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2019年河北省石家庄市藁城区中考数学二模试卷
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这是一份2019年河北省石家庄市藁城区中考数学二模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年河北省石家庄市藁城区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）李老师布置了一道作图作业：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这一条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小张：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（ ）
A．小李 B．小王 C．小赵 D．小张
2．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．92×92＝94
B．95+95＝910
C．201810×201910＝（2018×2019）10
D．
3．（3分）如图是刘涛同学计算的过程，共五步．
其中错误的一步是（ ）
A．第二步 B．第三步 C．第四步 D．第五步
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．﹣1的倒数是它本身 B．﹣2的绝对值是2
C．的相反数是 D．5的平方根是
5．（3分）若方程x2﹣3x﹣k＝0有实数根，则常数k的值可以是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣1
6．（3分）我国是最早认识方程组的国家．比欧洲早一千多年，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹表示方程组和解方程组的问题，下面的表示的是方程组，那么算筹所表示的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若a、b是两个连续整数，且，则（a+b）2﹣（a﹣b）0＝（ ）
A．17 B．19 C．80 D．82
8．（3分）如表是书法小组某次测验的成绩统计表．则成绩的众数是（ ）
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
4
3
2
1
A．1 B．4 C．7 D．8
9．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝60°，OB＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，计划先向北偏东30°的方向航行10千米到A处，然后右转40°再航行10千米到B处，若渔船直接从P处航行到B处，航行的路线应该是（ ）
A．北偏东10° B．北偏东40° C．北偏东50° D．北偏东70°
11．（2分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，则图中与阴影三角形相似的三角形是（ ）
A．A B．B C．C D．D
12．（2分）如图1是李老师在△ABC上经过再次尺规作图得到的图形，对于图2，下列结论不正确的是（ ）
A．ED⊥AC B．AE＝EC C．EF＝FC D．DF⊥EC
13．（2分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（4，2），直线m是过点B且与y轴平行的直线，△ABC关于直线m对称的三角形为△A'B'C'，则点C'的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（0，2）
14．（2分）如图，只改变正方形ABCD的形状，得到四边形A'B'C'D'，且∠D'A'B'＝60°，则四边形A'B'C'D'与正方形ABCD的面积的比是（ ）
A．1：1 B．2：3 C．：2 D．3：4
15．（2分）如图，正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，LG的延长线与AF交于点P，则∠APG的度数是（ ）
A．141° B．144° C．147° D．150°
16．（2分）将一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）向右依次平移3个单位，得到第2，3，4段抛物线，设这四段抛物线分别为C1，C2，C3，C4，若直线y＝x+b与第四段抛物线C4有唯一公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＝﹣8 B．﹣12≤b＜﹣9
C．b＝﹣8或﹣12≤b＜﹣9 D．﹣12≤b＜﹣8
二、填空题（本大题共3个小题，共12分，17～18每小题3分，19小题每空3分）
17．（3分）如图，实数a、b在数轴上的位置如图，则a﹣b与0的大小关系为a﹣b 0．
18．（3分）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 ．
19．（3分）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝，将扇形AOB在直线l上向右滚动．
（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，这时OO'＝ ．
（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝ ．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）
20．（8分）能够成为直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》，共勾股数的公式为：，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
（1）当m＝5，n＝3时，求这个三角形的面积．
（2）当m＝5+t，n﹣5﹣t时，计算三角形的周长（用含t的代数式表示），并直接写出符合条件的三角形的周长值．
21．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了”古诗词“知识竞赛，由九年级的若干名学生参加选拔赛，从中选出10名优胜者，下面是对参赛学生成绩的不完整统计．
组别
分数段
人数
A
70≤x＜75
6
B
75≤x＜80
6
C
80≤x＜85
8
D
85≤x＜90
7
E
90≤x＜95
8
F
95≤x＜100
a
（1）统计表中，a＝ ，各组人数的中位数是 ，统计图中，C组所在扇形的圆心角是 ；
（2）李明同学得了88分，他说自己在参加选拔赛的同学中属于中等偏上水平，你认为他说的有道理吗？为什么？
（3）选出的10名优胜者中，男生、女生的分布情况如下表．
一班
二班
三班
四班
五班
六班
男生人数
1
1
2
1
0
0
女生人数
1
0
0
2
1
1
若从中任选1名男生和1名女生代表学校参加全区的比赛，请有列表法或画树状图法求男生和女生都出在四班的概率．
22．（8分）如图，在直角坐标系的坐标轴上按如下规律取点：A1在x轴正半轴上，A2在y轴正半轴上，A3在x轴负半轴上，A4在y轴负半轴上，A5在x轴正半轴上，…，且OA1+1＝OA2，OA2+1＝OA3，OA3+1＝OA4…，设A1，A2，A3，A4…，有坐标分别为（a1，0），（0，a2），（a3，0），（0，a4）…，sn＝a1+a2+a3+…+an．
（1）当a1＝1时，求a5的值；
（2）若s7＝1，求a1的值；
（3）当a1＝1时，直接写出用含k（k为正整数）的式子表示x轴负半轴上所取点坐标．
23．（9分）小丽从学校去图书馆，小红沿同一条路从图书馆回学校，她们同时出发，小丽开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30分钟，小红骑自行车回学校，两人离学校的路程y（m）与各自离开出发地的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）小红骑自行车的速度是 米/分钟，小丽从学校到图书馆的平均速度是 米/分钟；
（2）求小丽从学校去图书馆时，y与x之间的函数关系式；
（3）两人出发后多少分钟相遇，相遇地点离图书馆的路程是多少米．（结果保留一位小数）．
24．（10分）如图，直线m，n相交于O，在直线m，n上分别取点A，B，使OA＝OB，分别过点A，B作直线n，m的垂线，垂足分别为C，D，直线AC与BD交于E，设∠AOB＝α（0°＜α＜180°，α≠90°）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）小明说，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上，你认为他说的有道理吗？并说明理由．
（3）连接OE，当△COE与三角板的形状相同时，直接写出α的值．
25．（12分）如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．
（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是 ；点C到直线EF的最大距离是 ．
（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．
（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．
26．（14分）如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）
（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和顶点坐标．
（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．
（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
2019年河北省石家庄市藁城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）李老师布置了一道作图作业：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这一条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小张：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（ ）
