北京市通州区2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份北京市通州区2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．已知2a=3b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0 D．全体实数
3．下列图形中有可能与图相似的是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（　　）

A． = B．＞ C．＜ D．无法确定
6．如图，图象对应的函数表达式为（　　）

A．y=5x B． C． D．
7．在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（1，﹣5） D．（0，﹣2）
8．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC=75米，∠ACB=55°，那么A和B之间的距离是（　　）米．

A．75•sin55° B．75•cos55° C．75•tan55° D．
9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，则对系数a和b判断正确的是（　　）

A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0
10．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，AB=8，BE=1.5，将沿着AD对折，对折之后的弧称为M，则点O与M所在圆的位置关系为（　　）

A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定
　
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．计算cos60°=　　．
12．把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为　　．
13．如图，A，B，C，D分别是∠α边上的四个点，且CA，DB均垂直于∠α的一条边，如果CA=AB=2，BD=3，那么tanα=　　．

14．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠BOC=118°，∠A=　　°．

15．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，那么关于x的方程x2﹣x﹣2=0的近似解为　　（精确到0.1）．

16．数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：
第一步：如图1，将残缺的纸片对折，使的端点A与端点B重合，得到图2；
第二步：将图2继续对折，使的端点C与端点B重合，得到图3；
第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．
老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是　　．

　
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．
18．计算：（π﹣3）0+4sin45°﹣+|1﹣|．
19．已知△ABC，求作△ABC的内切圆．

20．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．求证△ACD∽△EGH．

21．二次函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴交于A，B两个不同的点．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+1与双曲线y=相交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出直线和双曲线的示意图；
（3）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与y=﹣x+1及双曲线y=的交点分别为B和C，当点B位于点C上方时，根据图形，直接写出n的取值范围　　．
23．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB=8，∠A=22.5°，求CD的长．

24．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．
（1）你选用的工具为：　　；（填序号即可）
（2）画出图形．

25．如图，在△ABC中，F是AB上一点，以AF为直径的⊙O切BC于点D，交AC于点G，AC∥OD，OD与GF交于点E．
（1）求证：BC∥GF；
（2）如果tanA=，AO=a，请你写出求四边形CGED面积的思路．

26．有这样一个问题：探究函数y=x﹣的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=x﹣的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x﹣的自变量x的取值范围是　　；
（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣


m
…
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是（﹣2，﹣），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）　　．

27．已知：过点A（3，0）直线l1：y=x+b与直线l2：y=﹣2x交于点B．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线y=ax2+bx+c经过点A，求抛物线的表达式；
（3）直线x=﹣1分别与直线l1，l2交于C，D两点，当抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，求a的取值范围．
28．在等边△ABC中，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），∠AEF=60°，EF交△ABC外角平分线CD于点F．
（1）如图1，当点E是BC的中点时，请你补全图形，直接写出的值，并判断AE与EF的数量关系；
（2）当点E不是BC的中点时，请你在图（2）中补全图形，判断此时AE与EF的数量关系，并证明你的结论．

29．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．
（1）写出反比例函数y=图象上的一个“和谐点对”；
（2）已知二次函数y=x2+mx+n，
①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；
②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．
　

2017-2018学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．已知2a=3b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】S1：比例的性质．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：两边都除以2b，得
=，
故选：B．
　
2．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0 D．全体实数
【考点】G4：反比例函数的性质．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0解答．
【解答】解：函数y=中自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
　
3．下列图形中有可能与图相似的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】S5：相似图形．
【分析】根据相似图形的定义直接判断即可．
【解答】解：观察图形知该图象是一个四边形且有一个角为直角，只有C符合，
故选C．
　
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【分析】利用勾股定理求出AB的长度，然后根据sinB=代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠C=Rt∠，AC=4，BC=3，
∴AB===5，
∴sinB==．
故选D．
　
5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（　　）

A． = B．＞ C．＜ D．无法确定
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据平行线的性质得∠DAC=∠ACB，根据圆周角定理得=．
【解答】证明：连接AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴=．
故选：A．

　
6．如图，图象对应的函数表达式为（　　）

A．y=5x B． C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象．
【分析】根据函数的图象的形状及位置确定函数的表达式即可．
【解答】解：∵函数的图象为双曲线，
∴为反比例函数，
∵反比例函数的图象位于二、四象限，
∴k＜0，
只有D符合，
故选D．
　
7．在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（1，﹣5） D．（0，﹣2）
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐一检验．
【解答】解：A、x=2时，y=﹣2（x﹣1）2=﹣2≠3，点（2，3）不在抛物线上，
B、x=﹣2时，y=﹣2（x﹣1）2=﹣18≠3，点（﹣2，3）不在抛物线上，
C、x=1时，y=﹣2（x﹣1）2=0≠﹣5，点（1，﹣5）不在抛物线上，
D、x=0时，y=﹣2（x﹣1）2=﹣2，点（0，﹣2）在抛物线上，
故选D．
　
8．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC=75米，∠ACB=55°，那么A和B之间的距离是（　　）米．

