【挑战满分】压轴小题6：解析几何（70页）

这是一份【挑战满分】压轴小题6：解析几何（70页），共60页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

【挑战满分】压轴小题6：解析几何
一、单选题
1．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（ ）
A． B． C． D．

2．已知抛物线的焦点为，过抛物线上两点，分别向抛物线的准线作垂线，垂足为，，且，当直线经过点且点到抛物线准线的距离为4时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．

3．已知三条直线，，，其中、、、、为实数，、不同时为零，、、不同时为零，且．设直线、交于点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．

4．如图，椭圆的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点.且，，，若，则离心率e的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

5．已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为
A． B．2 C． D．1

6．是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A． B． C．2 D．

7．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A． B． C． D．

8．过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为
A． B． C． D．

9．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．


10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

11．如图所示，已知椭圆，⊙，点分别是椭圆的左顶点和左焦点，点是⊙上的动点，且为定值，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

12．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．

13．已知椭圆+=1()的左、右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，若椭圆上存在点P，使，则该椭圆离心率的取值范围为
A．(0，) B．(，1)
C．(0，) D．(，1)

14．已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

15．已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

16．已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．

17．已知抛物线的焦点，直线过点且与抛物线相交于，两点，，两点在轴上的投影分别为，，若，则直线斜率的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．

18．过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．


19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A． B． C． D．

20．已知椭圆：的右焦点为,且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0.为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1.则
A． B．-3 C． D．

21．若点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，其满足，则直线的斜率为
A． B． C． D．

22．已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．




23．已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是
A．存在直线，使得值为7
B．存在直线，使得值为
C．弦长存在最大值，且最大值为4
D．弦长不存在最小值

24．点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是
A． B． C． D．

25．当变化时，不在直线上的点构成区域G,是区域G内的任意一点，则 的取值范围是
A．(1，2) B．[] C .() D．(2，3)

26．已知抛物线：和动直线：（，是参变量，且，）相交于，两点，直角坐标系原点为，记直线，的斜率分别为，，若恒成立，则当变化时直线恒经过的定点为
A． B． C． D．



27．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点，AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点，若ΔPQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．233 D．322

28．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为
A． B． C． D．

29．已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的
直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为
A． B． C． D．

30．在等腰梯形中， ，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．


二、多选题
31．在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点作与轴垂直的直线，与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若为正三角形，则
C．若抛物线上存在两个不同的点、（异于、），使得，则
D．当取得最大值时，

32．双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双扭线C．已知点是双扭线C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．双扭线C关于原点O中心对称； B．；
C．双扭线C上满足的点P有两个； D．的最大值为．

33．设的左右焦点为，．过右焦点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列判断正确的是（ ）
A．双曲线渐近线方程为
B．离心率为
C．它和双曲线共用一对渐近线
D．过点且和双曲线C只有一个公共点的直线，共有两条






34．已知圆与双曲线的四个交点的连线构成的四边形的面积为，若为圆与双曲线在第一象限内的交点，为双曲线的右焦点，且（为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线右支上的动点到、两点的距离之和的最小值为
C．圆在点处的切线被双曲线截得的弦长等于
D．若以双曲线上的两点、为直径的圆过点，则



35．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线：上两个不同点横坐标分别为，，以为切点的切线交于点.则关于阿基米德三角形的说法正确的有（ ）
A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若阿基米德三角形为正三角形，则其面积为
C．若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值
D．一般情况下，阿基米德三角形的面积




36．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则（ ）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为
D．若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为

37．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N.则（ ）
A．
B．若P，Q是线段的三等分点，则直线的斜率为
C．若P，Q不是线段的三等分点，则一定有
D．若P，Q不是线段的三等分点，则一定有

38．如图，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线.则下面说法正确的是

A．曲线与轴围成的面积等于 B．与的公切线方程为：
C．所在圆与所在圆的交点弦方程为：
D．用直线截所在的圆，所得的弦长为
39．已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ）
A．恒成立
B．若，则
C．面积的最小值为1
D．对每一个确定的，若，则的面积为定值

40．如图，矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点，分别以HF，EG为x，y轴建立直角坐标系，设ER与､ER与分别交于，，ES与､ES与交于，，ET与交于点N，则下列关于点，，，，N与两个椭圆::，:的位置关系叙述正确的是

A．三点，，N在，点在上 B．，不在上，，N在上
C．点在上，点，，均不在上 D．，在上，，均不在上










三、填空题
41．曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：
①曲线C关于坐标轴对称；
②周长的最小值为；
③点P到y轴距离的最大值为；
④点P到原点距离的最小值为．
其中所有正确结论的序号是__________．

42．已知点为直线上一点，且位于第一象限，点，以为直径的圆与交于点(异于)，若，则点的横坐标的取值范围为___________.

