湖北省石首市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题含答案

石首市2021——2022学年度上学期期中考试

高中二年级数学试题

 考试时间：120分钟     值分 :150分     

注意事项：

1.本试卷分为试题卷和答题卡， 答题前请先将自己的姓名、 学校、 班级填写在答题卡上对应的位置。

2.选择题的答案请用 2B 铅笔以正确的填涂方式填写在答题卡上对应的位置， 非选择题请将答案填写在相应的答题栏内， 写在试题卷上的答案无效。

第I卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意．

1. 已知向量， 如果 ，那么等于（    ）

A． B．1 C． D．5

2. 过点且垂直于直线的直线方程为（    ）

A. B.  C.  D.

3. 两平行直线和间的距离是（    ）

A． B． C． D．

4. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=3，则A1C的长为（    ）

A.   B.

C.      D.

5. 如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A．           B．

C．   D．

6. 已知直线：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A作圆C的一条切线，切点为B，则＝（    ）

A．2  B．4 C．6 D．2

7. 已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（    ）

A．  B．2  C．  D．4

8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（    ）

A.       B.

C.       D.

二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，每小题至少有两个选项符合题意，全对得5分，漏选得2分，选错不得分．

9. 已知正方体，则下列各式运算结果是的为（    ）.

A．           B．  

C．           D．

10．对于直线，下列说法正确的是（    ）

A．直线恒过定点      

B．直线斜率必定存在

C．时直线的倾斜角为 

D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为

11．已知，，圆，则以下选项正确的有（    ）

A．圆C上到B的距离为2的点有两个     

B．圆C上任意一点P都满足

C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为

D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为

12. 如图，菱形边长为，，为边的中点．将沿折起，使到，且平面平面，连接，．

则下列结论中正确的是（    ）

A． B．四面体的外接球表面积为

C．与所成角的余弦值为    D．直线与平面所成角的正弦值为

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量,,，则______

14．已知直线，直线，若，则实数______．

15．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，高为1，则点D到平面ACD1的距离是_____．

16．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知△ABC的顶点A(-2.0)、B（2，4），其欧拉线的方程为x-y=0，则△ABC的外接圆方程为______.

四、解答题：本题包括6小题。共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知三个顶点的坐标分别为

（1）求边中线所在直线的方程；

（2）求的面积.

18.（本小题满分12分）已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.

(1) 若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;

(2) 在(1)的条件下,若直线l过点(2,1),且与圆C2的相交弦长为2,求直线l的方程.

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为1，，为等边三角形.

（1）求证：平面；

（2）若M为棱的中点，求直线与平面所成角 的正弦值.

20．（本小题满分12分）

（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；

（2）设直线l的方程为，若，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求面积取最小值时，直线l的方程．

21. （本小题满分12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．

（1）证明：

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的余弦值最大？

22．（本小题满分12分）已知圆的圆心在射线上，截直线所得的弦长为6，且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）已知点N(1,1)，在直线MN上是否存在点Q（异于点N），使得对圆M上的任一点，都有为定值λ？若存在，请求出点Q的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．

高二数学参考答案

1．B   2．D  3．A   4．A  5．A  6．C   7．B    8．B

9．ABC  10．AD   11．BCD    12．BCD

13．9   14.    15．   16.

17．【答案】（1）；（2）.

（1）设边的中点为M，则M点的坐标为，∴.

∴直线的方程为，即，

∴边中线所在直线的方程为.

（2）∵，

∴.

由得直线的方程为，

∴A到直线的距离，

∴.

18.(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),半径r1=1,由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,

则C2(3,0),半径r2=(m<9).∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,∴3=1+,解得m=5.(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,

则C2(3,0),r2=2.由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,

当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;

当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),

化为一般形式为kx-y-2k+1=0,则圆心(3,0)到直线l的距离d==1,

解得k=0,得直线方程为y=1.综上,直线l的方程为x-2=0或y-1=0.

19．（1），则，

取中点为H，连接，，∵为等边三角形，∴，，

又，，∴面，∴，H为中点，∴，

∴，∴，同理由，得，又，∴平面.

（2）底面是是正方形，由（1）可知，，两两垂直，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则有B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),D(0,1,0),M(0,0,)

设平面的法向量为，∵，,

则有：, ∴,又有

设直线与平面所成角为,∴.

20．【答案】（1）x＋y－1＝0或3x＋4y＝0；（2）x＋y－2＝0.

（1）设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b.

①当时，设l的方程为＋＝1，∵点在直线上，∴＋＝1，

因为直线l在两坐标轴上截距相等，

a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0；

②当时，直线过原点，且过点，∴直线的方程为3x＋4y＝0.

综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.

（2）易求M，，∵，

∴S△OMN＝＝＝≥2，

当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．

故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.

21. 【解答】（1）证明：连接，

，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，

，，

，，

，，

，即，

（2）解：故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，

设，则，0，，

平面，平面的一个法向量为，0，，

，1，，，1，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，，，，

，，

当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，

故当时，面与面所成的二面角的余弦值最大．

22．（1）圆的圆心在射线上,

设圆心为,圆心到直线的距离为,又圆与直线相切,

,圆截直线所得的弦长为6,

,则,即,,解得或（舍）

,圆心为,圆为

（2）存在,为,,假设存在直线上点（异于点）,使得对圆上的任一点,都有为定值,由题,设为,且,,

设为,则,,

则,

整理可得,

在圆上,,即,,

,解得,此时为