A．75•sin55° B．75•cos55° C．75•tan55° D．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB．根据三角函数的定义解答．
【解答】解：根据题意，在Rt△ABC，有AC=75，∠ACB=55°，且tanα=，
则AB=AC×tan55°=75•tan55°，
故选C．
　
9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，则对系数a和b判断正确的是（　　）

A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．
【解答】解：由题意知，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，
则函数图象如图所示，

∴a＞0，﹣＜0，
∴b＞0，
故选：A．
　
10．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，AB=8，BE=1.5，将沿着AD对折，对折之后的弧称为M，则点O与M所在圆的位置关系为（　　）

A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定
【考点】M8：点与圆的位置关系；M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】作辅助线，根据垂径定理得：AF=FD=AD，根据直径得出半径的长为4，根据勾股定理计算得出ED和AD的长，接着计算OF和FH的长，做比较，O与新圆心的距离小于半径的长，得出结论．
【解答】解：过O作OF⊥AD，交⊙O于G，交M于H，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，AB=8，
∴OA=OB=OG=OD=4，
∵BE=1.5，
∴OE=4﹣1.5=2.5，
在Rt△OED中，由勾股定理得：DE===，
在RtAED中，AD====2，
∵OF⊥AD，
∴AF=AD=，
由勾股定理得：OF===，
由折叠得：M所在圆与圆O是等圆，
∴M所在圆的半径为4，
∴FH=FG=4﹣，
∵4﹣＞，
∴FH＞OF，
∴O在M所在圆内，
故选B．

　
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．计算cos60°=　　．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据记忆的内容，cos60°=即可得出答案．
【解答】解：cos60°=．
故答案为：．
　
12．把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为　y=（x﹣1）2+2　．
【考点】H9：二次函数的三种形式．
【分析】根据配方法的操作整理即可得解．
【解答】解：y=x2﹣2x+3，
=x2﹣2x+1+2，
=（x﹣1）2+2，
所以，y=（x﹣1）2+2．
故答案为：y=（x﹣1）2+2．
　
13．如图，A，B，C，D分别是∠α边上的四个点，且CA，DB均垂直于∠α的一条边，如果CA=AB=2，BD=3，那么tanα=　　．

【考点】T7：解直角三角形．
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴∠OAC=∠OBD=90°，
∴tanα=，
∵CA=AB=2，BD=3，
∴，
∴OA=4，
∴tanα==；
故答案为：．

　
14．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠BOC=118°，∠A=　56　°．

【考点】MI：三角形的内切圆与内心．
【分析】先根据∠BOC=118°求出∠OBC+∠OCB的度数，再由角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOC=118°，
∴∠OBC+∠OCB=180°﹣118°=62°．
∵点O是△ABC的∠ABC与∠ACB两个角的角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=124°，
∴∠A=180°﹣124°=56°．
故答案为：56．
　
15．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，那么关于x的方程x2﹣x﹣2=0的近似解为　x1=﹣1.3，x2=4.3　（精确到0.1）．

【考点】HB：图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方程的近似根．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的两个交点分别是（﹣1.3，0）、（4.3，0），
又∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的两个交点，就是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，
∴方程x2﹣x﹣2=0的两个近似根是4.3或﹣1.3
故答案为x1=﹣1.3，x2=4.3．
　
16．数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：
第一步：如图1，将残缺的纸片对折，使的端点A与端点B重合，得到图2；
第二步：将图2继续对折，使的端点C与端点B重合，得到图3；
第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．
老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是　轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等　．

【考点】N3：作图—复杂作图；M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】由圆心到圆上各点的距离相等知圆心在AB和BC的中垂线上，再结合轴对称图形的性质知两条折痕即为AB、BC的中垂线，从而得出答案．
【解答】解：如图，

第一步对折由轴对称图形可知OC是AB的中垂线，点O在AB中垂线上；
第二步对折由轴对称图形可知OD是BC的中垂线，点O在BC中垂线上；
从而得出点O在AB、BC中垂线交点上，
故答案为：轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等．
　
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：3tan30°+cos245°﹣sin60°
=
=．
　
18．计算：（π﹣3）0+4sin45°﹣+|1﹣|．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：
=
=1+2﹣2+﹣1
=．
　
19．已知△ABC，求作△ABC的内切圆．

【考点】N3：作图—复杂作图；MI：三角形的内切圆与内心．
【分析】圆心到各边的距离相等所以要作各角的角平分线的交点，交点就是圆的圆心，圆的半径是圆心到各边的距离．
【解答】解：