43．在平面直角坐标系中，P是圆上的动点，满足条件的动点M构成集合，则集合中任意两点间的距离的最大值为__________．

44．方程表示的曲线为函数的图象.对于函数，现有如下结论：①函数的值域是R；②在R上单调递减；③的图象不经过第三象限；④直线与曲线没有交点.其中正确的结论是___________.



45．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_______



46．已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论：
①当时，直线与圆相离；
②若直线是圆的一条对称轴，则；
③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；
④为圆上的一动点，若，则的最大值为.
其中所有正确结论的序号是__________.

47．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M、N是锐角的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得最大”，如图，其结论是：点P为过M、N两点且射线QB相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：

在平面直角坐标系xOy中，给定两点、，点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的坐标为___________

48．已知三点到点的距离都是它到直线的距离的倍且，当直线与的斜率之积为（其中为坐标原 点）时，则点与点的距离之和的值为____________






四、双空题
49．如图，已知，为椭圆：()的两焦点，为坐标原点，，分别，在的切线上的射影，则点的轨迹方程是___________；若有且仅有2条使得的面积最大，则离心率的最大值是___________.



50．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点，点，点.在点的运动过程中，的面积的最大值为且满足成立的点有且只有个.当点在轴的下方运动时，记的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最大值为________，的外接圆面积的取值范围为______________.

【挑战满分】压轴小题6：解析几何
答案解析
1．B
【分析】
作出图形，可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果.
【解析】
由抛物线的对称性，设为抛物线第一象限内点，如图所示：

故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得

当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，
设直线方程为：，
联立，整理得，
其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则
则，解得：，此时，即或
所以点的坐标且
由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为
设双曲线的实轴长为2a，则，，
又，则
故渐近线斜率的平方为
故选：B
【小结】
方法小结：本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下：
①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用渐近线的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
2．B
【分析】
根据题意，求得，可得抛物线的方程，因为，所以，根据面积公式，结合抛物线定义，即可求得，不妨设的斜率为，可得直线AB的方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可求得的值，代入弦长公式，即可求得答案.
【解析】
因为点到抛物线准线的距离为4，所以，所以，
设抛物线的准线与轴交于点，因为，
所以，
因为，，，
所以，则，
显然直线的斜率存在，不妨设为，则，
与抛物线联立可得：，
从而，
所以，解得.
故选：B

【小结】
解题的关键是根据面积的关系，得到，结合图象，可求得，再利用抛物线的弦长公式求解，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.
3．D
【分析】
分析出直线，且直线过原点，直线过定点，直线过定点，求出点的轨迹是以为直径的圆，求出圆心到点的距离，再加上半径即可得解.
【解析】
由于，，且，，
易知直线过原点，
将直线的方程化为，由，解得，
所以，直线过定点，所以，，
因为，则，直线的方程为，
直线的方程可化为，由，解得，
所以，直线过定点，如下图所示：

设线段的中点为点，则，
若点不与或重合，由于，由直角三角形的性质可得；
若点与点或重合，满足.
由上可知，点的轨迹是以为直径的圆，该圆圆心为，半径为.
设点到直线的距离为，当时，；
当不与垂直时，.
综上，.
所以，点到直线的距离的最大值为.
故选：D.
【小结】
结论小结：当直线与圆相离时，设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则圆上一点到直线的距离的最大值为，最小值为.
4．B
【分析】
根据题设条件求出，从而得到一个关于直线的斜率恒成立的不等式，故可得关于基本量的不等式，据此可求离心率的范围.
【解析】
因为点P是上第一象限内任意一点，故为锐角，所以，
设直线的斜率为，则.
由可得，故，
所以，
因为，故，所以，
解得，因为对任意的恒成立，
故，整理得到对任意的恒成立，
故即即.
故选：B.
【小结】
方法小结：圆锥曲线中的离心率范围的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个不等式关系，此关系的构建需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系等．
5．A
【分析】
设点，，利用四点，，，共圆，求得以为直径的圆，与已知圆的方程相减得出直线的方程，直线与过点的椭圆的切线重合，两个方程相等，可得,，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，结合三角形的面积公式和三角恒等变换以及三角函数的基本性质求出所求的最大值．
【解析】
设，，，由，，可得四点，，，共圆，
可得以为直径的圆，方程为，
联立圆，相减可得的方程为，
又与椭圆相切，可得过的切线方程为，即为，
由两直线重合的条件可得，，
由于在椭圆上，可设，，，
即有，，
可得，
且，，
即有，

，当即或或或时，
的面积取得最大值．
故选．

【小结】
本题考查椭圆和圆的方程的应用，考查直线和椭圆、直线与圆相切的条件，以及运用参数方程和三角恒等变换公式是解题的关键，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于难题．
6．B
【分析】
根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率．
【解析】
因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线
因为是双曲线的左、右焦点
所以（-c，0），（c，0）
因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）
则
解得
所以为（）
因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为
将以的（）代入圆的方程得
化简整理得 ，所以
所以选B
【小结】
本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．
7．A
【分析】
将的最小值，转化为到圆心的最小距离再减去半径来求得的最小值.设出函数上任意一点的坐标，求得圆心的坐标，利用两点间的距离公式求得的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去求得的最小值.
【解析】
依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.

