第8讲 外接球与内切球（原卷版）+解析版

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第8讲 外接球与内切球   一．外接球8大模型秒杀公式推导1.墙角模型(1)    使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合（2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径(2)    秒杀公式：（4）图示过程  (3)    秒杀公式：   2.汉堡模型（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得（3）秒杀公式：（4）图示过程  3.斗笠模型（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h第二步：在h上取一点作为球心O第三步：根据勾股定理（3）秒杀公式：（4）图示过程  4.折叠模型（1）使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（2）推导过程第一步：过两个平面取其外心H1、H2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O第二步：计算第三步：（3）秒杀技巧：（4）图示过程 5.切瓜模型（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥（2）推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒杀公式：（4）图示过程6.麻花模型（1）使用范围：对棱相等的三棱锥（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c（3）秒杀公式：（4）图示过程 7.矩形模型（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径（3）秒杀公式：（4）图示过程 鳄鱼模型（1）使用范围：适用所有的棱锥（2）推导过程：（3）秒杀公式：（4）图示过程二．内切球的半径---等体积法 推导过程  秒杀公式： 图示过程特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式技巧1 外接球之墙角模型【例1】（2020·河南高三月考）已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）棱长为的正方体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．2．（2019·绥德中学）球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（   ）A． B． C． D． 技巧2 外接球之汉堡模型【例2】（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【举一反三】1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（    ）A． B． C． D．2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（    ）A．4π B．3π C．2π D．4π3．（2020·广东广州市·高三月考）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．4．（2020·全国高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，则该三棱柱的外接球的体积为（    ）A． B． C． D．技巧3 外接球之斗笠模型【例3】（2020·江苏南通市·高三期中）正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D． 【举一反三】1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D． 技巧4 外接球之折叠模型【例4】（2020·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）A．7π B．8π C． D．【举一反三】1．（2020·山东枣庄市·高三期中）已知二面角的大小为120°，且，，.若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（    ）A．π B．π C．π D．3π技巧5 外接球之切瓜模型【例5】（2020·内蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．  【举一反三】1．（2020·四川泸州市·高三一模）已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D． 技巧6 外接球之麻花模型【例6】（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．技巧7 外接球之矩形模型【例7】（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为(    )A． B． C． D．【举一反三】1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．2．（2020·重庆一中高三）已知四面体满足：，，则四面体外接球的表面积为_______. 技巧8 内切球半径【例8】（2020·全国）正四面体的外接球与内切球的表面积比为（    ）A． B． C． D．不确定【举一反三】1．（2020·北京）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（    ）A． B． C． D．2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（  ）A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰13．（2020·江苏无锡市第六高级中学）正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（    ）.A． B． C． D．1．（2020·江苏镇江市·高三期中）直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．2．（2020·江西高三其他模拟）在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．3．（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，且，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．4．（2020·四川宜宾市·高三）已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为（    ）A．6π B．8π C．12π D．16π5．（2020·江西赣州市·高三）四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．6．（2020·全国高三专题练习））平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（    ）A．30 B． C． D．368．（2020·江苏南京市第二十九中学高三期中）已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（    ）A． B． C． D．9．（2020·全国高三专题练习）已知三棱柱(侧棱底面，底面是正三角形)内接于球O，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（    ）A． B． C． D．10．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．11．（2020·天津红桥区·高三期中）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（    ）A．10 B．20 C．24 D．3212．（2020·河南洛阳市·高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱的体积为54，，记三棱柱的外接球为球，则外接球的表面积是__________．14．（2020·济南市·山东省实验中学高三月考）在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为__________．15．（2020·湖南怀化市·高三期中）如图所示，在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______.16．（2020·广东肇庆市·高三月考）鳖臑（biē nào）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，过点B向AC引垂线，垂足为E，过E作CD的平行线，交AD于点F，连接BF．设三棱锥的外接球的表面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则________．17．（2020·上海市松江二中高三期中）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______.18．（2020·江苏南通市·高三期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.19．（2020·合肥市第六中学高三期中）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为______.20．（2020·湖南高三开学考试）在四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为________.21．（2020·全国高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2，则其内切球的体积为______.22．（2020·江西南昌市·南昌十中）已知在三棱锥中，，，，则当点到平面的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为_____．23．（2021·福建省福州第一中学高三期中）三棱锥中，，，面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积为___．24．（2020·福建福州市·高三期中）在三棱锥中，平面垂直平面，，，则三棱锥外接球的表面积为_________.25．（2020·全国高三其他模拟）在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为______26．（2020·全国高三专题练习）设，，，为球的球面上的四个点，满足，.若四面体的表面积为，则球的表面积为______.