《圆锥曲线中的最值、范围、证明问题》专项练习

备考训练15　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题——大题备考

1．设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.

2．[2020·山东部分重点中学模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，在抛物线C上存在点M(x0,1)满足|MF|＝1.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线C上的两点A，B满足·＝3(O为坐标原点)，点A在x轴的上方，点B在x轴的下方，点C，F关于直线OB对称，求四边形OABC面积的最小值．

3．如图，设A，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上，斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点(A，B位于直线l的两侧)．

(1)求椭圆的方程；

(2)求四边形APBQ的面积的最大值．

4．[2020·山东泰安质量检测]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且经过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P(－2,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M，N，设＝α，＝β，α，β∈R，求α＋β的取值范围．

5．[2020·山东潍坊模拟]已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l：y＝kx＋b(k≠0)交抛物线C于A，B两点，|AF|＋|BF|＝4，M(0,3)．

(1)若AB的中点为T，直线MT的斜率为k′，证明：k·k′为定值；

(2)求△ABM面积的最大值．

6．[2020·山东日照模拟]已知点E，F分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和左焦点，若EF与圆x2＋y2＝相切于点T，且点T是线段EF靠近点E的三等分点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线l：y＝kx＋m与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l′与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，求△PAB面积的取值范围．