【小结】
本小题主要考查圆的方程，考查导数在研究函数中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
8．B
【解析】
分析：（1）当直线与轴垂直时，满足；
（2）当直线不与轴垂直时，直线方程.四点位置分两种情况：
①四点顺序为，AB的中点为（1，0），这样的直线不存在；
②四点顺序为时，得，即焦点弦长等于圆的直径，设，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，则，又，所以，继而得时有两条满足条件的直线，从而得到答案.
解析：（1）当直线轴时，直线：与抛物线交于，与圆交于，满足.
（2）当直线不与轴垂直时，设直线方程.
联立方程组 化简得
由韦达定理
由抛物线得定义，过焦点F的线段
当四点顺序为时

AB的中点为焦点F（1，0），这样的不与轴垂直的直线不存在；
当四点顺序为时，


又，
，即
当时存在互为相反数的两斜率k，即存在关于对称的两条直线．
综上，当时有三条满足条件的直线.
故选B.
小结：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题代入法，考查了分类讨论思想、等价转化思想，由到的转化是解题关键.
9．D
【解析】
由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A，
联立
所以，|AB|=
所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.
所以该圆E的方程为.
所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DP⊥DQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，此时应满足
∠PDQ，所以，整理得.解之得
，故选D.
小结：本题的难点在于分析转化，本题的分析转化，主要是利用了数形结合的思想，通过数形结合把问题转化得简洁明了. 如果不用数形结合，本题解题会很复杂.
10．B
【分析】
由题设知：，，则在钝角△中，应用余弦定理且，可得，进而可求双曲线离心率的范围.
【解析】
由题设知：是钝角三角形，则为钝角且，
∵，，且，
∴，
在△中，，
∴，则，
∴，即.
故选：B.
【小结】
关键点小结：应用过焦点且垂直于实轴所得弦为底边，与另一交点所成三角形的性质，由钝角的余弦值的符号为负，结合双曲线的定义、余弦定理求离心率的范围.
11．D
【解析】
试题分析：法一：设，设，要使得是常数，则有，是常数，∵∴，比较两边系数得，，故，即，即，即，又，∴.
法二：法二：取圆与轴的左右两个交点这两个特殊位置，易得=，化简得：
，∴，∴，故选D.
考点：1、圆及其性质；2、椭圆及其性质.
【方法点晴】本题主要考查圆及其性质、椭圆及其性质，属于难题．本题利用两点间距离公式将解析化，经过变形、系数对比得，，即，可得、再变形得到三次方程，结合的取值范围得到正解.本题可以通过特殊位置规避繁琐计算，巧解本题．
12．C
【分析】
先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知到准线的距离等于点到焦点的距离，进而问题转化为求点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点的距离减去圆的半径.
【解析】
抛物线的焦点为，
圆的圆心为，半径，
根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，

进而推断当三点共线时，
到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值为，故选C.
【小结】
本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于中档题. 与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
13．D
【解析】
由已知及正弦定理知，即.
即，又，∴，
即，解得，选.
考点：双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.

14．B
【分析】
将实数，满足通过讨论，得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图像分析可得的取值就是图像上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.
【解析】
解：因为实数，满足，
所以当时，其图像位于焦点在轴上的椭圆第一象限，
当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第四象限，
当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第二象限，
当时，其图像不存在，
作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中图像如下：

任意一点到直线的距离
所以
结合图像可得的范围就是图像上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线，其中一条渐近线与直线平行
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值
当曲线上一点靠近双曲线的渐近线时取得最大值，不能取等号
设与其图像在第一象限相切于点
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时
直线与直线的距离为
此时
所以的取值范围是
故选：B
【小结】
三种距离公式：
（1）两点间的距离公式：
平面上任意两点间的距离公式为；
（2）点到直线的距离公式：
点到直线的距离;
（3）两平行直线间的距离公式：
两条平行直线与间的距离.
15．D
【分析】
由直线：与椭圆：至多有一个公共点，即联立方程，化简整理得，即可理解为双曲线外部的点（可行域），转化为线性规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到的取值范围.
【解析】
联立方程，化简整理得：
因为直线：与椭圆：至多有一个公共点，
所以，即，
即点满足双曲线外部的点，即可行域，如图所示，为x轴，k为y轴，

