2021届福建省福州市闽江口联盟校高三上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2021届福建省福州市闽江口联盟校高三上学期期中联考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届福建省福州市闽江口联盟校高三上学期期中联考数学试题  一、单选题1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】先求出集合A，再求出交集．【详解】由题意得，，则．故选A．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．2．若：，，则（    ）A．：， B．：，C．：， D．：，【答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得结果.【详解】由于全称命题的否定为特称命题，即，的否定为，，故选：B.3．(2015新课标全国Ⅰ理科)=A． B．C． D．【答案】D【详解】原式= ==，故选D.【解析】本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 4．在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【详解】由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列，等差数列中，首项与第三十项分别为（尺），故选C.5．设，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.6．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7．函数的大致图象是A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；当时，，可排除D选项；当时，，当时，，即，可排除C选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．8．已知函数是定义在R上的奇函数，且若则A． B．9C． D．0【答案】A【分析】由函数的奇偶性可知f（﹣x）＝﹣f（x），将f（1+x）＝f（1﹣x）变形可得f（﹣x）＝f（2+x），综合分析可得f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝﹣f（1），即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选A．【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，奇偶性，关键是分析函数f（x）的周期性，是中档题. 二、多选题9．下列叙述不正确的是（　　）A．的解是B．“”是“”的充要条件C．已知，则“”是“”的充分不必要条件D．函数的最小值是【答案】AD【分析】直接利用不等式的解法，充分条件和必要条件，一元二次不等式的解法，对勾函数的性质判定的结论.【详解】对于A，，整理得，转化为，解得或， 故不等式的解集为{或}，故A不正确；对于B，当时，恒成立，当时，，解得，即“”是“”的充要条件，故B正确；对于C：不等式，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D，函数，设，所以，根据对勾函数的性质，由于函数在上单调递增，所以函数，故D不正确；故选：AD.10．已知曲线，则下面结论正确的是（    ）A．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线D．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线【答案】AC【分析】通过三角函数图象变换的知识，判断出正确选项.【详解】由变换到，若先伸缩后平移，则把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若先平移后伸缩，则把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线.所以正确的选项为AC故选：AC【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.11．等差数列的前n项和记为，若，，则（　　）A． B．C． D．当且仅当时【答案】BC【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式分别分析各选项即可判断.【详解】∵等差数列的前n项和记为，若，，∴，解得，∵，∴，故A错误；，故B正确；，由等差数列的性质可知，当时，取得最大值，故，C正确；当时，，D错误；故选：BC.12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有2个零点；③的解集为；④，都有.其中所有正确结论的编号是（　　）A．① B．② C．③ D．④【答案】CD【分析】设，则，利用函数的奇偶性即可判断①；可看出，1，0都是的零点，即可判断②；直接解不等式可判断③；根据导数符号可判断的单调性，根据单调性即可求出的值域，即可判断④.【详解】是定义在R上的奇函数，设，则，则，所以，故①错误；因为，，又，所以有3个零，故②错误；当时，由，得，得，当时，由，得，得；所以的解集为，故③正确；当时，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，取的最小值为，且时，，所以，即，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以时，取最大值为，且时，，所以，所以，所以的值域为，所以，，都有，故④正确；故选：CD．  三、填空题13．已知为两个垂直的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则____________．【答案】1【详解】向量与向量垂直，则数量积为0.即14．若实数，则__________.【答案】【分析】直接根据对数的运算性质即可得结果.【详解】因为，所以，故答案为：.15．已函数是奇函数，且，则_____【答案】【分析】设，可得函数为奇函数，求得的值，可得出的值，进而可求得的值.【详解】根据题意，设，则函数为奇函数，所以，由题意可得，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.16．已知函数，则不等式的解集为____【答案】（1，＋∞）【分析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在在R时单调递增，由此可得出关于x 不等式，解之可得不等式的解集.【详解】因为，所以函数为奇函数，又，当时，，所以函数在时单调递增；当时，，所以函数在时单调递增，所以函数在R时单调递增.所以不等式化为，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题. 四、解答题17．已知向量，，，O为坐标原点.（1）若，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求与所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出、的坐标，由垂直向量的坐标关系列出等式求解m；（2）直接利用公式进行求解.【详解】（1）因为，，，所以，，又因为，所以，解得.    （2）由（1）知：，，设，所成的角为则.【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示、向量夹角的求解，属于基础题.18．已知函数的部分图象如图所示.（1）求，和的值；（2）求函数在上的单调递减区间.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦函数的最值求出，由周期求出，再由的函数值求出即可求解.（2）由（1）可知，根据题意只需，解不等式即可.【详解】（1）由题可得，，则，当时，取得最大值，则，所以，又因为，故；（2）由（1）可知，令，则，故的单调递减区间为，则在上的单调递减区间为.【点睛】本题考查了五点求函数解析式、正弦型函数的单调区间，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.19．已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.【详解】（1），，①，，成等比数列，，化简得，②又因为且由①②可得，，.数列的通项公式是（2）由（1）得，所以.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.20．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ）【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB     ①在三角形ABC中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC         ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S△ABCacsinBac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为（2）1． 21．等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或 .（2）.【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．详解：（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．22．设函数.（1）若在点处的切线为，求的值；（2）求的单调区间；（3）若，求证：在时，.【答案】(1) ，,(2) 当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为；（3）见解析．．【详解】（1）∵，∴，又在点的切线的斜率为，∴，∴，∴切点为把切点代入切线方程得：；（2）由（1）知：①当时，在上恒成立，∴在上是单调减函数，②当时，令，解得：，当变化时，随变化情况如下表：当时，单调减，当时，，单单调增，综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为.(3)当时，要证，即证，令，只需证，∵由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数又，，∴，在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，，为减函数当时，，为增函数，所以当时，，又，等号不成立，∴.点睛: 本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，(1)利用导数的几何意义；（2）研究单调性，即研究导函数的正负；（2）：证明恒成立，转化为函数最值问题．