第9讲 法向量秒求（原卷版）+解析版

这是一份第9讲 法向量秒求（原卷版）+解析版，文件包含第9讲法向量秒求原卷版docx、第9讲法向量秒求解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
第9讲  法向量秒求一．叉乘法求解法向量二．掐头去尾交叉法求法向量说明：两种方法的实质是一样，都可以使用【例1】（2020·辽宁节选）已知平面上三点，，，则平面的一个法向量为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：常规法由已知，，设平面的一个法向量为，由，可得，取，可得，，所以，平面的一个法向量为.故选：B.解法二：叉乘法由已知，，设平面的一个法向量为  解法三：掐头去尾交叉法  【例2】（2020·全国）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（   ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解法一：常规法,设为平面的法向量，则，化简得，∴，故选C.解法二：叉乘法解法三：掐头去尾交叉法   1．（2020·全国）在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（　　）A． B．C． D． 【解析】解法一：常规法，，设平面的一个法向量为，由则，解得，．又，因此，平面的一个法向量为.故选：A.解法二：叉乘法，，设平面的一个法向量为解法三：掐头去尾交叉法，，设平面的一个法向量为2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（    ）A． B． C．4， D．4，【答案】BD【解析】解法一：常规法设平面是坐标原点的一个法向量是y，，则即得，令，解得令，解得故或，．故选：BD．解法二：叉乘法解法三：掐头去尾交叉法 3．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体中，，，，，分别是，的中点，以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是___________.【答案】，3，【解析】解法一：常规法长方体中，，，，，分别是，的中点，以为原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，4，，，2，，，4，，，2，，设平面的一个法向量是，，，则，取，得，3，，则平面的一个法向量是，3，.故答案为：，3，.解法二：叉乘法，4，，，2，，设平面的一个法向量是，，，解法三：掐头去尾交叉法4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________.【答案】（答案不唯一）【解析】解法一：常规法是正方形，且，，，，，，，，，，故，故，∵向量是平面OCB1的法向量，，，故，，取，故，平面的法向量故答案为：（答案不唯一）5．（2020·全国）已知，，.求平面的一个法向量；【答案】平面的一个法向量为（答案不唯一）；【解析】解法一：常规法因为，，，所以，，设为平面的一个法向量，则有，所以，不妨令，则，所以平面ABC的一个法向量为；解法二：叉乘法所以，，设为平面的一个法向量，解法三：掐头去尾交叉法（2）若存在实数，，使，即，则，解得，所以，即向量与平面平行. 6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．求证：；若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】证明见解析；.【解析】由题意，得底面圆，点，分别为，的中点，， 底面圆，在底面圆上，．，为正三角形，又因为为的中点，，又因为，且平面，平面，平面，平面，．解法一：常规法如图，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，设平面的法向量为，由，可得，令，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为．解法二：叉乘法，，设平面的法向量为，解法三：掐头去尾交叉法7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC中点，E为AD中点，PA＝AC＝2，BC＝1．（1）求证：AD⊥平面PBC：（2）求PE与平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵平面ABC，∴又因为，∴平面PAC，∴．∵，D为PC中点，∴，又∵，∴平面PBC；（2）解法一：常规法以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系，，，∴，，∴，，．设平面ABD的法向量为，则，令，则，得．设PE与平面ABD所成角为，则．解法二：叉乘法，．设平面ABD的法向量为，设PE与平面ABD所成角为，则．解法三：掐头去尾交叉法设PE与平面ABD所成角为，则．8．（2020·河北邢台市·邢台一中高三月考=）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且，，为的中点.求证：；求直线与平面所成角的正弦值.【答案】证明见解析；.【解析】因为，所以，又为的中点，所以，，连接，在中，为的中点，所以.因为，所以，又，所以平面.又平面，所以.解法一：常规法如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的一个法向量为，由，得令，可得.设直线与平面所成角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.解法二：叉乘法，设平面的一个法向量为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.解法三：掐头去尾交叉法，设平面的一个法向量为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.9．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为中点.   （1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见详解；（2）【解析】（1）证明：∵底面是边长为2的正方形，，为中点，∵，.∵平面，平面，∴.∵∴平面，∵平面，∴，∵.∴平面，∵平面，∴.（2）解法一：常规法以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，，，设平面的一个法向量，则，取，得.设平面的一个法向量为.则，取.得，，∴二面角的正弦值为解法二：叉乘法（法向量求解略）解法三：掐头去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晋州市）如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，故BD⊥平面PAC.（2）解法一：常规法（3）由（1）得.设平面PCD的法向量为，则，即，∴，故平面PCD的法向量可取为, ∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得，故二面角P—CD—B余弦值的大小为.解法二：叉乘法∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得，故二面角P—CD—B余弦值的大小为.解法三：掐头去尾交叉法∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得，故二面角P—CD—B余弦值的大小为.