将变形为，平移直线，
由图可知，当直线与双曲线相切时为临界条件.
联立，化简整理得：
由题知，，解得
若可行域是双曲线右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即；
若可行域是双曲线左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即；
综上可知，的取值范围是
故选：D.
【小结】
本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题.
16．A
【分析】
本题首先可以结合题意绘出双曲线的图像，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果.
【解析】
设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，

如图，过点作于点,
因为，
所以，，
因为，所以，
因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，
所以，，
故，，
因为，所以，，
将代入双曲线中，
即，化简得，，
，，，
解得或（舍去），，，
则该双曲线的渐近线方程为，
故选：A.
【小结】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线定义以及等面积法的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，体现了综合性，是难题.
17．A
【分析】
设直线方程为，联立抛物线方程可得，设，，
则所以 ，
求解不等式即可得出答案.
【解析】
因为抛物线的焦点，所以设直线方程为，
由，设，，
则所以，
解得，所以直线斜率的最大值是.
故选：A.
【小结】
本题考查了利用韦达定理研究直线和抛物线的关系， 考查了根与系数的转化思想，考查了计算能力，属于难题.
18．A
【分析】
由已知设切点坐标为，，利用导数写出切线，的方程，联立求出交点坐标，，代入重心坐标公式利用已知条件可求出的坐标为，再代入抛物线方程，求出，进而求的焦点坐标．
【解析】
设切点坐标为，，
由，得，所以，
故直线的方程为，即，
同理直线的方程为，
联立，的方程可得，，
设的重心坐标为，则，，
即所以，则的坐标为，
将点坐标代入抛物线，得到，解得，
故的焦点坐标为.
故选：A.
【小结】
本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
19．A
【分析】
结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.
【解析】
如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，

设点，，则，
因为为的重心，所以，
因为轴，所以点横坐标也为，，
因为为的角平分线，
则有，
又因为，所以可得，
又由角平分线的性质可得，，而
所以得，
所以，，
所以，即，
因为
即，解得，所以答案为A.
【小结】
本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：
（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.
（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.
20．A
【分析】
求得椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB的斜率，同理即可求得的值．
【解析】
因为椭圆：的右焦点为,且离心率为，且
所以可求得椭圆的标准方程为

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），
因为A、B在椭圆上，所以 ，两式相减得
，即
同理可得
所以
因为直线、、的斜率之和为1
所以
所以选A
【小结】
本题考查椭圆的方程，直线的斜率公式，点差法在涉及中点问题中的综合运用，计算量较大，属于难题．
21．B
【分析】
根据直线MN斜率一定存在，设出直线方程，联立抛物线得到关于x的一元二次方程；由韦达定理表示出；根据两个斜率满足，代入即可求得k的值．
【解析】
点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点
所以椭圆的左焦点坐标为 ，左顶点坐标为
由题意可知，直线MN的斜率一定存在，因为直线MN过椭圆左焦点，所以MN的直线方程可设为 ，
联立直线方程与椭圆方程，化简得

所以
因为
代入，可得

将代入

通过解方程可得
所以选B
【小结】
本题考查了直线与椭圆位置关系的综合应用，将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理解决相关问题是常见的方法，也是高考的重点难点，属于难题．
22．C
【解析】
分析：不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率．
解析：不妨设在第二象限，则在等腰中，，
设，则，为锐角．
外接圆面积为，则其半径为，∴，
∴，，
∴，，
设点坐标为，则，，
即点坐标为，
由点在双曲线上，得，整理得，
∴．
故选C．
小结：本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得出点的坐标，是解题的突破点，在得到点坐标后，根据点在双曲线上得出间的关系，最后根据可求得离心率．
23．D
【解析】
当直线，一个斜率为零一个斜率不存在时，可得即为长轴，为通径，则，则A是正确的；
当直线，的斜率都存在时，不妨令直线的斜率为，由题意知的直线方程为，联立方程消去得，设，，由韦达定理知：，，所以，同理，特别地当时，，即，则正确 ；由，故当时，取到最大值，则C正确；由，但当弦的斜率不存在时，，故存在最小值，故D选项不对，故选D．
小结：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
24．A
【解析】
如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，根据圆的切线可知：，，，又根据双曲线定义 ，即，所以，即，又因为，所以，，所以点为右顶点，即圆心，
考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时方程为，此时圆心到直线的距离为，解得，因此内切圆半径，所以选择A.