　
20．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．求证△ACD∽△EGH．

【考点】S8：相似三角形的判定；S6：相似多边形的性质．
【分析】根据四边形ABCD∽四边形EFGH相似的性质，得出对应边的必相等，对应角相等，从而得出△ACD∽△EGH．
【解答】证明：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴，
∴△ADC∽△EHG．
　
21．二次函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴交于A，B两个不同的点．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）根据二次函数与x轴有两个不同的交点结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将m=1代入原函数解析式，令y=0求出x值，进而即可找出点A、B的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴交于A，B两个不同的点，
∴一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣1）=4m+5＞0，
解得：m＞﹣．
（2）当m=1时，原二次函数解析式为y=x2+3x，
令y=x2+3x=0，
解得：x1=﹣3，x2=0，
∴当m=1时，A、B两点的坐标为（﹣3，0）、（0，0）．
　
22．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+1与双曲线y=相交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出直线和双曲线的示意图；
（3）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与y=﹣x+1及双曲线y=的交点分别为B和C，当点B位于点C上方时，根据图形，直接写出n的取值范围　0＜n＜2，n＜﹣1　．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求出m，把点A的坐标代入反比例函数解析式，计算即可；
（2）根据题意画出图象；
（3）结合图象解答．
【解答】解（1）∵点A（m，2）在直线y=﹣x+1上，
∴﹣m+1=2，
解得，m=﹣1，
∴A（﹣1，2），
∵点A（﹣1，2）在双曲线y=上，
∴k=﹣2，
∴反比例函数的表达式为：y=﹣；
（2）直线和双曲线的示意图如图所示：
（3）由图象可知，
当0＜n＜2，n＜﹣1时，点B位于点C上方．

　
23．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB=8，∠A=22.5°，求CD的长．

【考点】M2：垂径定理．
【分析】根据圆周角定理得出∠COE的度数，在Rt△ACE中，由三角函数的定义得出CE，再由垂径定理得出CD即可．
【解答】解：∵AB=8，
∴OC=OA=4，
∵∠A=22.5°，
∴∠COE=2∠A=45°，
∵直径AB垂直弦CD于E，
∴，
∴．
　
24．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．
（1）你选用的工具为：　①③　；（填序号即可）
（2）画出图形．

【考点】T8：解直角三角形的应用；SA：相似三角形的应用．
【分析】（1）利用测角仪以及足够长的皮尺即可解决问题；
（2）根据仰角的知识，确定测量方案，进而得出答案．
【解答】解：（1）选用的工具为：①③；
故答案为：①③；

（2）如图所示：可以量出AM，AC，AB的长，以及α，β的度数，即可得出DC，NC的长．

　
25．如图，在△ABC中，F是AB上一点，以AF为直径的⊙O切BC于点D，交AC于点G，AC∥OD，OD与GF交于点E．
（1）求证：BC∥GF；
（2）如果tanA=，AO=a，请你写出求四边形CGED面积的思路．

【考点】MC：切线的性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据切线的性质，可得OD⊥BC，利用平行线的性质可证得∠C=90°，由AF为直径，可得∠AGF=90°，进而可得BC∥GF；
（2）先证明四边形CGED为矩形，再根据锐角三角函数、勾股定理求GF，OE，DE的长，进而可求四边形CGED的面积．
【解答】证明：（1）∵⊙O切BC于点D，
∴OD⊥BC，
∵AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90°，
∵AF为⊙O直径，
∴∠AGF=90°=∠C，
∴BC∥GF．
解：（2）∵AC∥OD，BC∥GF
∴四边形CGED为平行四边形，
∵∠C=90°，
∴四边形CGED为矩形，
∵tanA=，
∴sinA=，
∵AF=2AO=2a，OF=a，
∴GF=AF•sinA=2a×=，
∵OD⊥BC，
∴GE=EF==，
在Rt△OEF中，OE===，
∴DE=OD﹣OE=a﹣=，
∴S四边形CGED=GE•DE=×=．
　
26．有这样一个问题：探究函数y=x﹣的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=x﹣的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x﹣的自变量x的取值范围是　x≠0　；
（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣


m
…
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是（﹣2，﹣），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）　当x＞0时，y随x的增大而增大　．

【考点】H3：二次函数的性质；62：分式有意义的条件；H2：二次函数的图象；H7：二次函数的最值．
【分析】（1）由分母不为0，可得出自变量x的取值范围；
（2）将x=4代入函数表达式中，即可求出m值；
（3）连线，画出函数图象；
（4）观察函数图象，找出函数性质．
【解答】解：（1）∵x2在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当x=4时，m=x﹣=×4﹣=．
（3）连线，画出函数图象，如图所示．
（4）观察图象，可知：当x＞0时，y随x的增大而增大．
故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．