A．小李 B．小王 C．小赵 D．小张
【分析】根据三角形的三边的关系：三角形两边之和大于第三边即可得结论．
【解答】解：小赵：3厘米、3厘米、6厘米
3+3＝6，
不符合三角形两边之和大于第三边，
所以小赵的分法不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握三角形三边的关系．
2．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．92×92＝94
B．95+95＝910
C．201810×201910＝（2018×2019）10
D．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及负整数指数幂的定义逐一判断即可．
【解答】解：A.92×92＝94，故选项A计算正确；
B.95+95＝2×95，故选项B计算错误；
C.201810×201910＝（2018×2019）10，故选项C计算正确；
D.，故选项D计算正确．
故选：B．
【点评】本题考查负整数指数幂以及幂的乘方与积的乘方，体现了数学运算的核心素养，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）如图是刘涛同学计算的过程，共五步．
其中错误的一步是（ ）
A．第二步 B．第三步 C．第四步 D．第五步
【分析】根据分式加减法的运算法则解答即可．
【解答】解：错误在第五步，
应该改为：原式＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的减法．解题的关键是掌握分式加减法的运算法则．同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．﹣1的倒数是它本身 B．﹣2的绝对值是2
C．的相反数是 D．5的平方根是
【分析】乘积为1的两个数互为倒数；一个数离开原点的距离是它的绝对值；只有符号不同的两个数互为相反数；如果一个数x的平方等于a，则称x为a的平方根．根据以上基础知识逐项分析即可．
【解答】解：∵﹣1×（﹣1）＝1
∴﹣1的倒数是它本身，故A正确，不符合题意；
∵|﹣2|＝2，
∴﹣2的绝对值是2，故B正确，不符合题意；
∵的相反数是﹣，
∴C正确，不符合题意；
∵＝5，
∴5的平方根是±，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的相关性质及概念，属于基础知识的考查，比较简单．
5．（3分）若方程x2﹣3x﹣k＝0有实数根，则常数k的值可以是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣1
【分析】先根据判别式的意义确定k的范围，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（﹣k）≥0，
解得k≥﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．（3分）我国是最早认识方程组的国家．比欧洲早一千多年，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹表示方程组和解方程组的问题，下面的表示的是方程组，那么算筹所表示的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找出给定的算筹所表示的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找出算筹所表示的方程组是解题的关键．
7．（3分）若a、b是两个连续整数，且，则（a+b）2﹣（a﹣b）0＝（ ）
A．17 B．19 C．80 D．82
【分析】首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b、a﹣b的值，再代入计算可得答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∵a＜+1＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，a﹣b＝﹣1，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）0＝92﹣（﹣1）0＝81﹣1＝80，
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小．解题的关键是能够正确确定a、b的值．
8．（3分）如表是书法小组某次测验的成绩统计表．则成绩的众数是（ ）
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
4
3
2
1
A．1 B．4 C．7 D．8
【分析】根据众数是出现次数最多的一个解答即可．
【解答】解：7出现的次数最多，出现了4次，所以成绩的众数是7．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
9．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝60°，OB＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴阴影部分的面积＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查扇形的面积公式、圆周角定理等知识，解题的关键正确的识别图形；
10．（3分）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，计划先向北偏东30°的方向航行10千米到A处，然后右转40°再航行10千米到B处，若渔船直接从P处航行到B处，航行的路线应该是（ ）
A．北偏东10° B．北偏东40° C．北偏东50° D．北偏东70°
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论．
【解答】解：连接BP，
由题意得，AB＝AP，
∴∠APB＝∠B＝40°＝20°，
∴航行的路线应该是北偏东50°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
11．（2分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，则图中与阴影三角形相似的三角形是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【解答】解：黑色三角形两直角边长分别为2和3，
（A）该直角三角形的两直角边长分别为3和4，且≠，故不能与阴影三角形相似．
（B）该直角三角形的两直角边长分别为4和5，且，故不能与阴影三角形相似．
（C）该直角三角形的两直角边长分别为4和6，且＝，故能与阴影三角形相似．
（D）该三角形的三边长分别为、、，不是直角三角形，故不能与阴影三角形相似．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
12．（2分）如图1是李老师在△ABC上经过再次尺规作图得到的图形，对于图2，下列结论不正确的是（ ）
A．ED⊥AC B．AE＝EC C．EF＝FC D．DF⊥EC
【分析】利用基本作图，图1中作AC的垂直平分线DE，图2中为过D点作CE的垂线，然后根据线段垂直平分线的性质和垂线的定义对各选项进行判断．
【解答】解：图1中作AC的垂直平分线DE，
∴ED⊥AC，EA＝EC，
图2中为过D点作CE的垂线，
∴DF⊥CE．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
13．（2分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（4，2），直线m是过点B且与y轴平行的直线，△ABC关于直线m对称的三角形为△A'B'C'，则点C'的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（0，2）
【分析】分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，进而解答即可．
【解答】解：如图所示：
点C'的坐标为（﹣2，2），
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形﹣对称，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2分）如图，只改变正方形ABCD的形状，得到四边形A'B'C'D'，且∠D'A'B'＝60°，则四边形A'B'C'D'与正方形ABCD的面积的比是（ ）
A．1：1 B．2：3 C．：2 D．3：4
【分析】作D'M⊥A'B'于M，由三角函数定义得出D'M'＝A'D'×sin60°＝A'D'，再求出正方形和菱形的面积，即可得出答案．
【解答】解：作D'M⊥A'B'于M，如图所示：
则sin∠D'A'B'＝，
∴D'M'＝A'D'×sin60°＝A'D'，
∵改变正方形ABCD的形状，得到四边形A'B'C'D'，
∴AB＝A'B'，AD＝A'D'，四边形A'B'C'D'是菱形，
∴菱形A'B'C'D'的面积＝A'B'×D'M＝A'D'×AB，
∵正方形ABCD的面积＝AB2，
∴四边形A'B'C'D'与正方形ABCD的面积的比是：2；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握正方形的性质，求出菱形的高是解题的关键．
15．（2分）如图，正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，LG的延长线与AF交于点P，则∠APG的度数是（ ）
A．141° B．144° C．147° D．150°
【分析】先根据多边形的内角和公式，分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数．
【解答】解：正六边形ABCDEF的每一个内角为：（6﹣2）×180°÷6＝120°，
正五边形CDLGH的每一个内角为：（5﹣2）×180°÷5＝108°，
在六边形ABCDLP中，
∠APG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2
＝720°﹣360°﹣216°
＝144°．
故选：B．
【点评】考查了多边形内角与外角，掌握多边形内角和的计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）是正确解答的关键．