25．C
【解析】
令，代入直线方程有，无解，故是区域内的点，将代入值为，故排除选项.若，不妨设，代入解得，将代入直线方程化简得，其判别式为，有解，故不在区域内，故，排除选项.综上所述，选.
小结：本题主要考查点与直线的位置关系，考查选择题特殊值排除法，考查一元二次方程根的存在性问题的判断方法.首先根据直线的方程的表达式，找到一个特殊点，将点的坐标代入直线方程后，此方程无解，故该点不在直线上，在区域内，将代入题目要求的式子，求得值为，由此排除选项.假设取值可以为，同样利用特殊值，可退出矛盾，由此排除选项.
26．D
【解析】
试题分析：由可得，则，，所以，又即，所以代入整理可得，直线方程可化为，故选D.
小结：本题主要考查了直线和抛物线的位置关系，其中特别要注意的是对斜率乘积的转化和根与系数关系的应用.
27．C
【解析】由题意，得|AF1|+|BF1|=|AB|=2b2a ①，且P,Q分别为AF2,BF2的中点．由双曲线定义，知|AF2|−|AF1|=2a ②，|BF2|−|BF1|=2a ③，联立①②③，得|AF2|+|BF2|=4a+2b2a．因为ΔPQF2的周长为12，所以ΔABF2的周长为24，即4a+4b2a=24，亦即b2=6a−a2，所以(ab)2=6a3−a4．令f(a)=6a3−a4，则f'(a)=18a2−4a3=4a(92−a)，所以f(a)在(0,92)上单调递增，在(92,+∞)上单调递减，所以当a=92时，f(a)取得最大值，此时b2=6×92−(92)2=274，所以c=a2+b2=33，所以e=ca=233，故选C．
小结：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c的关系式，求值问题就是建立关于a,b,c的等式，求取值范围问题就是建立关于a,b,c的不等式．
28．C
【解析】
由题意，得 ①，且分别为的中点．由双曲线定义，知 ②， ③，联立①②③，得．因为的周长为12，所以的周长为24，即，亦即，所以．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时，所以，所以，故选C．
小结：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．
29．C
【解析】
解：∵|A1A2|=2a=4，2c= ，b=1，
设P（x0，y0），
∴当∠F1PF2=90°时，S△F1PF2="1" /2 × ×y0=1× tan(90°/ 2) ，
解得y0= ，把y0= 代入椭圆得x0=±
由 PF1• PF2 ＜0，得∠F1PF2≥90°．
∴结合题设条件可知使得 PF1• PF2＜0的M点的概率= -(- )/ 2a =/ 4 =
30．B
【解析】试题分析：由平几知识可得，所以，因为在上单调递减，所以，由不等式恒成立，得，即的最大值是，选B.
考点：椭圆与双曲线离心率
【思路小结】（1）对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.（2） 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的定义及几何性质、点的坐标的范围等.
31．BCD
【分析】
由求出的取值范围，可判断A选项的正误；求出、，根据解出，可判断B选项的正误；设点，由得出关于的方程有四个不同的实根，求出的取值范围，可判断C选项的正误；设，求得的最大值及其对应的的值以及的值，可判断D选项的正误.
【解析】
对于A选项，将代入抛物线的方程可得出，则，
所以，，，由可得，解得，A选项错误；
对于B选项，设点，则点，则，，
由于为正三角形，则，即，解得，B选项正确；
对于C选项，在抛物线上任取一点，则，
由，可得，整理可得，
即，即，
关于的方程有四个不同的实根，则，解得，C选项正确；
对于D，设，，
其中为锐角，且，，
当且仅当时，取得最大值，
则，，
则，即，解得，D选项正确.
故选：BCD.
【小结】
关键点小结：解本题的关键在于将题中一些相应的量利用参数加以表示，结合方程或不等式来求解，在求解D选项中的最值时，可充分利用图形的几何关系，借助正弦、余弦的有界性来求解.
32．ABD
【分析】
对A，设动点，则对称点代入轨迹方程，显然成立；对B，根据的面积范围证明；对C，若，则在y轴上，代入轨迹方程求解；对D，根据余弦定理分析中的边长关系，进而利用三角形的关系证明即可.
【解析】
对A，设动点，由题意可得的轨迹方程为
把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；
对B，因为，故．
又，所以，
即，故．故B正确；
对C，若，则在的中垂线即y轴上．
故此时，代入，
可得，即，仅有一个，故C错误；
对D，因为，
故，
，
因为，，
故．
即，
所以．
又，当且仅当，，共线时取等号．
故，
即，解得，故D正确．
故选：ABD.
【小结】
本题考查了动点轨迹方程的性质判定，因为轨迹方程比较复杂，故在作不出图像时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性分析，同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.
33．BC
【分析】
根据题意先求出A点坐标，再根据求出B点坐标，代入另一条渐近线方程中，得到一个等式，利用渐近线的性质，结合渐近线方程、离心率公式、以及一元二次方程根的判别式判断即可.
【解析】
双曲线的渐近线方程为：，设过右焦点向双曲线的渐近线引垂线，垂足为A，所以的斜率为，因为的坐标为，所以直线的方程为：
，与联立，解得，
设，因为，所以有，
所以，代入中，
得：
A：因为，
双曲线渐近线方程为，故本判断不正确；
B：由，故本判断正确；
C：，所以该双曲线的渐近线方程为：，故本判断正确；
D：，因此双曲线方程为：
设过的直线方程为，代入双曲线方程中得：，
当时，此时直线与双曲线只有一个公共点，这样有二条，
当时，由根的判别式为零，得，可得：，这样的直线有二条，因此本判断不正确，
故选：BC
【小结】
本题的关键是通过已知求出A点坐标，再根据求出B点坐标.
34．BCD
【分析】
首先根据圆和双曲线的对称性，利用四边形的面积及圆的方程求得点的坐标，再利用求出的坐标，然后结合双曲线基本量之间的关系建立方程，进而求出、的值，最后结合选项逐项进行判断即可．
【解析】
由圆与双曲线的对称性知，圆与双曲线的交点的连线构成的四边形为矩形，
设，则，且，得，所以，
所以，即．
设，则，得，
则，即，得，从而．
A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；
B项，设双曲线的左焦点为，则，
连接、，由双曲线的定义可得，

