2021年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷

这是一份2021年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷，共27页。

2021年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）﹣2035的绝对值是（　　）
A．﹣2035 B．2035 C．±2035 D．
2．（3分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
3．（3分）下列图形是中心对称图形的有几个？（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：
零件个数（个）
6
7
8
人数（人）
15
22
13
表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（　　）
A．7个，7个 B．7个，6个 C．22个，22个 D．8个，6个
5．（3分）下列运算中，错误的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x2 C．（x2）3＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2
6．（3分）下面命题正确的是（　　）
A．三角形的内心到三个顶点距离相等
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．三角形的外角和为360°
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
7．（3分）如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）

A．m B．5m C．m D．10m
8．（3分）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗2＝的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：
①BP•DQ＝3.6，
②∠QAD＝∠APB，
③∠PCQ＝135°
④BP2+DQ2＝PQ2，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：4a3﹣16a2+16a＝　 　．
12．（3分）端午节是我国传统佳节，小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其他均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣粽子和一个豆沙粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦，小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是　 　．
13．（3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米，那么该建筑物的高度BC约为　 　米．

14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝　 　．

15．（3分）如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），直线OA与双曲线y＝交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y＝交于点C，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为　 　．

三．解答题（共55分）
16．（6分）计算：（π﹣3020）0﹣2cos45°﹣+|1﹣|．
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动．该校随机抽取部分学生，四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图，

根据图中提供的信息．解决下列问题：
（1）此次共调查了　 　名学生；
（2）扇形统计图中．B类所对应的扇形圆心角的大小为　 　度；
（3）请通过计算补全条形统计图；
（4）该校共有1560名学生．估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有多少人？
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．

20．（8分）今年新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19，简称为新冠肺炎）疫情在全球蔓延，我们国家坚决打赢这场无硝烟的人民战争，我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措．复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个毽子共需120元．
（1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
21．（9分）如图，已知△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，连接OC，过点C作CF⊥AD，垂足为F．过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点G．
（1）若∠G＝50°，求∠ACB的度数；
（2）若AB＝AE，求证：∠BAD＝∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2，若，求tan∠CAF的值．

22．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）﹣2035的绝对值是（　　）
A．﹣2035 B．2035 C．±2035 D．
【分析】根据绝对值的定义即可进行求解．
【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴﹣2035的绝对值等于2035．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的运算，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
【解答】解：∵1109万＝11090000，
∴11090000＝1.109×107．
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单．
3．（3分）下列图形是中心对称图形的有几个？（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：从左到右第一、第二、第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：
零件个数（个）
6
7
8
人数（人）
15
22
13
表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（　　）
A．7个，7个 B．7个，6个 C．22个，22个 D．8个，6个
【分析】根据众数和中位数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：由表可知7个出现次数最多，所以众数为7个，
因为共有50个数据，
所以中位数为第25个和第26个数据的平均数，即中位数为7个．
故选：A．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5．（3分）下列运算中，错误的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x2 C．（x2）3＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故本选项符合题意；
B．x2+x2＝2x2，故本选项不合题意；
C．（x2）3＝x6，故本选项不合题意；
D．（﹣3x）2＝9x2，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6．（3分）下面命题正确的是（　　）
A．三角形的内心到三个顶点距离相等
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．三角形的外角和为360°
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据三角形内心、菱形的判定、一元二次方程和三角形外角和判断解答即可．
【解答】解：A、三角形的内心到三条边的距离相等，原命题是假命题，不符合题意；
B、方程x2＝14x的解为x＝14或x＝0，原命题是假命题，不符合题意；
C、三角形的外角和为360°，是真命题；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（3分）如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）

A．m B．5m C．m D．10m
【分析】如图，作CH⊥AB于H，在Rt△CBH中，根据sin45°＝，即可求出CH．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．