16．（2分）将一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）向右依次平移3个单位，得到第2，3，4段抛物线，设这四段抛物线分别为C1，C2，C3，C4，若直线y＝x+b与第四段抛物线C4有唯一公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＝﹣8 B．﹣12≤b＜﹣9
C．b＝﹣8或﹣12≤b＜﹣9 D．﹣12≤b＜﹣8
【分析】利用抛物线C1的解析式求出A1的坐标为（3，0），然后确定出平移到C4的平移距离，并求出平移后的顶点坐标，然后写出顶点式解析式，进而根据一元二次方程根的情况以及二次函数图象上点的坐标特征即可求得结论．
【解答】解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴点A1（3，0），
由题意得，平移到C4的平移距离为3×3＝9，
∴A3（9，0），A4（12，0），
∵y＝﹣x（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
∴C4的解析式为：y＝﹣x（x﹣3）＝﹣（x﹣﹣9）2+，
∵直线y＝x+b与第四段抛物线C4有唯一公共点，
∴x+b＝﹣（x﹣﹣9）2+，化简x2﹣20x+108+b＝0
∴△＝400﹣4（108+b）＝0，
解得b＝8，
把A3（9，0）代入y＝x+b得0＝9+b，解得b＝﹣9，
把A4（12，0）代入y＝x+b得0＝12+b，解得b＝﹣12，
∴直线y＝x+b与第四段抛物线C4有唯一公共点，则b＝﹣8或﹣12≤b＜﹣9，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移的距离并利用写出C4的顶点式解析式是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本大题共3个小题，共12分，17～18每小题3分，19小题每空3分）
17．（3分）如图，实数a、b在数轴上的位置如图，则a﹣b与0的大小关系为a﹣b ＜ 0．
【分析】根据数轴得到a＜b＜0，根据不等式的性质解答．
【解答】解：由数轴可知，a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是实数的大小比较、数轴，正确理解数轴的概念、不等式的性质是解题的关键．
18．（3分）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 20 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，整理后代入，即可得出答案．
【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1
∴（a+2）2﹣（b﹣2）2＝[（a+2）+（b﹣2）][（a+2）﹣（b﹣2）]＝（a+b）（a﹣b+4）＝4×（1+4）＝20
故答案为：20
【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，能整体代入是解此题的关键．
19．（3分）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝，将扇形AOB在直线l上向右滚动．
（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，这时OO'＝ +2 ．
（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝ ．
【分析】（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，可得OO'等于扇形的周长，根据弧长公式即可求出弧AB的长，进而可得结果．
（2）先求出当扇形与矩形EFGH有公共点时扇形滚动的周数，可得点O′到点E的距离，进而利用勾股定理可得结论．
【解答】（1）∵滚动一周时得到扇形A'O'B'，
∴弧AB的长为：＝，
∴OO'＝+2．
故答案为：+2；
（2）∵OE＝，
∴÷＝5，
∴当扇形与矩形EFGH有公共点时扇形滚动5周，
如图，设此时扇形圆心为O″，
则O″E＝OE﹣OO″＝﹣5（+2）＝，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠OEH＝90°，
在Rt△O″ED中，DE＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，弧长计算，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）
20．（8分）能够成为直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》，共勾股数的公式为：，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
（1）当m＝5，n＝3时，求这个三角形的面积．
（2）当m＝5+t，n﹣5﹣t时，计算三角形的周长（用含t的代数式表示），并直接写出符合条件的三角形的周长值．
【分析】（1）将m＝5，n＝3代入公式计算；
（2）将m＝5+t，n﹣5﹣t代入公式计算，即得出三角形的周长，再根据m＞n＞0，m，n是互质的奇数可推出t＝2，即求出符合条件的三角形的周长值．
【解答】解：（1）当m＝5，n＝3时，
，
∵a＜b＜c，
∴长度为a，b的边是直角边，
这时三角形的面积为：；
（2），
当m＝5+t，n＝5﹣t时，
m+n＝10，
a+b+c＝10（5+t）＝10t+50，
∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数可知，
∴t＝2，
∴a+b+c＝10×2+50＝70，
符合条件的三角形的周长 为70．
【点评】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
21．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了”古诗词“知识竞赛，由九年级的若干名学生参加选拔赛，从中选出10名优胜者，下面是对参赛学生成绩的不完整统计．
组别
分数段
人数
A
70≤x＜75
6
B
75≤x＜80
6
C
80≤x＜85
8
D
85≤x＜90
7
E
90≤x＜95
8
F
95≤x＜100
a
（1）统计表中，a＝ 5 ，各组人数的中位数是 6.5 ，统计图中，C组所在扇形的圆心角是 72° ；
（2）李明同学得了88分，他说自己在参加选拔赛的同学中属于中等偏上水平，你认为他说的有道理吗？为什么？
（3）选出的10名优胜者中，男生、女生的分布情况如下表．
一班
二班
三班
四班
五班
六班
男生人数
1
1
2
1
0
0
女生人数
1
0
0
2
1
1
若从中任选1名男生和1名女生代表学校参加全区的比赛，请有列表法或画树状图法求男生和女生都出在四班的概率．
【分析】（1）先利用A组的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去其它各组的频数得到a的值，接着利用中位数的定义得到各组人数的中位数；然后用360°乘以C组的人数所占的百分比得到C组所在扇形的圆心角；
（2）分析前面三组的人数为20人，占50°，然后利用总人数为40人，可判断88分属于中等偏上水平；
（3）用A，B，C，D，E代表男生，其中四班男生为D，用a，b，c，d，e代表女生，其中b，c为四班女生，画树状图展示所有25种等可能的情况，找出选出的一男一女都来自四班的情况，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）6÷15%＝40，
所以a＝40﹣6﹣6﹣8﹣7﹣8＝5，
各组人数的中位数＝＝6.5；
C组所在扇形的圆心角＝360°×＝72°；
故答案5，6.5，72°；
（2）正确．
理由：参加选拔赛的共有40人，85分以下的有20人，占战0%，而他得了88分，可以说是中等偏上水平；
（3）用A，B，C，D，E代表男生，其中四班男生为D，用a，b，c，d，e代表女生，其中b，c为四班女生，
画树状图为：
共有25种等可能的情况，其中选出的一男一女都来自四班的情况有2种，
故选出的男生和女生都来自四班的概率是．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了中位数．
22．（8分）如图，在直角坐标系的坐标轴上按如下规律取点：A1在x轴正半轴上，A2在y轴正半轴上，A3在x轴负半轴上，A4在y轴负半轴上，A5在x轴正半轴上，…，且OA1+1＝OA2，OA2+1＝OA3，OA3+1＝OA4…，设A1，A2，A3，A4…，有坐标分别为（a1，0），（0，a2），（a3，0），（0，a4）…，sn＝a1+a2+a3+…+an．
（1）当a1＝1时，求a5的值；
（2）若s7＝1，求a1的值；
（3）当a1＝1时，直接写出用含k（k为正整数）的式子表示x轴负半轴上所取点坐标．
【分析】（1）根据题目的已知关系依次计算a2，a3，a4，a5便可；
（2）用a1分别表示a2，a3，a4，a5，a6，a7，进而根据sn＝a1+a2+a3+…+an计算s7，由s7＝1列出a1的方程便可求解；
（3）根据题意得出a3，a7，a11，…，根据规律得a4k﹣1，进而表示出A4k﹣1的坐标．
【解答】解：（1）当a1＝1时，a2＝1+1＝2，
a3＝﹣（2+1）＝﹣3，
a4＝﹣（3+1）＝﹣4，
a5＝4+1＝5；
（2）∵a2＝a1+1，a3＝﹣（a1+2），a4＝﹣（a1+3），a5＝a1+4，a6＝a1+5，a7＝﹣（a1+6），
∴s7＝a1+a2+…+a7＝a1﹣1，
当s7＝1时，则a1﹣1＝1，
∴a1＝2；
（3）∵当a1＝1时，则
a3＝﹣3，
a7＝﹣7，
a11＝﹣11，
…
∴a4k﹣1＝﹣（4k﹣1）＝﹣4k+1
∴A4k﹣1（﹣4k+1，0）．
【点评】本题是点的坐标规律题，关键是根据题目的已知条件，得出数字规律来．
23．（9分）小丽从学校去图书馆，小红沿同一条路从图书馆回学校，她们同时出发，小丽开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30分钟，小红骑自行车回学校，两人离学校的路程y（m）与各自离开出发地的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）小红骑自行车的速度是 400 米/分钟，小丽从学校到图书馆的平均速度是 米/分钟；
（2）求小丽从学校去图书馆时，y与x之间的函数关系式；
（3）两人出发后多少分钟相遇，相遇地点离图书馆的路程是多少米．（结果保留一位小数）．
【分析】（1）由速度＝路程÷时间，可求解；
（2）由待定系数法可求解析式；
（3）由小丽行走的路程+小红行走的路程＝4000米，可求相遇的时间，即可求解．
