数学思想方法．
2017-2018学年广东省深圳市科城中学九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分）
1．2cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A． C．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，AB=5，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
5．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
7．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（ ）
A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DF
C．四边形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC
8．某市商品房的均价原为18150元/m2，经过连续两次降价后均价为15000元/m2．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．18150（1﹣x）2=18150﹣15000 B．18150（1﹣x2）=15000
C．18150（1﹣2x）=15000 D．18150（1﹣x）2=15000
9．关于二次函数y=﹣2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．它的开口方向是向上
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是（﹣2，3）
D．当x=0时，y有最小值是3
10．一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣3）（x﹣4）=0的根，则这个三角形第三边的长是（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．3和4
11．如图，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（3，4）．反比例函数（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．32 B．24 C．20 D．12
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）
13．若关于x的方程x2﹣x+c=0有一根是x=3，则另一个根是 ．
14．为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞50条鱼都做上标记，然后放回湖中去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞200条鱼，发现其中10条有标记，那么你估计湖里大约有鱼 ．
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 ．
16．如图，已知双曲线（k≠0）与直线y=x交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，若S△ABC=4，则k= ．
三．解答题（本题共有7小题，共52分）
17．解方程：5x2﹣6x+1=0．
18．计算：．
19．一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
20．光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知≈1.732）
21．（8分）（2011思茅区校级二模）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．
（1）求证：AD=CE；
（2）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
22．天虹商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m件与每件的销售价x元满足一次函数关系m=kx+b，当销售单价定为35元时，每天可销售57件；当销售单价定为40元时，每天可销售42件．
（1）求m与x的函数关系式；
（2）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式；
（3）当每件的销售单价定为多少元时，商场每天所获的利润最高？最高利润为多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），将▱ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到▱A′B′CD′，A′D′与BC相交于点E．
（1）求经过点D、A、A′的抛物线的函数关系式；
（2）求▱ABCD与▱A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；
（3）点P是抛物线上点A、A′之间的一动点，是否存在点P使得△APA′的面积最大？若存在，求出△APA′的最大面积，及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年广东省深圳市科城中学九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分）
1．2cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．
【解答】解：∵cos45°=，
∴2cos45°=．
故选B．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
2．某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个矩形被分成三部分，分割线是虚线，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A． C．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y=﹣2（x﹣3）2+1是顶点式，
∴顶点坐标为（3，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），考查了学生的应用能力，是中考中考查重点注意必须熟练掌握其性质．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，AB=5，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．
【解答】解：∵AC=4，AB=5，
∴BC===3，
∴cosB==．
故选：B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
5．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：设3辆车分别为A，B，C，
共有9种情况，在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为，
故选A．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
6．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
【考点】正方形的性质；菱形的性质．
【分析】菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分．
【解答】解：因为菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分．
所以对角线相等是正方形具有而菱形不具有的．
故选B．
【点评】本题考查菱形的性质和正方形的性质，要熟记菱形和正方形的性质．
7．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（ ）
A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DF
C．四边形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．
【解答】解：A、∵AD∥BC
∴△AFD∽△EFB
∴===
