2021-2022学年广东省湛江市遂溪县大成中学九年级（上）期中数学模拟试卷（解析版）

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2017-2018学年广东省湛江市遂溪县大成中学九年级（上）期中数学模拟试卷
　
一.单选题（共10题；共30分）
1．（3分）将二次函数y=3x2的图象向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y=3（x+3）2﹣4 B．y=3（x+3）2+4 C．y=3（x﹣3）2+4 D．y=3（x﹣3）2﹣4
2．（3分）如右图，已知圆的半径是5，弦AB的长是6，则弦AB的弦心距是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．8
3．（3分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　）
A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=500
4．（3分）关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100 D．常数项是20000
5．（3分）下列函数中属于二次函数的是（　　）
A．y=2x﹣1 B．y=ax2﹣1 C．y=2（x﹣1）2﹣2x2 D．y=（x﹣1）（）
6．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）袋中有8个红球和若干个黑球，小强从袋中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了50次，共有16次摸出红球，据此估计袋中有黑球（　　）个．
A．15 B．17 C．16 D．18
8．（3分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
9．（3分）已知一个直角三角形的周长是4+，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是（　　）
A．5 B． C． D．1
10．（3分）已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则这个圆锥的侧面积为（　　）
A．12π cm2 B．15π cm2 C．20π cm2 D．25π cm2
　
二.填空题（共8题；共24分）
11．（3分）在半径为3的⊙O中，弦AB的长为3，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是　 　．
12．（3分）某班级中有男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是，则抽到女生的概率是　 　．
13．（3分）在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成8个部分，4个圆把平面最多分成14个部分，那么10个圆把平面最多分成　 　个部分．
14．（3分）已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为　 　cm2．（结果保留π）
15．（3分）方程x2﹣4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是　 　．
16．（3分）已知直径长为6的扇形的圆心角为150°，则此扇形的面积为　 　（结果保留π）
17．（3分）如图，扇形的圆心角为120°，半径为6，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为　 　．

18．（3分）袋中有三个小球，分别为1个红球和2个黄球，它们除颜色外完全相同．随机取出一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球颜色不相同的概率为　 　．
　
三.解答题（共6题；共51分）
19．（8分）用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？
20．如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，点C在⊙O上，AC=PC，∠ACP=120°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若AB=4cm，求图中阴影部分的面积．

21．（9分）△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12，点P在AB上，点Q在AC上，如图所示，正方形PQRS（RS与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y．
（1）当RS落在BC上时，求x；
（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式；
（3）求公共部分面积的最大值．

22．（8分）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，D为优弧AC上的一点，ED为⊙O的一条弦，交AB于点H，交AC于点F，过点C画⊙O的切线交ED的延长线于点P，且PC=PF．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）当点D为优弧AC的中点时，连接AD，若DF=3、AD=4，求EF的长及sin∠BED的值．

23．（8分）赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）．

24．（8分）在长为8cm、宽为5cm的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．

　
四.综合题（共15分）
25．（15分）如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

　

2017-2018学年广东省湛江市遂溪县大成中学九年级（上）期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析
　
一.单选题（共10题；共30分）
1．（3分）将二次函数y=3x2的图象向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y=3（x+3）2﹣4 B．y=3（x+3）2+4 C．y=3（x﹣3）2+4 D．y=3（x﹣3）2﹣4
【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y=3x2的图象向右平移3个单位，得到的图象的表达式是y=3（x﹣3）2．
二次函数y=3（x﹣3）2的图象再向下平移4个单位，得到的图象的表达式是y=3（x﹣3）2﹣4．
故选：D．
　
2．（3分）如右图，已知圆的半径是5，弦AB的长是6，则弦AB的弦心距是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．8
【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD=AB=×6=3，
∵圆的半径是5，即OA=5，
∴在Rt△AOD中，
OD===4．
故选：B．

　
3．（3分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　）
A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=500
【解答】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）2=720；
故选：B．
　
4．（3分）关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100 D．常数项是20000
【解答】解：y=﹣10x2+400x+20000，
A、y是x的二次函数，故A正确；
B、二次项系数是﹣10，故B正确；
C、一次项是100x，故C正确；
D、常数项是20000，故D正确；
故选：C．
　
5．（3分）下列函数中属于二次函数的是（　　）
A．y=2x﹣1 B．y=ax2﹣1 C．y=2（x﹣1）2﹣2x2 D．y=（x﹣1）（）
【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a=0时，不是二次函数，故此选项错误；
C、整理后，二次项系数为0，不是二次函数，故此选项错误；
D、符合二次函数定义，故此选项正确，
故选：D．
　
6．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（　　）[来源:学+科+网Z+X+X+K]

A． B． C． D．
【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r﹣m）（r+m）=m•QD，所以QD=．
连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．

