山东省济宁市2022届高三上学期期中考试数学试题含答案

济宁市2021—2022学年度第一学期期中考试

高三数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将所应该填涂的内容涂在答题卡相应位置处.并将条形码贴在答题卡相应位置处.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

第I卷（选择题部分，60分）

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全体实数集，集合，则（　　）

A．        B．       C．         D．

2.已知复数，则下列结论正确的是（    ）

A．在复平面对应的点位于第三象限         B．的虛部是

C．（是复数的共轭复数）       D． 

3.命题，使得成立．若是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A．      B．     C．      D．

4.已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（    ）

A．        B．0          C．7          D．

5．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列满足，则（    ）

A．         B．          

C．          D．

6．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（　　）

A．         B．       

C．          D．

7.已知函数（其中是自然对数的底数），若，，，则的大小关系为（    ）

A．          B．    

C．          D． 

8.对于角的正切的倒数,记作，称其为角的余切.在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若满足，则的取值范围是（    ）

A．            B． 

C．           D．

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列说法中真命题的是（    ）

A．若，表示不超过的最大整数，则在上是周期函数

B．函数的图象关于轴对称

C．函数，若，则.

D．若等差数列：，，则当时的前项和最大

10.已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的取值可能为（    ）

A．            B．        C．           D．

11.关于函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的最大值为                

B．的最小正周期为

C．的图象关于直线对称       

D．在上单调递增

12.已知函数若存在实数，，，（）满足，则（    ）

A．                 B．     

C．             D．              

第II卷（非选择题部分，90分）

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为________．

14.数列的通项公式，前项和为，则 =___________.

15.已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是_______.

16．在数列中，，为的前项和，且函数的导函数有唯一的零点，则________；当不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17（10分）.已知数列中，，______，其中．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．

18(12分).在中，内角所对的边长分别为，，，是1和的等差中项．

（1）求角；

（2）若边上的中线长为，，求的面积．

19(12分).如图，某校园有一块半径为的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现对其进行改建，在的延长线上取点，，在半圆上选定一点，改建后绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，设.

（1）当时，求改建后的绿化区域边界与线段长度之和；

（2）若改建后绿化区域的面积为，写出关于的函数关系式，试问为多大时，改建后的绿化区域面积取得最大值，最大值为多少？

（注：请利用参考数据,求出本题中的与的结果的具体值）.

20（12分）.已知数列中，，．

（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；

（2）数列满足，设为数列的前项和，

求对任意使得恒成立的最小的整数的值．

21（12分）.函数，.

（1）把的解析式改写为(，)的形式；

（2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值；

（3）把图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有个零点，求的最小值.

22（12分）.已知函数，，.

（1）求的最大值；

（2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；

（3）证明不等式（其中e是自然对数的底数）

高三数学参考答案

一、单项选择题：CDAD     BABC

二、多项选择题：9.AD    10.ABC    11.ACD     12.ABD

三、填空题：13.且    14.10   15.   16.  

四、解答题：  

17.【详解】（1）选①：因为，，

当时，，

当时，等式也成立所以，；--------------------4分

选②：由，，所以数列是以2为首项2为公差的等差数列，

所以，；-------------4分

选③：由，且，可得数列为等差数列，设公差为，

则，所以，；---------------4分

（2），-------------6分

.-----------10分

18.【详解】：（1）由题意及正弦定理得，所以，

化简得，因为，所以，

而在中，，所以；--------------------6分

（2）设中线交于，则，

由余弦定理得，即，化简得，

因为，所以，所以．---------12分

另解：由余弦定理可得①,

由得②，

由①②可得，所以．-------------------12分

19. 【详解】（1）弧-------3分

-------4分

（2），.

由，得，，单调递增，

得，，单调递减.所以当时，取得最大值，

最大值为----11分    m2.----12分

20.【详解】（1）由，得，

令，所以，解得，所以，

由等比数列的定义可知：数列是以为公比，以为首项的等比数列，

所以，即，-------------5分

（2）由题意得，

，   ，

两式相减得：，即-----9分

所以数列单调递减，，

则，要使对任意恒成立，只需，

所以使恒成立的最小的整数为．-----12分

21.【详解】（1）由题意，函数

.

即的解析式为.-------------------------4分

（2）由（1）知，所以函数的最小正周期为，

因为，则，

所以当，即时，函数取得最小值，最小值为；

当，即时，函数取得最大值，最大值为，

即函数的最小值为，最大值为.--------------8分

（3）把图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，

再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得，

则函数，---------------10分

令，即，即，解得或，

要使得函数区间上至少有个零点，则只需，

即实数的最小值为（或写作）.---------12分

22.【详解】（1）由，，得，

当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，

所以当时，取得最大值，即.--------------3分

（2）对，总存在使得成立，等价于存在使得成立，由（1）可知，问题转化为存在，使得，

，，当时，

①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意；

②当时，，使得，

若，；若时，，即当，则，使得，符合题意；

③当时，若，，函数单调递增，，则，使得，符合题意；综上可知，所求实数的取值范围是---------------8分

另解：存在，使得，即，则，

设，设，

当，单调递减，，，单调递减，

而，则当时，

所以要使存在，使得，只需即可，

故所求实数的取值范围是.-------------8分（注：答案为扣1分）

（3）由（2）可得当时,若，，令，，有；------------------9分

再由（1）可得：，则，

即，也即，∴，------------10分

.------------11分

则

所以.--------------------------------12分