所以（当且仅当、、三点共线时取等号），故B项正确；
C项，圆心，，所以，圆在点处的切线的斜率为，
切线方程为，即圆在点处的切线方程为．
由，得，解得或，
所以该切线与双曲线的交点为与，
所以，故C项正确；
D项，由题意知，且直线、的斜率均存在且不为，
设直线的方程为，则直线的方程为，
设、，由，得，
所以，同理得，
即，故D项正确．
故选：BCD.
【小结】
关键点小结：圆锥曲线中求曲线上的点到焦点与另一点的距离之和的最值问题，通常利用圆锥曲线的定义将问题进行转化，如本题中的选项B，利用双曲线的定义将问题转化为求．
35．ABC
【分析】
设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；
B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可..
【解析】
由题意可知：直线一定存在斜率，
所以设直线的方程为：，
由题意可知：点，不妨设，
由，所以直线切线的方程分别为：
，
两方程联立得：，
解得：，所以点坐标为：，
直线的方程与抛物线方程联立得：
.
A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ，
因为过抛物线的焦点，所以，而，
显然点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；
B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，
即，
因为 ，所以化简得：，
此时， 点坐标为：，
因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，
所以，
因此正三角形的边长为，
所以正三角形的面积为，
故本选项说法正确；
C：阿基米德三角形为直角三角形，当时，
所以，
直线的方程为：
所以点坐标为：，点 到直线的距离为：
，

，
因为，所以 ，
因此直角的面积为：，
当且仅当时，取等号，显然其面积有最小值，故本说法正确；
D：因为，所以
，
点到直线的距离为：

所以阿基米德三角形的面积，
故本选项说法不正确.
故选：ABC
【小结】
解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.
36．AD
【分析】
设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项的正误，根据求出的值，可判断B选项的正误，利用抛物线的定义求出的值，可判断C选项的正误，求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【解析】
若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.
设点、，设直线的方程为，
联立，整理可得，，
由韦达定理可得，，，
，A正确；

，解得，
所以，直线的斜率为，B错误；
抛物线上一点到焦点的距离为，则，可得，
故抛物线方程：，C错误；
抛物线的焦点到准线的距离为，则，所以，抛物线的方程为，

所以，，，，
所以，圆的直径为，则，
点到轴的距离为,
，
，，，
即，D正确.
故选：AD.
【小结】
方法小结：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
37．AB
【分析】
设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，从而可表示出点坐标，然后求出点坐标，判断各选项．
【解析】
抛物线的焦点为，设直线方程为，，，
由得，，，
∴，，直线方程为，
∵共线，∴，，同理，
，，
∴，即，A正确；
若P，Q不是线段的三等分点，则，，
，又，，
∴，∴，解得（∵），B正确；

由得，，
∴，，又，
∴，
，
∴，
当时，，C错；
由图可知，而，只要，就有，D错．
故选：AB．
【小结】
本题考查抛物线的焦点弦的性质，通过确定直线与抛物线中的线段长考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．
38．BC
【分析】
由题知曲线与x轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个四分之一圆，求面积和，可判断A；设与的公切线方程，由直线与圆相切的条件，列方程组，可求得直线方程，即可判断B；由两圆方程联立相减，则可求出所在圆与所在圆的交点弦方程，可判断C；由弦长公式求出弦长，可判断D.
【解析】
各段圆弧所在圆方程分别为：
：，：，
：
曲线与x轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个圆，
面积为，故选项A错误；
设与的公切线方程为：，
则，解得，
所以与的公切线方程为：，
即，故选项B正确；
由及两式相减得：
即为交点弦所在直线方程，故选项C正确；
所在圆的方程为，圆心为，
圆心到直线的距离为，
则弦长为，故选项D错误.
故选：BC.