【解答】解：（1）由图象可得：小红骑自行车的速度＝＝400米/分钟，小丽从学校到图书馆的平均速度＝＝米/分钟；
故答案为：400，；
（2）小丽跑步的速度为200米/分钟，步行的速度是（4000﹣2000）÷（30﹣10）＝100米/分钟，
跑步时y与x之间的函数关系式为y＝200x（0≤x≤10），
设步行时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（10＜x≤30）
解得：
∴y＝100x+1000（10＜x≤30）．
（3）相遇时所用时间：，
∴相遇地点离图书馆的路程是．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数求解析式，理解图象中的每个点的具体含义是本题的关键．
24．（10分）如图，直线m，n相交于O，在直线m，n上分别取点A，B，使OA＝OB，分别过点A，B作直线n，m的垂线，垂足分别为C，D，直线AC与BD交于E，设∠AOB＝α（0°＜α＜180°，α≠90°）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）小明说，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上，你认为他说的有道理吗？并说明理由．
（3）连接OE，当△COE与三角板的形状相同时，直接写出α的值．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠ACO＝∠BOD＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，得到OC＝OD，根据角平分线的性质得到点O在∠E的平分线上，于是得到结论；
（3）如图，连接OE，根据全等三角形的性质得到∠COE＝∠DOE，根据对顶角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：∵分别过点A，B作直线n，m的垂线，
∴∠ACO＝∠BOD＝90°，
在△AOC与△BOD中，OA＝OB，∠AOC＝∠BOD，∠ACO＝∠BOD＝90°，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD；
（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，
∴OC＝OD，
又OC⊥AE，OD⊥BE，
∴点O在∠E的平分线上，
∵△AOC≌△BOD与α是锐角还是钝角没有关系．
因此，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上；
（3）如图，连接OE，
∵∠OCE＝∠ODE＝90°，∠OEC＝∠OED，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（AAS），
∴∠COE＝∠DOE，
当∠COE＝∠DOE＝45°时，
∴α＝∠COD＝90°，
当∠COE＝∠DOE＝60°时，
∴α＝∠COD＝120°，
当∠COE＝∠DOE＝30°时，
∴α＝∠COD＝60°，
综上所述，当△COE与三角板的形状相同时，α的值为90°或60°或120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．（12分）如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．
（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是 2﹣ ；点C到直线EF的最大距离是 ．
（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．
（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．
【分析】（1）先根据垂直平分线的判定定理可得OC垂直平分AB，再由勾股定理分别求得OG，CG的长，则可求得OC的长，如图2，延长CO交EF于点H，当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，利用正弦函数可求得答案；
（2）如图3，当点B在直线OE上时，先判定△OCM∽△OBG，由相似三角形的性质可求得点C到OE的距离；
（3）分别画出BC⊥OE及BC∥OE的示意图，然后利用特殊角的三角函数值可求得点C到OE的距离．
【解答】解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，
∵OA＝OB，AC＝BC，
∴OC垂直平分AB，
∴AG＝AB＝1，
∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝＝＝，
在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝＝＝2，
∴OC＝2﹣；
如图2，延长CO交EF于点H，
当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，
∵OE＝OF，CO⊥EF，
∴CO平分∠EOF，
∵∠EOF＝120°，
∴∠EOH＝∠EOF＝60°，
在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，
∴cos60°＝＝，
∴OH＝，
∴CH＝CO+OH＝，
∴点C到直线EF的最大距离是．
故答案为：2﹣；．
（2）如图3，当点B在直线OE上时，
由OA＝OB，CA＝CB可知，
点O，C都在线段AB的垂直平分线上，
过点C作AB的垂线，垂足为G，
则G为AB中点，直线CG过点O．
∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO
∴△OCM∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝，
∴点C到OE的距离为．
（3）如图4，当BC⊥OE时，设垂足为点M，
∵∠EOF＝120°，
∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，
∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，
∴sin60°＝＝，
∴CM＝CO＝（2﹣）＝﹣；
如图5，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为N，
∵BC∥OE，
∴∠CON＝∠GCB＝30°，
∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，
∴sin30°＝＝，
∴CN＝CO＝（2﹣）＝﹣；
综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为﹣或﹣．
【点评】本题在圆中综合考查了垂直平分线的判定、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质定理、特殊角的三角函数的应用等知识点，属于压轴题，难度较大．
26．（14分）如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）
（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和顶点坐标．
（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．
（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
【分析】（1）根据抛物线过原点和题目中的函数解析式可以求得m的值，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标；
（2）根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少；
（3）根据题意抛物线能把线段AB分成1：2，存在两种情况，求出两种情况下线段AB与抛物线的交点，即可得到当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
【解答】解：（1）当y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1过原点（0，0）时，0＝﹣1﹣m2+2m+1，得m1＝0，m2＝2，
当m1＝0时，y＝﹣（x﹣1）2+1，
当m2＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+1，
由上可得，当m＝0或m＝2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；
（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1，
∴该抛物线的顶点P为（1，﹣m2+2m+1），
当﹣m2+2m+1最大时，△PCD的面积最大，
∵﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2，
∴当m＝1时，﹣m2+2m+1最大为2，
∴y＝﹣（x﹣1）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+2，得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点C的坐标为（1﹣，0），点D的坐标为（1+，0）
∴CD＝（1+）﹣（1﹣）＝2，
∴S△PCD＝＝2，
即m为1时△PCD的面积最大，最大面积是2；
（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位A（2，3﹣n），B（5，3﹣n）
当线段AB分成1：2两部分，则点（3，3﹣n）或（4，3﹣n）在该抛物线解析式上，
把（3，3﹣n）代入抛物线解析式得，
3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+2m+1，
得n＝m2﹣2m+6；
把A（4，3﹣n）代入抛物线解析式，得
3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+2m+1，
得n＝m2﹣2m+11；
∴n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、坐标与图形变换，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
