初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程一课一练

21.3　实际问题与一元二次方程

测试时间:25分钟

一、选择题

1.(2021山东济南历下期末)某商店于今年元旦期间举行促销活动,元旦当天的销售额是2 000元,1月3日的销售额是4 500元,从元旦到1月3日,该店销售额平均每天的增长率是              (　　)

A.15%　　　　　B.20%　　　　　C.25%　　　　　D.50%

2.(2020黑龙江哈尔滨南岗月考)直角三角形两条直角边长的和为7,面积是6,则斜边长是 (　　)

A.　　　　　B.5　　　　　C.　　　　　D.7

3.(2021浙江台州仙居期末)某商场销售一批衬衣,平均每天可售出30件,每件衬衣盈利50元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衣降价10元,商场平均每天可多售出20件.若商场平均每天盈利2 000元,则每件衬衣应降价              (　　)

A.10元　　　　　B.15元　　　　　C.20元　　　　　D.25元

4.(2021陕西西安莲湖期中)如图1,有一张长32 cm,宽16 cm的长方形硬纸片,裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后,恰好折成如图2所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是130 cm2,则纸盒的高为              (　　)

A.2 cm　　　　　B.2.5 cm　　　　　C.3 cm　　　　　D.4 cm

二、填空题

5.(2021广西桂林灌阳期中)有一人患流感,经过两轮传染后,共有49人患了流感,如果不及时控制,第三轮被传染的人数为　　　　(三轮传染速度相同). 

6.(2020贵州遵义汇川模拟)《九章算术》中有一题:“今有二人同立.甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲乙各行几何?”大意是说:“甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又向东北方向走了一段后与乙相遇,问甲、乙各走了多少步?”请回答:乙走的步数是　　　　. 

三、解答题

7.(2021云南临沧云县期末)某种植物的一个主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,若主干、支干和小分支的总数是43,那么每个支干长出多少个小分支?

8.(2021湖南郴州期末)如图,某居民小区改造,计划在居民小区的一块长50米,宽20米的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地,使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,且两块矩形绿地的面积之和为原矩形空地面积的,那么人行通道的宽度是多少米?

9.(2021陕西西安莲湖期末)某商店销售一款工艺品,每件的成本是30元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,当销售单价是40元时,每天的销售量是80件,而销售单价每提高1元,每天就少售出2件,但要求销售单价不得超过55元.

(1)若销售单价为45元,求每天的销售利润;

(2)要使每天销售这种工艺品盈利1 200元,那么每件工艺品售价应为多少元?

10.(2021四川资阳雁江期末)全球新冠疫情爆发时,医疗物资极度匮乏,中国许多企业都积极地生产医疗物资以应对疫情,某工厂及时引进了一条口罩生产线来生产口罩,开工第一天生产500万个,第三天生产720万个,若每天增长的百分率相同,试回答下列问题:

(1)求每天增长的百分率;

(2)经调查发现,1条生产线的产能是1 500万个/天,若每增加1条生产线,每条生产线的产能将减少50万个/天.

①现该厂要保证每天生产口罩6 500万个,在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多,投入越大),应该增加几条生产线?

②是否能增加生产线,使得每天生产口罩15 000万个?若能,应该增加几条生产线?若不能,请说明理由.

一、选择题

1.D　设该店销售额平均每天的增长率是x,依题意得2 000(1+x)2=4 500,解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去).故选D.

2.B　设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为(7-x),由题意,得x(7-x)=6,解得x1=3,x2=4,∴两直角边长分别为3和4,由勾股定理,得斜边长为=5.故选B.

3.D　设每件衬衣应降价x元.根据题意,得(50-x)(30+2x)=2 000,整理,得x2-35x+250=0,解得x1=10,x2=25.∵要“增加盈利,尽快减少库存”,∴x1=10应舍去,∴x=25.故选D.

4.C　设纸盒的高为x cm,依题意,得×(16-2x)=130,整理,得x2-24x+63=0,解得x1=3,x2=21.当x=3时,16-2x=10>0,符合题意;当x=21时,16-2x=-26<0,不符合题意,∴纸盒的高为3 cm.故选C.

二、填空题

5.答案　294

解析　设每轮传染中1人可传染x人,依题意,得(1+x)2=49,解得x1=6,x2=-8(不合题意,舍去),∴第三轮被传染的人数为49×6=294.

6.答案　

解析　设甲、乙两人从开始到相遇经过的时间为t,则乙走了3t步,甲向东北方向走了(7t-10)步,依题意得102+(3t)2=(7t-10)2,整理得40t2-140t=0,解得t1=,t2=0(不合题意,舍去),∴3t=.

三、解答题

7.解析　设每个支干长出小分支x个,

根据题意列方程,得x2+x+1=43,

解得x=6或x=-7(不合题意,舍去).

答:每个支干长出6个小分支.

8.解析　设人行通道的宽度是x米,则两块绿地可合成长为(50-3x)米、宽为(20-2x)米的矩形,

根据题意,得(50-3x)(20-2x)=×50×20,

整理得3x2-80x+125=0,解得x1=25(舍去),x2=,

∴x=.

答:人行通道的宽度是米.

9.解析　(1)(45-30)×[80-(45-40)×2]=1 050(元).

答:每天的销售利润为1 050元.

(2)设每件工艺品售价为x元,则每天的销售量是[80-2(x-40)]件,

依题意,得(x-30)[80-2(x-40)]=1 200,

整理,得x2-110x+3 000=0,

解得x1=50,x2=60(不合题意,舍去).

答:每件工艺品售价应为50元.

10.解析　(1)设每天增长的百分率为x,

依题意,得500(1+x)2=720,

解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).

答:每天增长的百分率为20%.

(2)①设应该增加m条生产线,则每条生产线的产能为(1 500-50m)万个/天,

依题意,得(1+m)(1 500-50m)=6 500,

解得m1=4,m2=25,

∵要增加产能同时又要节省投入,

∴m=4.

答:应该增加4条生产线.

②不能.理由:设增加a条生产线,则每条生产线的产能为(1 500-50a)万个/天,

依题意,得(1+a)(1 500-50a)=15 000,

化简得a2-29a+270=0,

∵Δ=(-29)2-4×1×270=-239<0,∴方程无解.

∴不能通过增加生产线,使得每天生产口罩15 000万个.