2021年辽宁省锦州市中考数学试卷

这是一份2021年辽宁省锦州市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
2．（2分）据相关研究，经过40min完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000倍，将数据25000用科学记数法表示为（ ）
A．25×103B．2.5×104C．0.25×105D．0.25×106
3．（2分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：
那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是（ ）
A．18，16.5B．18，7.5C．7，8D．7，7.5
5．（2分）如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
6．（2分）二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A．2B．4C．3D．4
8．（2分）如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2．将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s2甲＝1.2，s2乙＝2.4．如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选 （填“甲”或“乙”）．
11．（3分）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为 ．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为 ．
16．（3分）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An+1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn+1的面积为 （用含有n的式子表示）．
三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）
17．（6分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
18．（8分）教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9h．某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为A，B，C，D四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）：
A组：睡眠时间＜8h
B组：8h≤睡眠时间＜9h
C组：9h≤睡眠时间＜10h
D组：睡眠时间≥10h
如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生有 人；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）请估计全校1200名学生中睡眠时间不足9h的人数．
四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
19．（8分）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．
（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 ；
（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．
20．（8分）小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本．
五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
21．（8分）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
六、解答题（本题共10分）
23．（10分）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）
24．（12分）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．
（1）求抛物线的表达式．
（2）M为抛物线上的动点．
①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；
②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．
2021年辽宁省锦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
【分析】依据相反数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2分）据相关研究，经过40min完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000倍，将数据25000用科学记数法表示为（ ）
A．25×103B．2.5×104C．0.25×105D．0.25×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：将数据25000用科学记数法表示为2.5×104，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
4．（2分）某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：
那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是（ ）
A．18，16.5B．18，7.5C．7，8D．7，7.5
【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可．
【解答】解：由统计表给出的数据可知阅读课外书籍的时间为7小时的有18人，出现的次数最多，所以众数是7，
因为有50个学生，所以第25、26个数的平均数是中位数，又因为25、26个数分别是7，8，所以中位数是7.5．
故选：D．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5．（2分）如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】过C点作CF∥AM，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：过C点作CF∥AM，
∵AM∥BN，
∴AM∥CF∥BN，
∴∠MAC＝∠ACF，∠CBN＝∠FCB，
∵∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，
∴∠CBN＝∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝∠ACB﹣∠MAC＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
6．（2分）二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
把②代入①得：4y+y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：x＝4，
则方程组的解集为．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A．2B．4C．3D．4
【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决．
【解答】解：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6，
∴AB＝BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴＝，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，
∵∠ADB＝∠AGB＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG•BG，
∴9＝（6﹣3x）（6+3x），
∵x＞0，
∴x＝，
∴OE＝2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出△DGE∽△COE是解题的关键．
8．（2分）如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2．将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B到达点G之前，即0＜x＜1时，求出y和x的关系式，确定图象，第二个是点C到达点H之前，即1＜x＜2时，求出y和x的关系式，确定图象，第三个是点C到达点F之前，即2＜x＜3时，求出y和x的关系式，确定图象，即可确定选项．
【解答】解：过点D作DH⊥EF，
∵∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，
∴EH＝2，DH＝EF＝2，
当0＜x＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x，