【小结】
本题考查圆的方程的运用，直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力，综合性较强，运算较繁杂..
39．ABD
【分析】
对于A选项，设直线方程为，分别与双曲线方程以及双曲线的渐近线方程联立，求出中点坐标，并判断是否相等即可；对于B选项，由，得到，结合A选项的结果，即可判断选项B是否正确；对于C选项，设直线方程为，，直线分别与渐近线方程联立，求出坐标，进而求出的面积，根据的范围，求出的面积的范围即可；对于D选项，由已知可得，利用选项A的方程，得到关系，求出的面积即可.
【解析】
设，代入得，①
显然，，即，
设，，则，是方程①的两个根，
有，，
设，，由得，
由，得；
所以，所以和的中点重合，
所以，所以恒成立．故A正确．

因为和的中点重合为，所以，
又，所以，
所以，故B正确．
设直线方程为，，
由得，由得，
，，，
，故C错误.

因为，所以，得
，即，
所以，，又，，，
所以是定值．故D正确．
故选：ABD.
【小结】
本题考查双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系，应用根与系数关系是解题的关键，考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.
40．AC
【分析】
求出的坐标，证明在上；求出的坐标，证明点在上.即得解.
【解析】
由题得E（0，-3），R（1,0），所以直线ER的方程为.
由题得G（0,3），，所以，
所以直线的方程为，
联立,的坐标满足椭圆:，
所以在上.
由题得ES的方程为.
由题得,所以
所以直线的方程为，
联立直线ES和方程得,满足:，
所以点在上.所以选项BD错误.
由于本题属于多项选择题，所以至少两个答案正确.
故选：AC
【小结】
本题主要考查直线的交点的求法，考查点和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
41．①②④.
【分析】
由题意得到方程，结合对称性的判定方法，可判定①正确；设，得到，结合基本不等式，可判定②正确；过点作，求得的最大面积为，结合面积相等，可判定③不正确；化简，结合不等式，可判定④是正确的.
【解析】
由题意，曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于，
可得，即，
用代换，或代换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，所以①正确；
设，可得，
则，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最小值为，所以②正确；
过点作，则，
当且仅当时，等号成立，
当时，取得最大值，
所以的最大面积为，
又由，解得，即点到轴的最大距离为，
所以③不正确；
由
，
又由，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，可得，
所以④是正确的.
故答案为：①②④.

【小结】
方法技巧：根据题设条件得到，令和，得到，结合基本不等式求解是解答的关键.
42．
【分析】
根据题意求出圆的方程，进而求出点坐标，根据圆的几何性质，结合锐角三角函数定义及性质进行求解即可.
【解析】
由题意设，设的中点为，由中点坐标公式可得：，
所以以为直径的圆的方程为：，把代入得：，所以，
因为是直径，所以，因此，因为，
所以，
即，化简得：，
而，解得.
故答案为：
【小结】
利用直径所对的圆周角为直角这一性质是解题的关键.
43．12.
【分析】
设，,由求出M的轨迹方程，结合圆的对称性可得集合中任意两点间的距离的最大值.
【解析】
设，，
由，可得，
即，
化简可得，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
又点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
由圆的对称性可得，集合中任意两点间的距离最大时，此两点关于对称，
此时，
故答案为：.
【小结】
关键点小结：该题主要考查轨迹方程的求法及圆的性质，在求解的时候，关键点是明确点M的轨迹，以及灵活应用圆的参数方程求解.
44．①②③④
【分析】
根据方程，分别讨论、、和四种情况，得到不同的解析式，画出对应的图象，即可得答案.
【解析】
当时，方程为，表示椭圆在第一象限的部分，
当时，方程为，表示双曲线在第四象限的部分，
当时，方程为，表示双曲线在第二象限的部分，
当时，方程为，无意义，
所以图象如下所示：

