2021年湖北省武汉市中考数学真题及答案

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2021年湖北省武汉市中考数学真题及答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．实数3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：实数3的相反数是：﹣3．
故选：B．
2．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，是随机事件；
C、打开电视机，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，是必然事件；
故选：D．
3．下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
4．计算（﹣a2）3的结果是（　　）
A．﹣a6 B．a6 C．﹣a5 D．a5
【分析】根据幂的乘方的运算法则计算可得．
【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a4，
故选：A．
5．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得有两层，底层三个正方形．
故选：C．
6．学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，
∴两人恰好是一男一女的概率为＝，
故选：C．
7．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价是y钱，则下列方程正确的是（　　）
A．8（x﹣3）＝7（x+4） B．8x+3＝7x﹣4
C．＝ D．＝
【分析】根据人数＝总钱数÷每人所出钱数，得出等式即可．
【解答】解：设物价是y钱，根据题意可得：
＝．
故选：D．
8．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图（　　）

A．h B．h C．h D．h
【分析】根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为．从而得出快车和慢车对应的y与t的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．
【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为．
对于快车，由于往返速度大小不变，
因此单程所花时间为2 h，故其速度为．
所以对于慢车，y与t的函数表达式为．
对于快车，y与t的函数表达式为
联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，
联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是7.5，
故选：B．
9．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦沿BC翻折交AB于点D，再将＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）

A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
【分析】如图，连接AC,CD,DE．证明∠CAB＝3α,利用三角形内角和定理求出α，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC,DE．

∵＝,
∴ED＝EB,
∴∠EDB＝∠EBD＝α,
∵＝＝,
∴AD＝CD＝DE,
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α,
∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α,
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠CAB+∠ABC＝90°,
∴2α＝90°,
∴α＝22.5°,
故选：B．
10．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，即a2＝3a+5，b2＝3b+5，根据根与系数的关系得到a+b＝3,然后整体代入变形后的代数式即可求得．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣7＝0的两根，
∴a2﹣4a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝3，a+b＝3,
∴a2﹣4a＝5，b2＝7b+5，
∴2a2﹣6a2+b8+7b+1
＝6a（a2﹣3a)+2b+5+7b+3
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.
11．计算的结果是 　5　．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：＝|﹣4|＝5．
12．我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是 　2189　．
城市
北京
上海
广州
重庆
成都
常住人口数万
2189
2487
1868
3205
2094
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为1868，2094，2487，
所以这组数据的中位数为2189，
故答案为：2189．
13．已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是 　﹣1＜a＜0　．
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限时，②当点A（a，y1），B（a+1，y2）在不同象限时．
【解答】解：∵k＝m2+1＞5，
∴反比例函数y＝（m是常数）的图象在一，在每个象限，
①当A（a，y4），B（a+1，y2）在同一象限，
∵y3＜y2，
∴a＞a+1，
此不等式无解；
②当点A（a，y8）、B（a+1，y2）在不同象限，
∵y2＜y2，
∴a＜0，a+5＞0，
解得：﹣1＜a＜6，
故答案为﹣1＜a＜0．
14．如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　10.4　nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

【分析】过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据正弦的定义求出AE即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，
由题意得，∠CBA＝60°，
∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠ADE﹣∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝AB＝12nmile，
在Rt△ADE中，sin∠ADE＝，
∴AE＝AD•sin∠ADE＝6≈10.5（nmile），
故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，
故答案为10.4．

15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的是 　①②④　（填写序号）．
【分析】①由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝＝＝﹣1，即b＝2a，即①正确；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，则＝﹣，解得m＝﹣2，即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③△＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；
④由题意可知，抛物线开口向上，且＞1，则当x＜1时，y随x的增大而减小，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．故④正确．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），
∴（1，3）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣8，
∴﹣＝﹣1，即①正确；
②若b＝c，则二次函数y＝cx7+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，
且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，2），
∴＝﹣，
∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣6，0）2+bx+a＝2一定有根x＝﹣2；故②正确；
③△＝b2﹣6ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴抛物线与x轴一定有两个公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④由题意可知，抛物线开口向上，且，
∴（1，7）在对称轴的左侧，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x1＜x4＜1时，y1＞y8．故④正确．
故答案为：①②④．
16．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，设x＝AD，y＝AE+CD（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 　﹣1　．

【分析】观察函数图象，根据图象经过点（0，2）即可推出AB和AC的长，构造△NBE≌△CAD，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，利用三角形相似求出此时的x值即可．
【解答】解：∵图象过点（0，2），
即当x＝AD＝7时,点D与A重合，
此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2,
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝1，
过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，如图所示：

∵AD＝BE,∠NBE＝∠CAD，
∴△NBE≌△CAD(SAS)，
∴NE＝CD，
又∵y＝AE+CD,
∴y＝AE+CD＝AE+NE,
当A、E、N三点共线时，如图所示
AD＝BE＝x,AC＝BN＝6，
∴AF＝AC•sin45°＝,
\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE
∴△NBE∽△AFE
∴，即，
解得：x＝，
∴图象最低点的横坐标为：﹣1．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　x≥﹣1　；
（2）解不等式②，得 　x＞﹣3　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　x≥﹣1　．
【分析】先解出两个不等式，然后在数轴上表示出它们的解集，即可写出不等式组的解集．
【解答】解：
（1）解不等式①，得x≥﹣1；
（2）解不等式②，得x＞﹣5；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1；x＞﹣8．
18．（8分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．