故S△AFD=4S△EFB；
B、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．
C、由∠AEC=∠DCE可知正确．
D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．
8．某市商品房的均价原为18150元/m2，经过连续两次降价后均价为15000元/m2．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．18150（1﹣x）2=18150﹣15000 B．18150（1﹣x2）=15000
C．18150（1﹣2x）=15000 D．18150（1﹣x）2=15000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
【解答】解：由题意可列方程是：18150（1﹣x2）=15000．
故选B．
【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格．
9．关于二次函数y=﹣2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．它的开口方向是向上
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是（﹣2，3）
D．当x=0时，y有最小值是3
【考点】二次函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】分别根据抛物线的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．
【解答】解：A、∵二次函数y=﹣2x2+3中，x=﹣2＜0，∴此抛物线开口向下，故本选项错误；
B、∵抛物线的对称轴x=﹣=0，∴当x＞﹣1时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、抛物线的顶点坐标为（0，3），故本选项错误；
D、∵抛物线开口向下，∴此函数有最大值，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大．
10．一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣3）（x﹣4）=0的根，则这个三角形第三边的长是（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．3和4
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】先解方程，求出x的值，再根据三角形三边关系舍去不合题意的解．
【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x1=3，x2=4，
当x=3时，3+3=6（不合题意，舍去），
∴x=4，即这个三角形第三边的长是4．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，此题比较简单，易于掌握．
11．如图，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（3，4）．反比例函数（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．32 B．24 C．20 D．12
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据菱形的性质以及勾股定理得出AO=CO=5，即可得出B点坐标，进而求出k的值．
【解答】解：∵菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（3，4），
∴CO==5，
∴AO=BC=5，
∴B（8，4），
∴k=xy=4×8=32．
故选；A．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上点的坐标性质，得出B点坐标是解题关键．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出a、b的正负情况，再根据二次函数图象与y轴的交点判断出c=0，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=﹣＜0，
∴b＜0，
∵二次函数图象经过坐标原点，
∴c=0，
∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y=位于第二四象限，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的情况是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）
13．若关于x的方程x2﹣x+c=0有一根是x=3，则另一个根是 ﹣2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】设方程的另一个根是t，根据根与系数的关系得到3+t=1，然后解一次方程求t即可．
【解答】解：设方程的另一个根是t，
根据题意得3+t=1，解得t=﹣2，
即方程另一个根是﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
14．为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞50条鱼都做上标记，然后放回湖中去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞200条鱼，发现其中10条有标记，那么你估计湖里大约有鱼 1000条 ．
【考点】用样本估计总体．
【分析】在样本中“捕捞200条鱼，发现其中10条有标记”，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【解答】解：设湖中有x条鱼，
则200：10=x：50，
解得x=1000．
故答案为：1000条．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 12 ．
【考点】矩形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】计算题．
【分析】根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．
【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
同理EF∥HG，EF=HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=AC×BD=×8××6=12．
【点评】此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．
16．如图，已知双曲线（k≠0）与直线y=x交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，若S△ABC=4，则k= 4 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】过C作CD⊥X轴于D，设A的坐标是（a，b），根据双曲线的性质得到C的坐标是（﹣a，﹣b），根据三角形的面积公式推出×a×b+×a×b=4，代入即可求出k．
【解答】解：过C作CD⊥X轴于D，
设A的坐标是（a，b），则根据双曲线的两个分支关于原点对称，则C的坐标是（﹣a，﹣b），
则ab=k，OB=a，AB=b，CD=b，
∵S△ABC=S△AOB+S△COB=4，
∴×a×b+×a×b=4，
即k+k=4，
k=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查对三角形的面积，反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的理解和掌握，能推出k+k=4是解此题的关键．
三．解答题（本题共有7小题，共52分）
17．解方程：5x2﹣6x+1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：5x2﹣6x+1=0，
（5x﹣1）（x﹣1）=0，
5x﹣1=0，x﹣1=0，
x1=，x2=1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
