广东省江门市2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份广东省江门市2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年广东省江门市九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+=0 B．x3+x﹣1=0 C．x2﹣2xy+y2=0 D．x2+2x﹣3=0
2．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）
4．反比例函数y=经过（　　）象限．
A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+2）2=11 B．（x﹣2）2=11 C．（x+4）2=23 D．（x﹣4）2=23
6．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．成语“水中捞月”所描述的事件是（　　）事件．
A．必然 B．随机 C．不可能 D．无法确定
8．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°，得到△OA1B1，求∠A1OB的度数（　　）

A．100° B．70° C．40° D．30°
9．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜3
10．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y=x2﹣2x﹣3的开口方向是向　　．
12．方程x2﹣9=0的解是　　．
13．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是　　．
14．已知反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是　　．
15．如图，已知△ABC是圆内接三角形，若∠OCB=15°，则∠A=　　度．

16．如图，2016年里约奥运会上，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=﹣x2+x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为　　米．

　
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
18．江门市统计局与国家统计局江门调查队联合发布2015年江门市国民经济和社会发展统计公报．公报显示，经初步核算，2015年江门全市实现地区生产总值（GDP）2420亿元，而2013年生产总值（GDP）为2000亿元，如果2014、2015年江门市GDP逐年增加，求这两年我市GDP的年平均增长率．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，求AA′的长．

　
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x+1，x，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张、第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．

（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；
（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．

22．已知平行四边形ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形；
（2）求出此时菱形的边长．
　
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标；
（3）求△AOC的面积．

24．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．

25．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

　

2017-2018学年广东省江门市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+=0 B．x3+x﹣1=0 C．x2﹣2xy+y2=0 D．x2+2x﹣3=0
【考点】A1：一元二次方程的定义．
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】解：A、x2+=0，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、x3+x﹣1=0，不是一元二次方程，故此选项错误；
C、x2﹣2xy+y2=0，不是一元二次方程，故此选项错误；
D、x2+2x﹣3=0，是一元二次方程，故此选项正确；
故选：D．
　
2．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
　
3．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】利用抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k直接求出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），
∴y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．
故选B．
　
4．反比例函数y=经过（　　）象限．
A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四
【考点】G4：反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的比例系数判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y=中k=1＞0，
∴图象在一三象限，
故选A．
　
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+2）2=11 B．（x﹣2）2=11 C．（x+4）2=23 D．（x﹣4）2=23
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】先把方程变形为x2﹣4x=7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x﹣2）2=11即可．
【解答】解：x2﹣4x=7，
x2﹣4x+4=11，
所以（x﹣2）2=11．
故选B．
　
6．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
【分析】由小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6道，数学题5道，综合题9道，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6道，数学题5道，综合题9道，
∴她从中随机抽取1道，抽中数学题的概率是： ==，
故选：C．
　
7．成语“水中捞月”所描述的事件是（　　）事件．
A．必然 B．随机 C．不可能 D．无法确定
【考点】X1：随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【解答】解：水中捞月是不可能事件，
故选C．
　
8．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°，得到△OA1B1，求∠A1OB的度数（　　）

A．100° B．70° C．40° D．30°
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】根据∠A1OB=∠BOB1﹣∠AOB即可求解．
【解答】解：∠BOB1=100°，∠AOB=30°，
则∠A1OB=∠BOB1﹣∠AOB=100°﹣30°=70°．
故选B．
　
9．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜3
【考点】HC：二次函数与不等式（组）；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．
【解答】解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜3．
故选：D．
　
10．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【考点】MO：扇形面积的计算；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】连接OE，根据CE⊥OA且OA=4可知OC=2，求出cos∠EOC=，由此可得出∠COE的度数，进而得出∠BOE的度数，根据S阴影=S扇形AOB﹣S扇形ACD﹣S扇形BOE﹣S△COE即可得出结论．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵C为OA的中点，CE⊥OA且OA=4，
∴OC=2，
∴cos∠EOC==，CE==2，
∴∠COE=60°．
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE=30°，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形ACD﹣S扇形BOE﹣S△COE
=﹣﹣﹣×2×2=﹣2．
故选：D．

　
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数y=x2﹣2x﹣3的开口方向是向　上　．
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质由a=1＞0即可得到抛物线的开口向上．
【解答】解：∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上．
故答案为上．
　
12．方程x2﹣9=0的解是　x=±3　．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．
【解答】解：x2﹣9=0即（x+3）（x﹣3）=0，所以x=3或x=﹣3．
故答案为：x=±3．
　
13．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是　（﹣1，3）　．
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
　
14．已知反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是　k＜1　．
【考点】G4：反比例函数的性质．
【分析】由反比例函数的性质，可得1﹣k＞0，解得即可．
【解答】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1﹣k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
　
15．如图，已知△ABC是圆内接三角形，若∠OCB=15°，则∠A=　75　度．