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2019年河北省石家庄市藁城区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）李老师布置了一道作图作业：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这一条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小张：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（ ）
A．小李 B．小王 C．小赵 D．小张
2．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．92×92＝94
B．95+95＝910
C．201810×201910＝（2018×2019）10
D．
3．（3分）如图是刘涛同学计算的过程，共五步．
其中错误的一步是（ ）
A．第二步 B．第三步 C．第四步 D．第五步
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．﹣1的倒数是它本身 B．﹣2的绝对值是2
C．的相反数是 D．5的平方根是
5．（3分）若方程x2﹣3x﹣k＝0有实数根，则常数k的值可以是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣1
6．（3分）我国是最早认识方程组的国家．比欧洲早一千多年，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹表示方程组和解方程组的问题，下面的表示的是方程组，那么算筹所表示的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若a、b是两个连续整数，且，则（a+b）2﹣（a﹣b）0＝（ ）
A．17 B．19 C．80 D．82
8．（3分）如表是书法小组某次测验的成绩统计表．则成绩的众数是（ ）
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
4
3
2
1
A．1 B．4 C．7 D．8
9．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝60°，OB＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，计划先向北偏东30°的方向航行10千米到A处，然后右转40°再航行10千米到B处，若渔船直接从P处航行到B处，航行的路线应该是（ ）
A．北偏东10° B．北偏东40° C．北偏东50° D．北偏东70°
11．（2分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，则图中与阴影三角形相似的三角形是（ ）
A．A B．B C．C D．D
12．（2分）如图1是李老师在△ABC上经过再次尺规作图得到的图形，对于图2，下列结论不正确的是（ ）
A．ED⊥AC B．AE＝EC C．EF＝FC D．DF⊥EC
13．（2分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（4，2），直线m是过点B且与y轴平行的直线，△ABC关于直线m对称的三角形为△A'B'C'，则点C'的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（0，2）
14．（2分）如图，只改变正方形ABCD的形状，得到四边形A'B'C'D'，且∠D'A'B'＝60°，则四边形A'B'C'D'与正方形ABCD的面积的比是（ ）
A．1：1 B．2：3 C．：2 D．3：4
15．（2分）如图，正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，LG的延长线与AF交于点P，则∠APG的度数是（ ）
A．141° B．144° C．147° D．150°
16．（2分）将一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）向右依次平移3个单位，得到第2，3，4段抛物线，设这四段抛物线分别为C1，C2，C3，C4，若直线y＝x+b与第四段抛物线C4有唯一公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＝﹣8 B．﹣12≤b＜﹣9
C．b＝﹣8或﹣12≤b＜﹣9 D．﹣12≤b＜﹣8
二、填空题（本大题共3个小题，共12分，17～18每小题3分，19小题每空3分）
17．（3分）如图，实数a、b在数轴上的位置如图，则a﹣b与0的大小关系为a﹣b 0．
18．（3分）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 ．
19．（3分）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝，将扇形AOB在直线l上向右滚动．
（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，这时OO'＝ ．
（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝ ．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）
20．（8分）能够成为直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》，共勾股数的公式为：，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
（1）当m＝5，n＝3时，求这个三角形的面积．
（2）当m＝5+t，n﹣5﹣t时，计算三角形的周长（用含t的代数式表示），并直接写出符合条件的三角形的周长值．
21．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了”古诗词“知识竞赛，由九年级的若干名学生参加选拔赛，从中选出10名优胜者，下面是对参赛学生成绩的不完整统计．
组别
分数段
人数
A
70≤x＜75
6
B
75≤x＜80
6
C
80≤x＜85
8
D
85≤x＜90
7
E
90≤x＜95
8
F
95≤x＜100
a
（1）统计表中，a＝ ，各组人数的中位数是 ，统计图中，C组所在扇形的圆心角是 ；
（2）李明同学得了88分，他说自己在参加选拔赛的同学中属于中等偏上水平，你认为他说的有道理吗？为什么？
（3）选出的10名优胜者中，男生、女生的分布情况如下表．
一班
二班
三班
四班
五班
六班
男生人数
1
1
2
1
0
0
女生人数
1
0
0
2
1
1
若从中任选1名男生和1名女生代表学校参加全区的比赛，请有列表法或画树状图法求男生和女生都出在四班的概率．
22．（8分）如图，在直角坐标系的坐标轴上按如下规律取点：A1在x轴正半轴上，A2在y轴正半轴上，A3在x轴负半轴上，A4在y轴负半轴上，A5在x轴正半轴上，…，且OA1+1＝OA2，OA2+1＝OA3，OA3+1＝OA4…，设A1，A2，A3，A4…，有坐标分别为（a1，0），（0，a2），（a3，0），（0，a4）…，sn＝a1+a2+a3+…+an．
（1）当a1＝1时，求a5的值；
（2）若s7＝1，求a1的值；
（3）当a1＝1时，直接写出用含k（k为正整数）的式子表示x轴负半轴上所取点坐标．
23．（9分）小丽从学校去图书馆，小红沿同一条路从图书馆回学校，她们同时出发，小丽开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30分钟，小红骑自行车回学校，两人离学校的路程y（m）与各自离开出发地的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）小红骑自行车的速度是 米/分钟，小丽从学校到图书馆的平均速度是 米/分钟；
（2）求小丽从学校去图书馆时，y与x之间的函数关系式；
（3）两人出发后多少分钟相遇，相遇地点离图书馆的路程是多少米．（结果保留一位小数）．
24．（10分）如图，直线m，n相交于O，在直线m，n上分别取点A，B，使OA＝OB，分别过点A，B作直线n，m的垂线，垂足分别为C，D，直线AC与BD交于E，设∠AOB＝α（0°＜α＜180°，α≠90°）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）小明说，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上，你认为他说的有道理吗？并说明理由．
（3）连接OE，当△COE与三角板的形状相同时，直接写出α的值．
25．（12分）如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．
（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是 ；点C到直线EF的最大距离是 ．
（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．
（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．
26．（14分）如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）
（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和顶点坐标．
（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．
（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
2019年河北省石家庄市藁城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）李老师布置了一道作图作业：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这一条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小张：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（ ）
A．小李 B．小王 C．小赵 D．小张
【分析】根据三角形的三边的关系：三角形两边之和大于第三边即可得结论．
【解答】解：小赵：3厘米、3厘米、6厘米
3+3＝6，
不符合三角形两边之和大于第三边，
所以小赵的分法不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握三角形三边的关系．