18．计算：．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】将sin45°和tan30°的值代入计算可得出答案．
【解答】解：原式=﹣×
=﹣1
=﹣．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
19．一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据摸得黑球的概率为，假设出白球个数直接得出答案；
（2）利用先随机从口袋中摸出一球，不放回，得出树状图即可．
【解答】解：（1）∵一个口袋中有1个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
∴假设白球有x个，
∴，
∴x=2．
∴口袋中白球的个数为2个；
（2）∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．
∴两次都摸到白球的概率为：．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，根据已知得出树状图注意按要求从口袋中摸出一球，不放回，容易在这个地方犯错．
20．光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】作CD⊥AB于D，构造出Rt△ACD与Rt△BCD，求出AB的长度．根据平行线的性质求出三角形各角之间的关系，利用特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：作CD⊥AB于D．
设AD=x，则BD=50×20﹣x=1000﹣x．
∵∠EAC=60°，
∴∠CAB=90°﹣60°=30°．
在Rt△BCD中，
∵∠FBC=45°，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∴CD=DB=1000﹣x．
在Rt△ACD中，
∵∠CAB=30°，
∴CD=tan30°AD，
即DB=CD=tan30°AD=1000﹣x=x，
解得：x≈633.98，
∴CD=1000﹣633.98=366.02．
答：建筑物C到公路AB的距离为366.02m．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
21．（8分）（2011思茅区校级二模）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．
（1）求证：AD=CE；
（2）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得出AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，由CE∥AB，得到∠DAO=∠ECO，利用AAS证明△ADO≌△CEO，即可得出OD=OE；
（2）由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得平行四边形ADCE是菱形．
【解答】（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°．
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△ADO与△CEO中，
，
∴△ADO≌△CEO（ASA），
∴AD=CE；
（2）解：四边形ADCE是菱形．理由如下：
由（1）得OA=OC，AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC⊥DE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
【点评】本题考查了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证明△ADO≌△CEO，得出OD=OE是解题的关键．
22．天虹商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m件与每件的销售价x元满足一次函数关系m=kx+b，当销售单价定为35元时，每天可销售57件；当销售单价定为40元时，每天可销售42件．
（1）求m与x的函数关系式；
（2）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式；
（3）当每件的销售单价定为多少元时，商场每天所获的利润最高？最高利润为多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）根据待定系数法解出解析式即可；
（2）根据题意列出函数解析式解答即可；
（3）根据题意列出函数解析式，利用函数解析式的最值解答即可．
【解答】解：（1）把x=35，m=57；x=40，m=42代入m=kx+b得，，
解得：．
故m与x的函数关系式为：m=﹣3x+162；
（2）根据题意得：y=（﹣3x+162）（x﹣30），
即：销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式：y=﹣3x2+252x﹣4860；
（3）∵y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，
∴当x=42时，y最大=432，
∴每件的销售单价定为42元时，商场每天所获的利润最高，最高利润为432元．
【点评】此题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出方程和函数解析式，利用函数解析式的最值分析．
23．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），将▱ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到▱A′B′CD′，A′D′与BC相交于点E．
（1）求经过点D、A、A′的抛物线的函数关系式；
（2）求▱ABCD与▱A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；
（3）点P是抛物线上点A、A′之间的一动点，是否存在点P使得△APA′的面积最大？若存在，求出△APA′的最大面积，及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据平行四边形的性质和旋转的性质易求点D的坐标和A′坐标，再把D（﹣1，1）、A（0，4）、A′（3，1）代入求出a、b、
c的值即可；
（2）根据旋转：∠CED’=90°，所以可证明△CED′∽△CAB，利用相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方即可求出▱ABCD与▱A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；
（3）易得：yAA'=﹣x+4，设P（t，﹣t2+2t+4），则Q（t，﹣t+4），所以PQ=（﹣t2+2t+4）﹣（﹣t+4）=﹣t2+3t，利用三角形的面积公式即可得到s和t的二次函数关系式利用函数的性质即可求出△APA′的最大面积，进而可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，将▱ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到▱A′B′CD′，
顶点A、B、C的坐标分别为A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），
∴D（﹣1，1）、A′（3，1），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将D（﹣1，1）、A（0，4）、A′（3，1）代入得：，
解得：，
∴y=﹣x2+2x+4或：y=﹣（x﹣1）2+5；
（2）根据旋转：∠CED’=90°，
∴△CED′∽△CAB，
∴，
即，
∴；
或易得：yBC=3x+1与，
由得：E（，），
∴；
（3）易得：yAA'=﹣x+4
设P（t，﹣t2+2t+4），则Q（t，﹣t+4），
∴PQ=（﹣t2+2t+4）﹣（﹣t+4）=﹣t2+3t，
∴，
∴△APA’的最大面积为，
此时，P（，）．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、函数图象的交点等知识点，综合性强，同时也考查了数形结合的数学思想方法．
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