∴y＝，
∵，
∴该部分图象开口向上，
当1＜x＜2时，如图，
设A'B'与DG交与点N，A'C'与DG交与点M，
则S重叠＝S△GMC'﹣S△GNB'，
设B'K＝a，则NK＝2a，
∵GC'＝x，B'C'＝1，
∴GB'＝x﹣1，
∵△GKN是等腰直角三角形，
∴GK＝NK，
∴x﹣1+a＝2a，
∴a＝x﹣1，
∴NK＝2x﹣2，
∴，
∵，
∴S重叠＝﹣（x2﹣2x+1）＝，
∵，
∴该部分图象开口向下，
当2＜x＜3时，重叠部分的面积为S△ABC，是固定值，
∴该部分图象是平行x轴的线段，
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据每个阶段的情况单独讨论，确定y和x之间的函数关系式，从而确定图象．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【解答】解：根据题意得，2x﹣3≥0，
解得x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数列不等式是解题的关键．
10．（3分）甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s2甲＝1.2，s2乙＝2.4．如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选 甲 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵s2甲＝1.2，s2乙＝2.4，
∴s2甲＜s2乙，
则甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
11．（3分）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为 8 ．
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.4，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．
【解答】解：因为共摸了300次球，发现有120次摸到红球，
所以估计摸到红球的概率为0.4，
所以估计这个口袋中红球的数量为20×0.4＝8（个）．
故答案为8．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1 ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0，
解得k≥﹣1．
故答案为k≥﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 2+2 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
由勾股定理得：DC＝＝＝2，
∴DB＝DC＝2，
∴AB＝AD+DB＝2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出DB＝DC是解题的关键．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ．
【分析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．
【解答】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，
解得CG＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为 18 ．
【分析】过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，根据▱OABC的面积为15表示出BM的长度，根据CD＝2BD求出ND的长，进而表示出A，D两点的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出．
【解答】解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，
设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，
∵▱OABC的面积为15，
∴BM＝，
∴ND＝BM＝，
∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a+2b），
∴•3b＝（a+2b），
∴b＝a，
∴k＝•3b＝•3×a＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义，过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，分别求出A，D两点的坐标是解题的关键．
16．（3分）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An+1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn+1的面积为 （用含有n的式子表示）．
【分析】先证明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又点P1为线段A1B1的中点，从而可得P2为线段A2B2的中点，同理可证P3、P4、⋯Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．结合相似三角形的性质可得△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1：2，所以△P1B1Q1的P1B1上的高为，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为⋯，从而＝﹣，以此类推来求，从而找到的面积规律．
【解答】解：由折叠可知，OA1＝A1A2＝，
又A1B1∥A2B2，
∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，
∴＝＝＝，
又点P1为线段A1B1的中点，
∴A1P1＝P1B1，
∴A2P2＝P2B2，
则点P2为线段A2B2的中点，
同理可证，P3、P4、⋯Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．
∵A1B1∥A2B2，
∴△P1B1Q1∽△P2A2O1，
∴＝＝，
则△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1：2，
∴△P1B1Q1的P1B1上的高为，
同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为⋯，
由折叠可知A2A3＝，A3A4＝，
∵∠MON＝30°，
∴A1B1＝tan30°×OA1＝1，
∴A2B2＝2，A3B3＝4，⋯
∴＝﹣
＝﹣
＝，
同理，＝﹣
＝﹣
＝，
⋯，
＝﹣
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律．
三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）
17．（6分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
【分析】先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后代入求值．
【解答】解：原式＝×
＝×
＝x（x+2）．
把x＝﹣2代入，原式＝（﹣2）（﹣2+2）＝3﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18．（8分）教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9h．某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为A，B，C，D四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）：
A组：睡眠时间＜8h
B组：8h≤睡眠时间＜9h
C组：9h≤睡眠时间＜10h
D组：睡眠时间≥10h
如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生有 200 人；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）请估计全校1200名学生中睡眠时间不足9h的人数．
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生；
（2）根据（1）中的结果可以计算出B组的人数，然后即可补全条形统计图；
（3）根据统计图图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足9h的人数．
【解答】解：（1）本次共调查了90÷45%＝200（人），
故答案为：200；
（2）B组学生有：200﹣20﹣90﹣30＝60（人），
补全的条形统计图如图2所示：
（3）1200×＝480（人），
即估计该校学生平均每天睡眠时间不足9h的有480人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
19．（8分）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．
（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 ；