2．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．92×92＝94
B．95+95＝910
C．201810×201910＝（2018×2019）10
D．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及负整数指数幂的定义逐一判断即可．
【解答】解：A.92×92＝94，故选项A计算正确；
B.95+95＝2×95，故选项B计算错误；
C.201810×201910＝（2018×2019）10，故选项C计算正确；
D.，故选项D计算正确．
故选：B．
【点评】本题考查负整数指数幂以及幂的乘方与积的乘方，体现了数学运算的核心素养，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）如图是刘涛同学计算的过程，共五步．
其中错误的一步是（ ）
A．第二步 B．第三步 C．第四步 D．第五步
【分析】根据分式加减法的运算法则解答即可．
【解答】解：错误在第五步，
应该改为：原式＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的减法．解题的关键是掌握分式加减法的运算法则．同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
4．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．﹣1的倒数是它本身 B．﹣2的绝对值是2
C．的相反数是 D．5的平方根是
【分析】乘积为1的两个数互为倒数；一个数离开原点的距离是它的绝对值；只有符号不同的两个数互为相反数；如果一个数x的平方等于a，则称x为a的平方根．根据以上基础知识逐项分析即可．
【解答】解：∵﹣1×（﹣1）＝1
∴﹣1的倒数是它本身，故A正确，不符合题意；
∵|﹣2|＝2，
∴﹣2的绝对值是2，故B正确，不符合题意；
∵的相反数是﹣，
∴C正确，不符合题意；
∵＝5，
∴5的平方根是±，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的相关性质及概念，属于基础知识的考查，比较简单．
5．（3分）若方程x2﹣3x﹣k＝0有实数根，则常数k的值可以是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣1
【分析】先根据判别式的意义确定k的范围，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（﹣k）≥0，
解得k≥﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．（3分）我国是最早认识方程组的国家．比欧洲早一千多年，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹表示方程组和解方程组的问题，下面的表示的是方程组，那么算筹所表示的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找出给定的算筹所表示的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找出算筹所表示的方程组是解题的关键．
7．（3分）若a、b是两个连续整数，且，则（a+b）2﹣（a﹣b）0＝（ ）
A．17 B．19 C．80 D．82
【分析】首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b、a﹣b的值，再代入计算可得答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∵a＜+1＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，a﹣b＝﹣1，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）0＝92﹣（﹣1）0＝81﹣1＝80，
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小．解题的关键是能够正确确定a、b的值．
8．（3分）如表是书法小组某次测验的成绩统计表．则成绩的众数是（ ）
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
4
3
2
1
A．1 B．4 C．7 D．8
【分析】根据众数是出现次数最多的一个解答即可．
【解答】解：7出现的次数最多，出现了4次，所以成绩的众数是7．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
9．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝60°，OB＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴阴影部分的面积＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查扇形的面积公式、圆周角定理等知识，解题的关键正确的识别图形；
10．（3分）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，计划先向北偏东30°的方向航行10千米到A处，然后右转40°再航行10千米到B处，若渔船直接从P处航行到B处，航行的路线应该是（ ）
A．北偏东10° B．北偏东40° C．北偏东50° D．北偏东70°
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论．
【解答】解：连接BP，
由题意得，AB＝AP，
∴∠APB＝∠B＝40°＝20°，
∴航行的路线应该是北偏东50°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
11．（2分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，则图中与阴影三角形相似的三角形是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【解答】解：黑色三角形两直角边长分别为2和3，
（A）该直角三角形的两直角边长分别为3和4，且≠，故不能与阴影三角形相似．
（B）该直角三角形的两直角边长分别为4和5，且，故不能与阴影三角形相似．
（C）该直角三角形的两直角边长分别为4和6，且＝，故能与阴影三角形相似．
（D）该三角形的三边长分别为、、，不是直角三角形，故不能与阴影三角形相似．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
12．（2分）如图1是李老师在△ABC上经过再次尺规作图得到的图形，对于图2，下列结论不正确的是（ ）
A．ED⊥AC B．AE＝EC C．EF＝FC D．DF⊥EC
【分析】利用基本作图，图1中作AC的垂直平分线DE，图2中为过D点作CE的垂线，然后根据线段垂直平分线的性质和垂线的定义对各选项进行判断．
【解答】解：图1中作AC的垂直平分线DE，
∴ED⊥AC，EA＝EC，
图2中为过D点作CE的垂线，
∴DF⊥CE．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
13．（2分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（4，2），直线m是过点B且与y轴平行的直线，△ABC关于直线m对称的三角形为△A'B'C'，则点C'的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（0，2）
【分析】分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，进而解答即可．
【解答】解：如图所示：
点C'的坐标为（﹣2，2），
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形﹣对称，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2分）如图，只改变正方形ABCD的形状，得到四边形A'B'C'D'，且∠D'A'B'＝60°，则四边形A'B'C'D'与正方形ABCD的面积的比是（ ）
A．1：1 B．2：3 C．：2 D．3：4
【分析】作D'M⊥A'B'于M，由三角函数定义得出D'M'＝A'D'×sin60°＝A'D'，再求出正方形和菱形的面积，即可得出答案．
【解答】解：作D'M⊥A'B'于M，如图所示：
则sin∠D'A'B'＝，
∴D'M'＝A'D'×sin60°＝A'D'，
∵改变正方形ABCD的形状，得到四边形A'B'C'D'，
∴AB＝A'B'，AD＝A'D'，四边形A'B'C'D'是菱形，
∴菱形A'B'C'D'的面积＝A'B'×D'M＝A'D'×AB，
∵正方形ABCD的面积＝AB2，
∴四边形A'B'C'D'与正方形ABCD的面积的比是：2；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握正方形的性质，求出菱形的高是解题的关键．
15．（2分）如图，正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，LG的延长线与AF交于点P，则∠APG的度数是（ ）
A．141° B．144° C．147° D．150°
【分析】先根据多边形的内角和公式，分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数．
【解答】解：正六边形ABCDEF的每一个内角为：（6﹣2）×180°÷6＝120°，
正五边形CDLGH的每一个内角为：（5﹣2）×180°÷5＝108°，
在六边形ABCDLP中，
∠APG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2
＝720°﹣360°﹣216°
＝144°．
故选：B．
【点评】考查了多边形内角与外角，掌握多边形内角和的计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）是正确解答的关键．
16．（2分）将一段抛物线y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）向右依次平移3个单位，得到第2，3，4段抛物线，设这四段抛物线分别为C1，C2，C3，C4，若直线y＝x+b与第四段抛物线C4有唯一公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＝﹣8 B．﹣12≤b＜﹣9
