初中数学第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质课文配套课件ppt

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相似三角形对应线段的比相似三角形周长和面积的比
(1)什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.
(2)如何判定两个三角形相似？
①定义；②预备定理(平行)；③三边对应成比例；④两个角对应相等；⑤两边对应成比例，且夹角相等；
相似三角形对应线段的比
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
　　探究： 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 如图，分别作△ABC和 △A′B′C′的对应高AD和A′ D′ .
∵ △ ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠B= ∠B′ .又△ ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ ABD ∽ △A′B′D′.∴类似地，可以证明相似三角形对应中 线的比、对应角平分线的比也等于 k.
　这样，我们得到： 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.
例1 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形 EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩 形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝ 10 cm，求矩形EFGH的周长．
导引：由四边形EFGH为矩形，得EH∥BC，所以△AEH 与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相 似比可求出HG的长，进而求出EH的长，即可求得 矩形EFGH的周长．解：设HG＝x cm，则EH＝2x cm. 易得AP⊥EH. ∵AD＝10 cm，∴AP＝(10－x) cm. ∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC， ∴△AEH ∽ △ABC．∴ 解得x=6．∴HG＝6 cm，EH＝12 cm. ∴矩形EFGH的周长为36 cm.
相似三角形中对应线段的比等于相似比，其中“对应线段”除对应边外，还有对应边上的高、中线，对应角的平分线．
如图，△ABC 与△A′B′C′相似，AD，BE 是 △ABC 的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证
∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的高，∴又BE，B′E′分别是△ABC，△A′B′C′的高，∴ ∴
2 已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个 三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3， 若BD＝4 cm，则B′D′的长是(　　) A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
3 【中考·重庆A卷】若△ABC∽△DEF，相似比 为3∶2，则对应高的比为(　　) A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
相似三角形周长和面积的比
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米(如图)．现在的问题是：它的周长是多少？
解答：将上面生活中的问题转化为数学问题是： 　如图，已知DE∥BC，AB=30 m，BD=18 m，　　　　　　△ABC 的周长为80 m，求△ADE的周长.
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴由比例的性质可得，而△ADE 的周长=AD＋AE＋DE, △ABC的周长=AB＋AC＋BC，∴∴△ADE 的周长=32 m.
　从以上解答过程中可以看出：相似三角形的周长比等于相似比.
例2 已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和 6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个 三角形的周长分别是多少？ 导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边， 由此可确定相似比，进而根据已知条件，解 以一个三角形周长为未知数的方程即可．
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边 AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm. 则 ∴△ABC和△A1B1C1的相似比为 设△ABC的周长为x cm， 则△A1B1C1的周长为(60－x)cm. ∴ ∴△ABC的周长为36 cm，△A1B1C1的周长为24 cm.
解得x＝36，60－x＝24.
相似三角形周长的比等于相似比．在解题时，如果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.
1 (中考•重庆)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则 △ABC与△DEF的周长比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ 30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的 周长之比为(　　) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？如图，由前面的结论，我们有
这样，我们得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
例3　如图，在△ABC和△DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A=∠D． 若△ABC的边BC上的高为6， 面积为 　，求△DEF的边EF 上的高和面积．
解： 在△ABC和△DEF中， ∵ AB = 2DE，AC = 2DF, ∴ 又 ∠D=∠A， ∴ △DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为 ∵△ABC的边BC上的高为6，面积为 ∴△DEF的边EF上的高为 面积为 
利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”解题．警示：不要误认为面积的比等于相似比．
1 判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.　　(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三　　　　　角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（　 ）　　(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三　　　角形的面积也扩大为原来的9倍.　　　（　）
【中考·重庆B卷】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(　　)A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
【中考·南宁】有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1： S2等于(　　 ) A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
【中考·绥化】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是(　　)A．①②③④ B．①④C．②③④ D．①②③
【中考·菏泽】如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝ A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(　　)A．25：9　 B．5：3　 C.　 D．
1、相似三角形对应边成_______，对应角______. 2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、 对应角平分线的比都等于________. 3、相似三角形周长的比等于________， 相似三角形面积的比等于______________.
如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，求AD∶DB.
易错点：忽略相似三角形性质的适用条件.跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面积比得出线段的比，从而得出AD与DB的比．