　
27．已知：过点A（3，0）直线l1：y=x+b与直线l2：y=﹣2x交于点B．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线y=ax2+bx+c经过点A，求抛物线的表达式；
（3）直线x=﹣1分别与直线l1，l2交于C，D两点，当抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，求a的取值范围．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；F5：一次函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；H9：二次函数的三种形式．
【分析】（1）将点A的坐标代入直线l1，求出其函数表达式，联立直线l1、l2表达式成方程组，解方程组即可得出点B的坐标；
（2）设抛物线y=ax2+bx+c的顶点式为y=a（x﹣h）2+k，由抛物线的顶点坐标即可得出y=a（x﹣1）2﹣2，再根据点C的坐标利用待定系数法即可得出结论；
（3）根据两直线相交，求出点C、D的坐标，将其分别代入y=a（x﹣1）2﹣2中求出a的值，由此即可得出抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，a的取值范围．
【解答】解：（1）将A（3，0）代入直线l1：y=x+b中，
0=3+b，解得：b=﹣3，
∴直线l1：y=x﹣3．
联立直线l1、l2表达式成方程组，
，解得：，
∴点B的坐标为（1，﹣2）．
（2）设抛物线y=ax2+bx+c的顶点式为y=a（x﹣h）2+k，
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（1，﹣2），
∴y=a（x﹣1）2﹣2，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A，
∴a（3﹣1）2﹣2=0，解得：a=，
∴抛物线的表达式为y=（x﹣1）2﹣2．
（3）∵直线x=﹣1分别与直线l1，l2交于C、D两点，
∴C、D两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（﹣1，2），
当抛物线y=ax2+bx+c过点C时，a（﹣1﹣1）2﹣2=﹣4，
解得：a=﹣；
当抛物线y=ax2+bx+c过点D时，a（﹣1﹣1）2﹣2=2，
解得：a=1．
∴当抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，a的取值范围为﹣≤a≤1且a≠0．
　
28．在等边△ABC中，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），∠AEF=60°，EF交△ABC外角平分线CD于点F．
（1）如图1，当点E是BC的中点时，请你补全图形，直接写出的值，并判断AE与EF的数量关系；
（2）当点E不是BC的中点时，请你在图（2）中补全图形，判断此时AE与EF的数量关系，并证明你的结论．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】（1）由等边三角形的性质得到∠EAC=30°，得到∠CEF=30°，求得∠ECF=120°，得到∠EFC=30°，推出AC垂直平分EF，得到△AEF是等边三角形，于是得到结论；
（2）连接AF，EF与AC交于点G．由CD是它的外角平分线．得到∠ACF=60°=∠AEF，根据相似三角形的性质得到，∠AFE=∠ACB=60°，得到△AEF为等边三角形，于是得到结论．
【解答】解：（1）；
∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠EAC=30°，
∵∠AEF=60°，
∴∠CEF=30°，
∵CD平分△ABC外角，
∴∠ECF=120°，
∴∠EFC=30°，
∴CE=CF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF；
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF；
（2）连接AF，EF与AC交于点G．
∵在等边△ABC中，CD是它的外角平分线．
∴∠ACF=60°=∠AEF，
∵∠AGE=∠FGC
∴△AGE∽△FGC，
∴，
∴，
∵∠AGF=∠EGC，
∴△AGF∽△EGC，
∵∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF．


　
29．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．
（1）写出反比例函数y=图象上的一个“和谐点对”；
（2）已知二次函数y=x2+mx+n，
①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；
②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；
（2）①由A、B为和谐点对可求得点B的坐标，则可得到关于m、n的方程组，可求得其值；②当M在x轴上方时，可先求得∠AMB为直角时对应的M点的坐标，当点M向上运动时满足∠AMB为锐角；当点M在x轴下方时，同理可求得b的取值范围．
【解答】解：
（1）∵y=，
∴可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；
（2）①∵A（2，4）且A和B为和谐点对，
∴B点坐标为（﹣2，﹣4），
将A和B两点坐标代入y=x2+mx+n，可得，
∴；
②（ⅰ） M点在x轴上方时，
若∠AMB 为直角（M点在x轴上），则△ABC为直角三角形，
∵A（2，4）且A和B为和谐点对，
∴原点O在AB线段上且O为AB中点，
∴AB=2OA，
∵A（2，4），
∴OA=，
∴AB=，
在Rt△ABC中，
∵O为AB中点
∴MO=OA=，
若∠AMB 为锐角，则；
（ⅱ） M点在x轴下方时，同理可得，，
综上所述，b的取值范围为或．