（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有3种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本．
【分析】设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本，利用时间＝清点图书的总数÷平均每分钟清点图书的数量，结合小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟清点图书数量，再将其代入1.25x中可求出小江平均每分钟清点图书数量．
【解答】解：设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本，
依题意得：﹣＝5，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝1.25×12＝15．
答：小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
21．（8分）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
【解答】解：∵山坡BM的坡度i＝1：3，
∴i＝1：3＝tanM，
∵BC∥MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝＝tanM＝1：3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和坡度坡角定义，求出BC的长是解题的关键．
22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得∠CDE＝∠OBC，再根据等量代换和直角三角形的性质可得∠OCE＝90°，由切线的判定可得结论；
（2）如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠OBC，
∵CE⊥AD，
∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，
∵∠ECD＝∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，
∵∠E＝∠OCE＝90°，
∴四边形OGEC是矩形，
∴OC＝EG，OG＝EC，
设⊙O的半径为x，
Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，
∴EC＝＝2，
∴OG＝2，GD＝x﹣1，OD＝x，
由勾股定理得：OD2＝OG2+DG2，
∴x2＝（2）2+（x﹣1）2，
解得：x＝4.5，
∴⊙O的半径是4.5．
【点评】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是本题的关键．
六、解答题（本题共10分）
23．（10分）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20；
（2）设销售收入为P（万元），
∴P＝（1﹣20%）xy＝（﹣x+20）x＝﹣x2+16x，
∴P与x之间的函数关系式为P＝﹣x2+16x；
（3）设销售总利润为W（万元），
∴W＝P﹣6.2x﹣m＝﹣x2+16x﹣6.2x﹣（50+0.2x），
整理，可得：W＝﹣x2+x﹣50，
W＝﹣（x﹣24）2+65.2，
∵﹣＜0，
∴当x＝24时，W有最大值为65.2，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中销售量，销售价，销售利润之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键．
七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）
24．（12分）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．
（2）①结论：＝．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝，推出点E的运动轨迹是线段BE，利用面积法求出RT，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵α＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．
（2）解：①结论：＝．
如图2中，过点C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝＝，
∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC﹣AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝＝k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AH＝4，CH＝3，BC＝，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴CJ＝，
∴点E的运动轨迹是线段BE，
∵C，R关于BE对称，
∴CR＝2CJ＝，
∵BJ＝＝＝，
∵S△CBR＝•CR•BJ＝•CB•RT，
∴RT＝＝，
∵EC+EH＝ER+EH≥RT，
∴EC+EH≥，
∴EC+EH的最小值为．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点E的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．
（1）求抛物线的表达式．
（2）M为抛物线上的动点．
①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；
②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．
【分析】（1）先由直线解析式求出A，C，D的坐标，再由C，D坐标求出抛物线解析式；
（2）①因为直线BD′与坐标轴平行，所以BD′∥x轴和BD′∥y轴分类讨论，以BD′∥x轴为例，画出草图，由于BM平分∠DBD′，又∠AOB＝∠D′BM，等量代换，可以证得△AOB是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A和D点坐标，求出∠DAO的三角函数值，过B作BH⊥x轴于H，在直角△ABH中，利用AB的长度，和∠BAH的三角函数值，求出AH和BH的长度，得到B点坐标，进一步得到直线OB的解析式，联立直线OB和抛物线解析式，求得交点M点坐标，当BD′∥y轴，用同样的方法解决．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝x+1＝1，
∴C点坐标为（0，1），
令y＝0，则，
∴，
∴A点坐标为（，0），
令x＝6，则y＝，
∴D点坐标为（），
将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：y＝；
（2）①设N（n，0），
∵四边形CDMN为平行四边形，
∴由平移与坐标关系可得M（n+6，），
∵点M在抛物线上，
∴+1＝，
∴n2+9n+4＝0，
∴n＝，
∴点M的坐标为（，）或（，）；
②第一种情况：如图1，当BD′∥x轴时，分别过A，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，
在直角△ADQ中，AQ＝6+＝，DQ＝，
∴tan∠DAQ＝＝，
∴cs∠DAQ＝，
∵∠BAH＝∠DAQ，
∴cs∠BAH＝，
∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，
∴∠DBM＝∠D′BM，
∵BD′∥x轴，
∴∠HOB＝∠D′BM＝∠DBM，
∴AB＝AO＝，
∴，
∴AH＝，
∴OH＝AH+AO＝
令x＝﹣，则y＝＝，
∴B点坐标为（﹣，﹣），
设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，k＝，
∴直线OB的解析式为y＝x，
联立，
解得，，
∴点M的横坐标为3或，
第二种情况，如图2，当BD′∥y轴时，设BD′交x轴于H，
∴∠COB＝∠OBH，
∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，
∴∠CBO＝∠OBH＝∠COB，
∴CB＝CO＝1，
过C作CE⊥BH于E，
∴CE∥x轴，
∴∠BCE＝∠CAO，
∵tan∠CAO＝＝，
∴cs∠CAO＝，
∴cs∠BCE＝＝，
∴CE＝＝，
∴＝，
∵CE⊥BH，BH⊥x轴，
∴∠CEH＝∠BHO＝∠COH＝90°，
∴四边形CEHO为矩形，
∴EH＝CO＝1，CE＝OH＝，
∴BH＝BE+EH＝，
∴点B的坐标为（），
∴直线OB的解析式为y＝2x，
联立，
化简得，x211x+4＝0，
∴，
∵点M在直线CD下方，
∴x＜6，
∴x＝，
∴点M的横坐标为，
即点M的横坐标为3或或．
【点评】本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时，对于“平行线+角平分线”这种条件，要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三角形的能力也有一定要求．
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