C．b＝﹣8或﹣12≤b＜﹣9 D．﹣12≤b＜﹣8
【分析】利用抛物线C1的解析式求出A1的坐标为（3，0），然后确定出平移到C4的平移距离，并求出平移后的顶点坐标，然后写出顶点式解析式，进而根据一元二次方程根的情况以及二次函数图象上点的坐标特征即可求得结论．
【解答】解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴点A1（3，0），
由题意得，平移到C4的平移距离为3×3＝9，
∴A3（9，0），A4（12，0），
∵y＝﹣x（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
∴C4的解析式为：y＝﹣x（x﹣3）＝﹣（x﹣﹣9）2+，
∵直线y＝x+b与第四段抛物线C4有唯一公共点，
∴x+b＝﹣（x﹣﹣9）2+，化简x2﹣20x+108+b＝0
∴△＝400﹣4（108+b）＝0，
解得b＝8，
把A3（9，0）代入y＝x+b得0＝9+b，解得b＝﹣9，
把A4（12，0）代入y＝x+b得0＝12+b，解得b＝﹣12，
∴直线y＝x+b与第四段抛物线C4有唯一公共点，则b＝﹣8或﹣12≤b＜﹣9，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移的距离并利用写出C4的顶点式解析式是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本大题共3个小题，共12分，17～18每小题3分，19小题每空3分）
17．（3分）如图，实数a、b在数轴上的位置如图，则a﹣b与0的大小关系为a﹣b ＜ 0．
【分析】根据数轴得到a＜b＜0，根据不等式的性质解答．
【解答】解：由数轴可知，a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是实数的大小比较、数轴，正确理解数轴的概念、不等式的性质是解题的关键．
18．（3分）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 20 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，整理后代入，即可得出答案．
【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1
∴（a+2）2﹣（b﹣2）2＝[（a+2）+（b﹣2）][（a+2）﹣（b﹣2）]＝（a+b）（a﹣b+4）＝4×（1+4）＝20
故答案为：20
【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，能整体代入是解此题的关键．
19．（3分）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝，将扇形AOB在直线l上向右滚动．
（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，这时OO'＝ +2 ．
（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝ ．
【分析】（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，可得OO'等于扇形的周长，根据弧长公式即可求出弧AB的长，进而可得结果．
（2）先求出当扇形与矩形EFGH有公共点时扇形滚动的周数，可得点O′到点E的距离，进而利用勾股定理可得结论．
【解答】（1）∵滚动一周时得到扇形A'O'B'，
∴弧AB的长为：＝，
∴OO'＝+2．
故答案为：+2；
（2）∵OE＝，
∴÷＝5，
∴当扇形与矩形EFGH有公共点时扇形滚动5周，
如图，设此时扇形圆心为O″，
则O″E＝OE﹣OO″＝﹣5（+2）＝，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠OEH＝90°，
在Rt△O″ED中，DE＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，弧长计算，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）
20．（8分）能够成为直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》，共勾股数的公式为：，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
（1）当m＝5，n＝3时，求这个三角形的面积．
（2）当m＝5+t，n﹣5﹣t时，计算三角形的周长（用含t的代数式表示），并直接写出符合条件的三角形的周长值．
【分析】（1）将m＝5，n＝3代入公式计算；
（2）将m＝5+t，n﹣5﹣t代入公式计算，即得出三角形的周长，再根据m＞n＞0，m，n是互质的奇数可推出t＝2，即求出符合条件的三角形的周长值．
【解答】解：（1）当m＝5，n＝3时，
，
∵a＜b＜c，
∴长度为a，b的边是直角边，
这时三角形的面积为：；
（2），
当m＝5+t，n＝5﹣t时，
m+n＝10，
a+b+c＝10（5+t）＝10t+50，
∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数可知，
∴t＝2，
∴a+b+c＝10×2+50＝70，
符合条件的三角形的周长 为70．
【点评】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
21．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了”古诗词“知识竞赛，由九年级的若干名学生参加选拔赛，从中选出10名优胜者，下面是对参赛学生成绩的不完整统计．
组别
分数段
人数
A
70≤x＜75
6
B
75≤x＜80
6
C
80≤x＜85
8
D
85≤x＜90
7
E
90≤x＜95
8
F
95≤x＜100
a
（1）统计表中，a＝ 5 ，各组人数的中位数是 6.5 ，统计图中，C组所在扇形的圆心角是 72° ；
（2）李明同学得了88分，他说自己在参加选拔赛的同学中属于中等偏上水平，你认为他说的有道理吗？为什么？
（3）选出的10名优胜者中，男生、女生的分布情况如下表．
一班
二班
三班
四班
五班
六班
男生人数
1
1
2
1
0
0
女生人数
1
0
0
2
1
1
若从中任选1名男生和1名女生代表学校参加全区的比赛，请有列表法或画树状图法求男生和女生都出在四班的概率．
【分析】（1）先利用A组的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去其它各组的频数得到a的值，接着利用中位数的定义得到各组人数的中位数；然后用360°乘以C组的人数所占的百分比得到C组所在扇形的圆心角；
（2）分析前面三组的人数为20人，占50°，然后利用总人数为40人，可判断88分属于中等偏上水平；
（3）用A，B，C，D，E代表男生，其中四班男生为D，用a，b，c，d，e代表女生，其中b，c为四班女生，画树状图展示所有25种等可能的情况，找出选出的一男一女都来自四班的情况，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）6÷15%＝40，
所以a＝40﹣6﹣6﹣8﹣7﹣8＝5，
各组人数的中位数＝＝6.5；
C组所在扇形的圆心角＝360°×＝72°；
故答案5，6.5，72°；
（2）正确．
理由：参加选拔赛的共有40人，85分以下的有20人，占战0%，而他得了88分，可以说是中等偏上水平；
（3）用A，B，C，D，E代表男生，其中四班男生为D，用a，b，c，d，e代表女生，其中b，c为四班女生，
画树状图为：
共有25种等可能的情况，其中选出的一男一女都来自四班的情况有2种，
故选出的男生和女生都来自四班的概率是．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了中位数．
22．（8分）如图，在直角坐标系的坐标轴上按如下规律取点：A1在x轴正半轴上，A2在y轴正半轴上，A3在x轴负半轴上，A4在y轴负半轴上，A5在x轴正半轴上，…，且OA1+1＝OA2，OA2+1＝OA3，OA3+1＝OA4…，设A1，A2，A3，A4…，有坐标分别为（a1，0），（0，a2），（a3，0），（0，a4）…，sn＝a1+a2+a3+…+an．
（1）当a1＝1时，求a5的值；
（2）若s7＝1，求a1的值；
（3）当a1＝1时，直接写出用含k（k为正整数）的式子表示x轴负半轴上所取点坐标．
【分析】（1）根据题目的已知关系依次计算a2，a3，a4，a5便可；
（2）用a1分别表示a2，a3，a4，a5，a6，a7，进而根据sn＝a1+a2+a3+…+an计算s7，由s7＝1列出a1的方程便可求解；
（3）根据题意得出a3，a7，a11，…，根据规律得a4k﹣1，进而表示出A4k﹣1的坐标．
【解答】解：（1）当a1＝1时，a2＝1+1＝2，
a3＝﹣（2+1）＝﹣3，
a4＝﹣（3+1）＝﹣4，
a5＝4+1＝5；
（2）∵a2＝a1+1，a3＝﹣（a1+2），a4＝﹣（a1+3），a5＝a1+4，a6＝a1+5，a7＝﹣（a1+6），
∴s7＝a1+a2+…+a7＝a1﹣1，
当s7＝1时，则a1﹣1＝1，
∴a1＝2；
（3）∵当a1＝1时，则
a3＝﹣3，
a7＝﹣7，
a11＝﹣11，
…
∴a4k﹣1＝﹣（4k﹣1）＝﹣4k+1
∴A4k﹣1（﹣4k+1，0）．
【点评】本题是点的坐标规律题，关键是根据题目的已知条件，得出数字规律来．
23．（9分）小丽从学校去图书馆，小红沿同一条路从图书馆回学校，她们同时出发，小丽开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30分钟，小红骑自行车回学校，两人离学校的路程y（m）与各自离开出发地的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）小红骑自行车的速度是 400 米/分钟，小丽从学校到图书馆的平均速度是 米/分钟；
（2）求小丽从学校去图书馆时，y与x之间的函数关系式；
（3）两人出发后多少分钟相遇，相遇地点离图书馆的路程是多少米．（结果保留一位小数）．
【分析】（1）由速度＝路程÷时间，可求解；
（2）由待定系数法可求解析式；
（3）由小丽行走的路程+小红行走的路程＝4000米，可求相遇的时间，即可求解．
【解答】解：（1）由图象可得：小红骑自行车的速度＝＝400米/分钟，小丽从学校到图书馆的平均速度＝＝米/分钟；
故答案为：400，；
（2）小丽跑步的速度为200米/分钟，步行的速度是（4000﹣2000）÷（30﹣10）＝100米/分钟，