【考点】MA：三角形的外接圆与外心．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB=15°，求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=15°，
∴∠AOB=150°，
由圆周角定理得，∠A=∠AOB=75°，
故答案为：75．
　
16．如图，2016年里约奥运会上，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=﹣x2+x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为　　米．

【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】直接利用配方法得出二次函数的最值，进而得出运动员在空中运动的最大高度离水面的距离．
【解答】解：∵y=﹣x2+x
=﹣（x2﹣x）
=﹣（x﹣）2+，
∴y的最大值为：，
∴运动员在空中运动的最大高度离水面为：10+=10（m）．
故答案为：10．
　
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=．
　
18．江门市统计局与国家统计局江门调查队联合发布2015年江门市国民经济和社会发展统计公报．公报显示，经初步核算，2015年江门全市实现地区生产总值（GDP）2420亿元，而2013年生产总值（GDP）为2000亿元，如果2014、2015年江门市GDP逐年增加，求这两年我市GDP的年平均增长率．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】设这两年我市GDP的年平均增长率为x，根据2013年生产总值（GDP）为2000亿元，2015年江门全市实现地区生产总值（GDP）2420亿元，列出方程，求解即可．
【解答】解：设这两年我市GDP的年平均增长率为x，依题意得：
2000（1+x）2=2420，
解得x1=0.1x2=﹣2.1（不合题意，舍去），
答：这两年我市GDP的年平均增长率为10%．
　
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，求AA′的长．

【考点】R2：旋转的性质；KO：含30度角的直角三角形．
【分析】利用直角三角形的性质得出AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2，进而得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2
∴∠CAB=30°，AB=4，
∵由已知可得：AB=A′B′=4，AC=A′C，
∴∠A′AC=∠A′=30°，
又∵∠A′B′C=∠B=60°
∴∠A′AC=∠B′CA=30°，
∴AB′=B′C=2，
∴AA′=2+4=6．

　
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x+1，x，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张、第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．

（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；
（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；61：分式的定义．
【分析】（1）列举出不放回的2次实验的所有情况即可；
（2）看抽取的两张卡片结果能组成分式的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：
（1）树状图：

列表法：

（2）共有6种情况，能组成的分式的有，，， 4种情况，所以P分式=．
　
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．

【考点】R8：作图﹣旋转变换；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面积公式求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；

（2）∵AB==5，
∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： =π．

　
22．已知平行四边形ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形；
（2）求出此时菱形的边长．
【考点】LA：菱形的判定与性质；AA：根的判别式．
【分析】（1）根据题意△=0，构建方程，解方程即可．
（2）把m=1代入方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形，则方程有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣m）2﹣4（﹣）=0，
即m2﹣2m+1=0，
解得 m=1，
所以当m=1时，四边形ABCD为菱形．

（2）把m=1代入原方程得x2﹣x+=0，
解得
所以菱形的边长为．
　
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B且S△ABO=．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标；
（3）求△AOC的面积．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）设出A坐标（x，y），表示出OB与AB，进而表示出三角形ABO面积，由已知面积确定出反比例函数k的值，进而确定出一次函数；
（2）联立反比例函数与一次函数解析式，求出A与C坐标即可；
（3）由一次函数解析式求出D坐标，确定出OD的长，三角形AOC面积=三角形AOD面积+三角形COD面积，求出即可．
【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO=•|OB|•|AB|=•（﹣x）•y=，
∴xy=﹣3，
又∵y=，
∴k=﹣3，
∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；

（2）A、C两点坐标满足，
解得：，，
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1）；
（3）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．
∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
则S△AOC=×2×1+×2×3=4．

　
24．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．

【考点】MD：切线的判定．
【分析】（1）由垂直定义得∠A+∠APO=90°，根据等腰三角形的性质由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；
（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到（）2+x2=（x+1）2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90°，
∴∠A+∠APO=90°，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：设BC=x，则PC=x，
在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，
∵OB2+BC2=OC2，
∴（）2+x2=（x+1）2，
解得x=2，
即BC的长为2．

　
25．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；
（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
【解答】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），
将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2，
将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）如答图1，设MN交x轴于点E，
则E（t，0），BE=4﹣t．
∵tan∠ABO===，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．
又N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2，
∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t，
∴当t=2时，MN有最大值4；

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2），
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，
易得D1N的方程为y=x+6，D2M的方程为y=x﹣2，
由两方程联立解得D为（4，4）
故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．