人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程课后练习题

22.2　二次函数与一元二次方程

测试时间:20分钟

一、选择题

1.(2021内蒙古赤峰松山期末)如图所示,二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为(3,0),则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解为              (　　)

A.x1=3,x2=-2　　　　　B.x1=3,x2=-1　　　　　

C.x1=1,x2=-1　　　　　D.x1=3,x2=-3

2.(2020山东潍坊期末)二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表:

利用该二次函数的图象判断,当函数值y>0时,x的取值范围是 (　　)

A.0<x<8　　　　　B.x<0或x>8　　　　　C.-2<x<4　　　　　D.x<-2或x>4

3.(2021河北唐山丰南期中)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:

下列结论:

①ac<0;②当x>1时,y的值随x值的增大而减小;③3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根;④当-1<x<3时,ax2+bx+c<x.其中正确的个数为              (　　)

A.4　　　　　B.3　　　　　C.2　　　　　D.1

4.(2020广东深圳中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(-1,n),其部分图象如图所示.以下结论错误的是              (　　)

A.abc>0　　　　　B.4ac-b2<0

C.3a+c>0　　　　　D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根

二、填空题

5.(2020黑龙江哈尔滨道里期末)若二次函数y=x2-6x+3a的图象与x轴有且只有一个公共点,则a的值为　　　　. 

6.(2021黑龙江双鸭山集贤期中)直线y1=x+1与抛物线y2=-x2+3如图所示,当y1>y2时,x的取值范围是　　　　　　. 

三、解答题

7.(2020北京东城期末)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:

根据上表,回答下列问题:

(1)直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴;

(2)写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根;

(3)若m=-1,求此二次函数的解析式.

8.(2021湖南长沙开福月考)已知抛物线y=x2-(2m+2)x+m2+2m,其中m是常数.

(1)求证:无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;

(2)若该抛物线的对称轴为直线x=4.

①求该抛物线的解析式;

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?

一、选择题

1.B　解法一:∵二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴的一个交点的坐标为(3,0),∴横坐标3是方程-x2+2x+k=0的一个根,∴把x=3代入关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0中得,-9+6+k=0,解得k=3,∴原方程即为-x2+2x+3=0,∴x1+x2=3+x2=2,解得x2=-1.故选B.

解法二:由题图知抛物线的对称轴为x=1,∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),∴方程-x2+2x+k=0的解为x1=3,x2=-1.故选B.

2.C　由表中的数据知,抛物线顶点坐标是(1,9),当x<1时,y的值随x值的增大而增大,当x>1时,y的值随x值的增大而减小,则该抛物线开口向下,所以根据抛物线的对称性知,点(-2,0)关于直线x=1对称的点的坐标是(4,0).所以,当函数值y>0时,x的取值范围是-2<x<4.故选C.

3.C　由表中数据可知,x=0和x=3时,函数值相同,都是3,∴抛物线的对称轴为直线x==,∵x=1时,y=5,∴a<0,∵x=0时,y=3,∴c=3,∴ac<0,故①正确;∵抛物线的对称轴为x=,∴当x>时,y的值随x值的增大而减小,故②错误;∵x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∴9a+3(b-1)+c=0,∴x=3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根,故③正确;∵x=-1时,y=-1,∴a-b+c=-1,∴a-(b-1)+c=0,∴x=-1是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根,∴当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c>0,即当-1<x<3时,ax2+bx+c>x,故④错误.故选C.

4.C　选项A,∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴为直线x=-=-1,∴b=2a<0,∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,∴abc>0,故A中结论正确,不符合题意;选项B,∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即4ac-b2<0,故B中结论正确,不符合题意;选项C,∵抛物线的对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点在(-3,0)和(-2,0)之间,∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间,∴x=1时,y<0,即a+b+c<0,∵b=2a,∴3a+c<0,故C中结论错误,符合题意;选项D,∵抛物线开口向下,顶点为(-1,n),∴函数有最大值n,∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根,故D中结论正确,不符合题意.故选C.

二、填空题

5.答案　3

解析　∵二次函数y=x2-6x+3a的图象与x轴有且只有一个公共点,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3a=0,解得a=3.

6.答案　x<-2或x>1

解析　∵由图象可知,当x<-2或x>1时,直线y1=x+1位于抛物线y2=-x2+3的上方,∴当y1>y2时,x的取值范围是x<-2或x>1.

三、解答题

7.解析　(1)根据题表可知:二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,-2),(1,-2),

∴对称轴为直线x==,c=-2.

(2)根据二次函数图象的对称性可知:

点(-2,t)关于对称轴x=的对称点为(3,t),

即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根.

(3)m=-1,则抛物线经过点(-1,-1),(0,-2),(1,-2),

代入y=ax2+bx+c得解得

∴此二次函数的解析式为y=x2-x-2.

8.解析　(1)证明:∵y=x2-(2m+2)x+m2+2m,

∴Δ=[-(2m+2)]2-4×1×(m2+2m)

=4m2+8m+4-4m2-8m

=4>0,

∴无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.

(2)①∵抛物线y=x2-(2m+2)x+m2+2m的对称轴为直线x=4,

∴-=4,

解得m=3,

∴该抛物线的解析式为y=x2-8x+15.

②∵y=x2-8x+15=(x-4)2-1,

∴该抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.