跑步时y与x之间的函数关系式为y＝200x（0≤x≤10），
设步行时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（10＜x≤30）
解得：
∴y＝100x+1000（10＜x≤30）．
（3）相遇时所用时间：，
∴相遇地点离图书馆的路程是．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数求解析式，理解图象中的每个点的具体含义是本题的关键．
24．（10分）如图，直线m，n相交于O，在直线m，n上分别取点A，B，使OA＝OB，分别过点A，B作直线n，m的垂线，垂足分别为C，D，直线AC与BD交于E，设∠AOB＝α（0°＜α＜180°，α≠90°）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）小明说，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上，你认为他说的有道理吗？并说明理由．
（3）连接OE，当△COE与三角板的形状相同时，直接写出α的值．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠ACO＝∠BOD＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，得到OC＝OD，根据角平分线的性质得到点O在∠E的平分线上，于是得到结论；
（3）如图，连接OE，根据全等三角形的性质得到∠COE＝∠DOE，根据对顶角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：∵分别过点A，B作直线n，m的垂线，
∴∠ACO＝∠BOD＝90°，
在△AOC与△BOD中，OA＝OB，∠AOC＝∠BOD，∠ACO＝∠BOD＝90°，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD；
（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，
∴OC＝OD，
又OC⊥AE，OD⊥BE，
∴点O在∠E的平分线上，
∵△AOC≌△BOD与α是锐角还是钝角没有关系．
因此，不论α是锐角还是钝角，点O都在∠E的平分线上；
（3）如图，连接OE，
∵∠OCE＝∠ODE＝90°，∠OEC＝∠OED，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（AAS），
∴∠COE＝∠DOE，
当∠COE＝∠DOE＝45°时，
∴α＝∠COD＝90°，
当∠COE＝∠DOE＝60°时，
∴α＝∠COD＝120°，
当∠COE＝∠DOE＝30°时，
∴α＝∠COD＝60°，
综上所述，当△COE与三角板的形状相同时，α的值为90°或60°或120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．（12分）如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．
（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是 2﹣ ；点C到直线EF的最大距离是 ．
（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．
（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．
【分析】（1）先根据垂直平分线的判定定理可得OC垂直平分AB，再由勾股定理分别求得OG，CG的长，则可求得OC的长，如图2，延长CO交EF于点H，当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，利用正弦函数可求得答案；
（2）如图3，当点B在直线OE上时，先判定△OCM∽△OBG，由相似三角形的性质可求得点C到OE的距离；
（3）分别画出BC⊥OE及BC∥OE的示意图，然后利用特殊角的三角函数值可求得点C到OE的距离．
【解答】解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，
∵OA＝OB，AC＝BC，
∴OC垂直平分AB，
∴AG＝AB＝1，
∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝＝＝，
在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝＝＝2，
∴OC＝2﹣；
如图2，延长CO交EF于点H，
当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，
∵OE＝OF，CO⊥EF，
∴CO平分∠EOF，
∵∠EOF＝120°，
∴∠EOH＝∠EOF＝60°，
在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，
∴cos60°＝＝，
∴OH＝，
∴CH＝CO+OH＝，
∴点C到直线EF的最大距离是．
故答案为：2﹣；．
（2）如图3，当点B在直线OE上时，
由OA＝OB，CA＝CB可知，
点O，C都在线段AB的垂直平分线上，
过点C作AB的垂线，垂足为G，
则G为AB中点，直线CG过点O．
∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO
∴△OCM∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝，
∴点C到OE的距离为．
（3）如图4，当BC⊥OE时，设垂足为点M，
∵∠EOF＝120°，
∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，
∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，
∴sin60°＝＝，
∴CM＝CO＝（2﹣）＝﹣；
如图5，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为N，
∵BC∥OE，
∴∠CON＝∠GCB＝30°，
∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，
∴sin30°＝＝，
∴CN＝CO＝（2﹣）＝﹣；
综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为﹣或﹣．
【点评】本题在圆中综合考查了垂直平分线的判定、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质定理、特殊角的三角函数的应用等知识点，属于压轴题，难度较大．
26．（14分）如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）
（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和顶点坐标．
（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．
（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
【分析】（1）根据抛物线过原点和题目中的函数解析式可以求得m的值，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标；
（2）根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少；
（3）根据题意抛物线能把线段AB分成1：2，存在两种情况，求出两种情况下线段AB与抛物线的交点，即可得到当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
【解答】解：（1）当y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1过原点（0，0）时，0＝﹣1﹣m2+2m+1，得m1＝0，m2＝2，
当m1＝0时，y＝﹣（x﹣1）2+1，
当m2＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+1，
由上可得，当m＝0或m＝2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；
（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1，
∴该抛物线的顶点P为（1，﹣m2+2m+1），
当﹣m2+2m+1最大时，△PCD的面积最大，
∵﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2，
∴当m＝1时，﹣m2+2m+1最大为2，
∴y＝﹣（x﹣1）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+2，得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点C的坐标为（1﹣，0），点D的坐标为（1+，0）
∴CD＝（1+）﹣（1﹣）＝2，
∴S△PCD＝＝2，
即m为1时△PCD的面积最大，最大面积是2；
（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位A（2，3﹣n），B（5，3﹣n）
当线段AB分成1：2两部分，则点（3，3﹣n）或（4，3﹣n）在该抛物线解析式上，
把（3，3﹣n）代入抛物线解析式得，
3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+2m+1，
得n＝m2﹣2m+6；
把A（4，3﹣n）代入抛物线解析式，得
3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+2m+1，
得n＝m2﹣2m+11；
∴n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、坐标与图形变换，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
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日期：2021/3/21 14:59:56；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971
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