在Rt△CBH中，∵∠CHB＝90°，BC＝5m，∠CBH＝45°，
∴sin45°＝，
∴CH＝BC×＝5（m）．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
8．（3分）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗2＝的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【解答】解：已知等式整理得：＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与0的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故本选项正确；
②由对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求出2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
10．（3分）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：
①BP•DQ＝3.6，
②∠QAD＝∠APB，
③∠PCQ＝135°
④BP2+DQ2＝PQ2，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据BM、DN分别是正方形ABCD的两个外角平分线，即可得结论，进而即可判断；
②结合以上结论证明△ABP∽△QDA，对应边成比例即可判断；
③△ABP∽△QDA，对应边成比例，根据正方形的性质可得＝，由∠PBC＝∠CDQ＝45°，可得△PBC∽△CDQ，进而可得结论；
④将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABG，可使AB与AD重合，证明△EAF≌△EAF'（SAS）可得△GBP是直角三角形，最后利用勾股定理可得结论．
【解答】解：∵BM、DN分别是正方形ABCD的两个外角平分线，
∴∠ADQ＝∠ABP＝135°，
∴∠BAP+∠APB＝45°，
∵∠PAQ＝45°，
∵∠QAD+∠BAP＝45°，
∴∠QAD＝∠APB，故②正确；
∴△ABP∽△QDA，
∴＝，
∵正方形ABCD边长为2，
∴BP•DQ＝AD•AB＝4，故①错误；
∵＝，
∴＝，
即＝，
∵∠PBC＝∠CDQ＝45°，
∴△PBC∽△CDQ，
∴∠BCP＝∠DQC，
∴∠PCQ＝360°﹣90°﹣∠DQC﹣∠DCQ，
∵∠DQC+∠DCQ＝180°﹣∠CDQ＝180°﹣45°，
∴∠PCQ＝135°，故③正确；
如图，将△AQD绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，连接GP，AB与GP相交于点H，

∴△ADQ≌△ABG，
∴∠GAB＝∠QAD，AG＝AQ，BG＝DQ，∠AGB＝∠AQD，
∴∠GAP＝∠GAB+∠BAP＝QAD+∠BAP＝∠BAD﹣∠PAQ＝45°，
∴∠GAP＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，
∴△AGP≌△AQP（SAS），
∴GP＝QP，
∵∠PBC＝45°，∠HBC＝90°，
∴∠HBP＝45°，
∴∠GBP＝∠GBH+∠HBP＝∠AGB+∠GAB+45°＝∠AQD+∠QAD+45°，
∵∠AQD+∠QAD＝180°﹣∠ADQ＝180°﹣135°＝45°，
∴∠GBP＝90°，
∴△GBP是直角三角形，
∴BP2+BG2＝GP2，
∴BP2+DQ2＝PQ2，故④正确．
属于其中正确的有②③④，共3个．
故选：C．
【点评】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握翻转变换的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：4a3﹣16a2+16a＝　4a（a﹣2）2　．
【分析】直接提取公因式4a，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：4a3﹣16a2+16a
＝4a(a2﹣4a+4)
＝4a（a﹣2）2．
故答案为：4a（a﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12．（3分）端午节是我国传统佳节，小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其他均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣粽子和一个豆沙粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦，小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是　　．
【分析】根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果，再由树状图可以得到小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．
【解答】解：肉粽记为A、红枣粽子记为B、豆沙粽子记为C，由题意可得，

由树状图可知共有12种可能的结果，其中小悦拿到的两个粽子都是肉馅的情况数为2，
∴小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．
13．（3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米，那么该建筑物的高度BC约为　80　米．

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．
【解答】解：由题意可得：tan30°＝＝＝，
解得：BD＝20（米），
tan60°＝＝＝，
解得：DC＝60（米），
故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝80（米）
故答案为80．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝　2　．

【分析】过O作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过O作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，连接OC，

∵AF平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴OG＝OH＝OM，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6
∴S△ABC＝AC•BC＝×AB•OM+AC•OG+BC•OH，
∴×8×6＝+×8×OG+，
∴OM＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理和角平分线的性质，做题时运用了三角形角平分线的性质及“面积法”解答实际问题的能力．
15．（3分）如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），直线OA与双曲线y＝交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y＝交于点C，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为　﹣3　．

【分析】如图连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F．根据OA∥BC，得到S△OBC＝S△ABC＝6，根据已知条件得到S△OPB＝4，S△OPC＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于F．

∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝6，
∵PB：PC＝2：1，
∴S△OPB＝4，S△OPC＝2，
∵S△OBE＝12＝6，
∴S△PBE＝2，
∵△BEP∽△CFP，
∴S△CFP＝2×＝，
∴S△OCF＝，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共55分）
16．（6分）计算：（π﹣3020）0﹣2cos45°﹣+|1﹣|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×﹣4+﹣1
＝1﹣﹣4+﹣1
＝﹣4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（8分）为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动．该校随机抽取部分学生，四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图，

