提升套餐练05 【新题型】新高考数学多选题与热点解答题组合练（原卷版）+（解析版）

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提升套餐练05一、【多选题提升练】1．下列说法中，正确的命题是（    ）A．已知随机变量服从正态分布，，则．B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．D．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．【答案】BC【解析】因为随机变量服从正态分布，，所以，即A错；，，从而，即B正确；过， ，即C正确；因为样本数据，，…，的方差为2，所以数据，，…，的方差为，即D错误；故选：BC2．下列关于平面向量的说法中不正确的是（   ）A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上C．若且，则D．若点为的重心，则【答案】BC【解析】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.故选BC3．已知数列满足给出下列四个命题，其中的真命题是（    ）A．数列单调递增； B．数列 单调递增；C．数从某项以后单调递增； D．数列从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】因为，所以，当时, ,所以，所以A错误；，，所以是等比数列，，所以B正确；，故，C正确；因为，所以，根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D正确.故选：.4．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）A．当时，B．函数有3个零点C．的解集为D．，都有【答案】BCD【解析】（1）当时，，则由题意得，∵ 函数是奇函数，∴ ，且时，，A错；∴ ，（2）当时，由得，当时，由得，∴ 函数有3个零点，B对；（3）当时，由得，当时，由得，∴ 的解集为，C对；（4）当时，由得，由得，由得，∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数在上有最小值，且，又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，∴当时，函数的值域为，由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，∴ 对，都有，D对；故选：BCD．二、【热点解答题提升练】 5．如图所示，在中，点在边上，且，，.（1）若，求的值；（2）若边上的中线，求的值.【答案】（1） 4     （2）【解析】(1)由，.又 由正弦定理有,所以.所以.(2)由,所以为钝角.又由（1）有，所以又为边上的中线，延长到，使得,连接,如图.则四边形为平行四边形,所以则在中,所以即，即.解得：或（舍去）所以6．已知数列的各项均为正数，对任意的，它的前n项和满足，并且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求.【答案】（1）；（2）【解析】∵对任意，有①∴当时，有，解得或2.当时，有②①②并整理得.而数列的各项均为正数，∴.当时，，此时成立；当时，，此时，不成立，舍去.∴.（2）.7．如图，在多面体中，，，，四边形是矩形，平面平面，.（1）证明：平面；（2）若二面角的正弦值为，求的值.【答案】(1)证明见解析.    (2) 或.【解析】(1)取的中点,连接.由，，.则为正方形.所以.又平面平面，且平面平面.平面,所以平面.又平面.则.又四边形是矩形，则,且.∴平面. (2)由题目条件和（1）可知两两垂直.故以点为原点，以分别为 轴，建立空间直角坐标系.如图.设，则.所以，,,,.则,,.设平面的一个法向量为.所以，即 取设平面的一个法向量为.所以，即取二面角的正弦值为，则余弦值为. 即 ，解得：或所以或. 8．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数（单位：千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额（单位：元）的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】(1)  12     (2)  47      (3)   分布列见解析，【解析】（1）    由题意有 （千步）（2）由，由（1）得所以 所以300名员工中日行步数的人数：.(3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：.每人获得奖金额为100元的概率为：每人获得奖金额为200元的概率为：的取值为0，100，200,300,400. 所以的分布列为：01002003004000.00040.03520.77840.1760.01  （元）9．如图，已知抛物线的焦点为，圆与交于，两点，且，，，四点共线.（1）求抛物线的方程；（2）设动点在直线上，存在一个定点，动直线经过点与交于，两点，直线，，的斜率分别记为，，，且为定值，求该定值和定点的坐标.【答案】（1）     （2） ，的定值为0.【解析】(1)设，，，，，四点共线.由条件圆心为的中点，,.所以直线过焦点，则.解得：. 抛物线. (2) 设，，直线.则，得...当时，为定值0.故一个定点，使得为定值10．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，是的两个零点，求证：．【答案】（1）f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明见解析【解析】（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），且，①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，故f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）∵f（x）有两个零点，∴由（1）知a＞0且，∴a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，只需证明，只需证明．一方面∵a＞2e，∴，∴，∴，且f（x）在单调递增，故；另一方面，令，（x＞0），则，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0；故，故g（x）≥0即时x∈（0，＋∞）恒成立，令，则，于是，而，故，且f（x）在单调递减，故；综合上述，，即原不等式成立