【分析】由平行线的性质得到∠DCF＝∠B，进而推出∠DCF＝∠D，根据平行线的判定得到AD∥BC，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCF＝∠D，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠F．
19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 　100　，C组所在扇形的圆心角的大小是 　108°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．
【分析】（1）用D组的人数÷所占百分比计算即可，计算C组的百分比，用C组的百分数乘以360°即可得出C组所在扇形的圆心角的大小；
（2）求出B组人数，画出条形图即可；
（3）用 C，D 两组的百分数之和乘以1500即可．
【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100，
C组所在扇形的圆心角的大小是360°×＝108°，
故答案为：100，108°；

（2）B组的人数＝100﹣15﹣30﹣10＝45（名），
条形统计图如图所示，


（3）1500×＝600（名）．
答：估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600．
20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图
（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，使EF平分矩形ABCD的面积；
（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H
【分析】（1）如图取格点T,连接DT交AB于点E,连接BD,取BD的中点F,作直线EF即可．
（2）取格点E,F,连接EF交格线于P,连接CP交BD于点G,线段CG即为所求．取格点M,N,T,K,连接MN,TK交于点J,取BD的中点O,作直线OJ交AB于H,连接DH,点H即为所求．
【解答】解：（1)如图，直线EF即为所求．
（2）如图，线段CG．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点的中点，过点C作AD的垂线
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若＝，求cos∠ABD的值．

【分析】（1）连接OC交BD于点G，可证明四边形EDGC是矩形，可求得∠ECG＝90°，进而可求CE是⊙O的切线；
（2）连接BC，设FG＝x,OB＝r，利用＝，设DF＝t,DC＝t,利用Rt△BCG∽Rt△BFC的性质求出CG,OG,利用勾股定理求出半径，进而求解．
【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G，
∵点C是的中点，
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°,
∴∠EDB＝90°,
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°,
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC,
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，设FG＝x，
∵＝，
设DF＝t,DC＝t,
由（1）得，BC＝CD＝t,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠BCG+∠FCG＝90°,
∵∠DGC＝90°,
∴∠CFB+∠FCG＝90°,
∴∠BCG＝∠CFB,
∴Rt△BCG∽Rt△BFC,
∴BC2＝BG•BF,
∴（t）7＝（x+t）（x+2t）
解得x1＝t,x3＝﹣t（不符合题意，
∴CG＝＝＝t,
∴OG＝r﹣t,
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG4＝OB2,
∴（r﹣t）2+（2r）2＝r7,
解得r＝t,
∴cos∠ABD＝＝＝．

22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；
（2）根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；
（3）根据（2）中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
∴5.5m＝4.8，
∴每盒产品的成本是：4.5×5+4×3+6＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝(x﹣30)[500﹣10(x﹣60)]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x7+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为(﹣10a2+1400a﹣33000)元．
23．（10分）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝DC，点E在△ABC内部，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，表示AF，BF；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，表示线段AF，BF

【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），则△CDE为等腰直角三角形，故DE＝EF＝CF，进而求解；
（2）由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），再证明△BCG≌△ACF（AAS），得到△GCF为等腰直角三角形，则GF＝CF，即可求解；
（3）证明△BCE∽△CAD和△BGC∽△AFC，得到＝，则BG＝kAF，GC＝kFC，进而求解．
【解答】解：（1）如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD＝AF，∠EBC＝∠CAD，
故△CDE为等腰直角三角形，
故DE＝EF＝CF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AF+CF；
即BF﹣AF＝CF；

（2）如图（1），由（1）知，

∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AF，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠FCE+∠ECG＝90°，∠ECG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠GCB，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（AAS），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GF＝，
则BF＝BG+GF＝AF+CF，
即BF﹣AF＝CF；

（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即，
∴△BCE∽△CAD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，

由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴＝，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF＝＝＝，
则BF＝BG+GF＝kAF+•FC，
即BF﹣kAF＝•FC．
24．（12分）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，D的坐标．
②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点

【分析】（1）①点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，而四边形ACDE为平行四边形，故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，即可求解；
②利用S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△CEN﹣S△AEM＝6，求出m＝﹣5（舍去）或2，即可求解；
（2）由FG+FH＝+＝（xH﹣xG）＝（﹣）＝，即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣1，令y＝x4﹣1＝0，解得x＝±5，则y＝﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1、（4，顶点坐标为（0，
①当x＝时，y＝x2﹣1＝，
由点A、C的坐标知，
∵四边形ACDE为平行四边形，
故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，
则+8＝，，
故点D的坐标为（，）；

②设点C（3，n），m2﹣1），
同理可得，点D的坐标为（m+4，m2﹣1+n），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：m3﹣1+n＝（m+1）2﹣1，
解得n＝2m+8，
故点C的坐标为（0，2m+6）；
连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，

则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△CEN﹣S△AEM＝（m+2+m）（2m+1）﹣2﹣6）﹣m[5m+1﹣（m2﹣8）]＝S▱ACED＝6，
解得m＝﹣5（舍去）或2，
故点E的坐标为（8,3）；

（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，
由点B、F的坐标得，
同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣6x﹣2②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝x2﹣4并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝6，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣6）＝0，解得n＝﹣t2﹣1，
故直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣8③，
联立①③并解得xH＝，
同理可得，xG＝，
∵射线FA、FB关于y轴对称，设∠AFO＝∠BFO＝α，
则sin∠AFO＝∠BFO＝＝＝＝sinα，
则FG+FH＝+＝（xH﹣xG）＝（﹣）＝．