根据图中提供的信息．解决下列问题：
（1）此次共调查了　60　名学生；
（2）扇形统计图中．B类所对应的扇形圆心角的大小为　150　度；
（3）请通过计算补全条形统计图；
（4）该校共有1560名学生．估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有多少人？
【分析】（1）从两个统计图可知，“A、B、D”频数之和为10+25+10＝45人，占调查人数的（1﹣25%），可求出调查人数；
（2）用360°乘以“B”所占的百分比即可；
（3）求出“C”的频数即可补全条形统计图；
（4）求出“A类”所占的百分比，即可求出总体1560人中最喜欢“A类”的人数．
【解答】解：（1）此次共调查的学生数是：（10+25+10）÷（1﹣25%）＝60（人）．
故答案为：60．

（2）B类所对应的扇形圆心角的大小为：360°×＝150°．
故答案为：150；

（3）C类的人数有：60×25%＝15（人），补全条形统计图如图所示：


（4）1560×＝260（人），
答：该校1560名学生中“很喜欢”的A类的学生有260人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解和掌握两个统计图中的数量关系是正确解答的前提．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．

【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．

（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（8分）今年新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19，简称为新冠肺炎）疫情在全球蔓延，我们国家坚决打赢这场无硝烟的人民战争，我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措．复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个毽子共需120元．
（1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
【分析】（1）设跳绳原来的售价为x元，毽子原来的售价为y元，根据“原来购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个毽子共需120元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购进m根跳绳，则购进（400﹣m）个毽子，根据“购进跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设学校购进跳绳和毽子一共花了w元，根据总价＝单价×数量即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设跳绳原来的售价为x元，毽子原来的售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：跳绳原来的售价为20元，毽子原来的售价为16元．
（2）设学校购进m根跳绳，则购进（400﹣m）个毽子，
依题意得：，
解得：300≤m≤310．
设学校购进跳绳和毽子一共花了w元，则w＝20×0.8m+16×0.75（400﹣m）＝4m+4800，
∵4＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝300时，w取最小值，此时400﹣m＝100．
∴学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳300根，毽子100个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21．（9分）如图，已知△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，连接OC，过点C作CF⊥AD，垂足为F．过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点G．
（1）若∠G＝50°，求∠ACB的度数；
（2）若AB＝AE，求证：∠BAD＝∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2，若，求tan∠CAF的值．

【分析】（1）连接BD，如图，利用切线性质和圆周角定理得到∠ADG＝∠ABD＝90°，再利用等角的余角相等得到∠ADB＝∠G＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数；
（2）连接CD，如图，利用等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，∠ODC＝∠OCD，再利用圆周角定理得到∠ABC＝∠ADC，然后根据三角形内角和可判断∠BAD＝∠DOC；
（3）先证明△ABD∽△OFC得到＝4，设S1＝8x，S2＝9x，则S△ABD＝16x，S△OFC＝4x，S△AOC＝5x，则利用三角形面积公式得到＝＝，则可设OF＝4k，则OA＝5k，利用勾股定理计算出CF，然后根据正切的定义求解．
【解答】（1）解：连接BD，如图，
∵DG为切线，
∴AD⊥DG，
∴∠ADG＝90°，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
而∠GDB+∠G＝90°，∠ADB+∠GDB＝90°，
∴∠ADB＝∠G＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝50°；
（2）证明：连接CD，如图，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠ODC＝∠OCD，
∴∠BAD＝∠COF；
（3）解：∵∠BAD＝∠FOC，∠ABD＝∠OFC，
∴△ABD∽△OFC，
∴＝（）2＝4，
∵，设S1＝8x，S2＝9x，
则S△ABD＝2S1＝16x，
∴S△OFC＝•16x＝4x，
∴S△AOC＝9x﹣4x＝5x，
∵＝＝＝，
∴设OF＝4k，则OA＝5k，
在Rt△OCF中，OC＝5k，
CF＝＝3k，
∴tan∠CAF＝＝＝．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理、垂径定理和相似三角形的性质．
22．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，则可求解析式；
（2）连接PO，设P（n，﹣n2+2n+3），分别求出S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，所以S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，在Rt△CGD中，CG＝DG，所以（t﹣3）＝t2﹣2t+3，求出D（3+3，﹣3），所以AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2＝36，求出m＝3或m＝﹣3，即可求Q．
【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，

由题意，BO＝3，AO＝3，
设P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，

则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．
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