所以函数的值域是R；故①正确；
在R上单调递减，故②正确；
的图象不经过第三象限，故③正确；
直线为双曲线的渐近线，所以曲线没有交点，故④正确.
故答案为：①②③④
【小结】
解题的关键是根据题意，分类讨论，得到不同的解析式，再画图求解，考查分类讨论，数形结合的能力，属基础题.
45．10
【分析】
由已知可得，，三点共线，先设与轴的夹角为，为在轴上的投影，从而有线段在轴上的投影长度为，结合椭圆方程及基本不等式可求．
【解析】
，
，则，，三点共线，
，
设与轴的夹角为，为在轴上的投影，
则线段在轴上的投影长度为
，
当且仅当即时取得最大值10．
故答案为：10．
【小结】
方法小结：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
46．①②④
【分析】
对于①：，，圆心，半径，直线与圆相离；对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，，设.得到，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：为圆上的一个动点.若，设，利用参数方程解决即可.
【解析】
对于①：当时，直线，圆心，半径，直线与圆相离，故表述①正确；
对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述②正确；
本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：

设的中点为，以为直径作圆，连接．则

对于③：由垂径定理，，设.
一方面，若，则.
当且仅当，且三点共线时，等号成立，此时直线的斜率为.
另一方面，当时，直线.
故点到直线的距离.此时.
当且仅当为点在直线上的射影时等号成立，此时直线的斜率为.
对比发现，，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.
对于④：为圆上的一个动点.若，设，
则.
注意到，
故
当且仅当且点在点正上方时，等号成立.故表述④正确.
故答案为：①②④.
【小结】
本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键.
47．
【分析】
设的外接圆的圆心为，根据题设中给出的结论可构建关于的方程组，解方程组后可得的坐标.
【解析】
延长交轴于，则为锐角，

由题设，当在射线上时，
若取最大值，则有的外接圆与轴相切且切点为，
设为轴上的动点且在的左侧，则，
由为最大值角可得，
故当为轴上的动点且取最大值时，
在射线上且的外接圆与轴相切且切点为.
设该圆的圆心为，则且圆的半径为，
故，整理得到，解得或，
又直线的方程为，故，故舍去，
故的外接圆的圆心为，故.
故答案为：.
【小结】
方法小结：本题为即时应用类问题，注意根据给出的背景或结论来构建所设变量的方程组，另外对不适合题设给出的背景的另一类问题的讨论.
48．2
【分析】
不妨设，根据题意，列出方程，可求得T的轨迹方程，即为的轨迹方程，设，根据，可求得x，y的表达式，代入T的方程，化简整理，可得，即可得N的轨迹方程，根据椭圆的定义，即可求得答案.
【解析】
不妨设，则到直线的距离为，
又，
化简得：，
动点的轨迹方程为，
设
，，
将代入得：，
整理得：，
即，

，
又在曲线上，，，
，即，
的运动轨迹为半长轴，半短轴的椭圆，
，即，
点即为椭圆的两个焦点，
根据椭圆的定义可得，
故答案为：
【小结】
解题的关键是根据向量关系，得到坐标间的关系，结合的方程及题意，可得，再利用椭圆定义求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
49．
【分析】
延长至，使得,取切点，连，，作，由椭圆的光学性质得，所以，在直角中,分别求出,从而可得到，从而点的轨迹方程，，有且仅有两个点使得最接近，从而得出答案.
【解析】
如图，延长至，使得.

因为，故，，三点共线
因为为斜边上的中线，故
取切点，连，，作，由椭圆的光学性质得
，所以，
在直角中,可得
，
同理可得，
，即点的轨迹方程是；
由上分析可得，
要使有且仅有2条使得的面积最大，即有且仅有两个点使得最接近，即，故
所以离心率的最大值是.
故答案为：（1） （2）
【小结】
本题考查椭圆的切线的性质和求动点的轨迹方程以及椭圆离心率问题，解答本题的关键是在直角中,分别求出,以及由表示出其面积，属于难题.
50．
【分析】
若成立，分别讨论和时矛盾，可得，则得出，由三角形面积最大值得，求出，设，由余弦定理可得，由三角形面积得，即可求出最大值；设的外接圆的圆心，
设,其中，由，可得，令，则，利用导数求出，，即可求出.
【解析】
若成立，
显然当在左右顶点时，等式不成立，则和为锐角，
若，则，即，
则，即，则，
同理，，则，则，与已知矛盾；
若，则，即，
则，即，则，
同理，，则，则，与已矛盾，
综上，若成立，，
点在以AB为直径的圆上，该圆与椭圆恰有3个交点，由对称性，可得其中一个交点为椭圆的下顶点，，
的面积的最大值为，，
，可解得，
设，
在中，由余弦定理可得，
，则可得，
，
又，
，则，
由正弦定理可得，则，
，
当在下顶点时，最小，此时，取得最大值为；
可得的外接圆的圆心在轴上，设圆心为，
设,其中，
则，即，可得，
令，则，则
令，则，
当时，，单调递减，时，，单调递增，
，，
，，，
，
则，
则的外接圆面积.
故答案为：；.

【小结】
本题考查椭圆综合问题，解题的关键是判断出若成立，，从而求出.