　
7．（3分）袋中有8个红球和若干个黑球，小强从袋中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了50次，共有16次摸出红球，据此估计袋中有黑球（　　）个．
A．15 B．17 C．16 D．18
【解答】解：∵共摸了50次，其中16次摸到红球，
∴有34次摸到黑球，
∴摸到红球与摸到黑球的次数之比为8：17，
∴口袋中红球和黑球个数之比为8：17，
黑球的个数8÷=17（个）．
故选：B．
　
8．（3分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，
配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，
故选：C．
　
9．（3分）已知一个直角三角形的周长是4+，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是（　　）
A．5 B． C． D．1
【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴斜边c=2×2=4，
∵直角三角形的周长是4+，
∴a+b+c=4+，
∴
∴
∴ab= [（a+b）2﹣（a2+b2）]=×（26﹣16）=5，
故s三角形=ab=．
故选：B．
　
10．（3分）已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则这个圆锥的侧面积为（　　）
A．12π cm2 B．15π cm2 C．20π cm2 D．25π cm2
【解答】解：底面半径是： =3，则底面周长是6π，
则圆锥的侧面积是：×6π×5=15π．
故选：B．
　
二.填空题（共8题；共24分）
11．（3分）在半径为3的⊙O中，弦AB的长为3，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是　60°　．
【解答】解：：如图，∵AB=3，
而OA=OB=3，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
即弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为60°．[来源:Z&xx&k.Com]
故答案为60°．

　
12．（3分）某班级中有男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是，则抽到女生的概率是　　．
【解答】解：∵抽到男生的概率是，
∴抽到女生的概率是1﹣=．
故答案为：．
　
13．（3分）在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成8个部分，4个圆把平面最多分成14个部分，那么10个圆把平面最多分成　92　个部分．
【解答】解：∵1个圆把平面分成部分=2，
2个圆把平面最多分成的部分=2+2=4，
3个圆把平面最多分成的部分=2+2+4=2+2（1+2）=8，
4个圆把平面最多分成的部分=2+2（1+2+3）=14，
∴10个圆把平面最多分成的部分=2+2（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=92．
故答案为92．
　
14．（3分）已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为　60π　cm2．（结果保留π）
【解答】解：圆锥的母线==10cm，
圆锥的底面周长2πr=12πcm，
圆锥的侧面积=lR=×12π×10=60πcm2．
故答案为60π．
　
15．（3分）方程x2﹣4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是　c＜4　．
【解答】解：由题意得△=b2﹣4ac=16﹣4c＞0，
解得c＜4，
故答案为c＜4．
　
16．（3分）已知直径长为6的扇形的圆心角为150°，则此扇形的面积为　　（结果保留π）
【解答】解：∵半径长为3的扇形的圆心角为150°，
∴此扇形的面积==．
故答案为：．
　
17．（3分）如图，扇形的圆心角为120°，半径为6，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为　2　．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
扇形的弧长为： =4π，
则2πr=4π，
解得，r=2，
故答案为：2．
　
18．（3分）袋中有三个小球，分别为1个红球和2个黄球，它们除颜色外完全相同．随机取出一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球颜色不相同的概率为　　．
【解答】解：列表得：

红
黄
黄
红
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
黄
（黄，红）
（黄，黄）
（黄，黄）
黄
（黄，红）
（黄，黄）
（黄，黄）
由列表可知共有9种可能情况，其中两次取出的小球颜色不相同的有4种，
所以两次取出的小球颜色不相同的概率=，
故答案为：．
　
三.解答题（共6题；共51分）
19．（8分）用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？
【解答】解：设宽为x cm，则长为：（400﹣x）cm，
故它的面积y与x之间的函数关系式为：
y=（400﹣x）x
=﹣x2+400x．[来源:学*科*网]
故y是x的二次函数．
　
20．如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，点C在⊙O上，AC=PC，∠ACP=120°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若AB=4cm，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OC．
∵∠ACP=120°，AC=PC，
∴∠A=∠P==30°，
∴∠COP=2∠A=60°，
在△OCP中，∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°．
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：AB=4cm，
则OC=AB=2cm，
∵直角△OCP中，∠P=30°，
∴OP=2OC=4，
∴CP=，
∴S△OCP=OC•CP=×2×2=2（cm2），
S扇形OCB=（cm2），
则阴影部分的面积=2﹣（cm2）．

　
21．（9分）△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12，点P在AB上，点Q在AC上，如图所示，正方形PQRS（RS与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y．
（1）当RS落在BC上时，求x；
（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式；
（3）求公共部分面积的最大值．

【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D交PQ于E，则AD=4，
由△APQ∽△ABC，得，故x=．

（2）①当RS落在△ABC外部时，由△APQ∽△ABC，得AE=，
故y=x（4﹣x）=﹣x2+4x（＜x≤6）；
②当RS落在△ABC内部时，y=x2（0＜x＜）．

（3）①当RS落在△ABC外部时，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣3）2+6 （＜x≤6），
∴当x=3时，y有最大值6，
②当RS落在BC边上时，由x=可知，y=，
③当RS落在△ABC内部时，y=x2（0＜x＜），
故比较以上三种情况可知：公共部分面积最大为6；

　
22．（8分）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，D为优弧AC上的一点，ED为⊙O的一条弦，交AB于点H，交AC于点F，过点C画⊙O的切线交ED的延长线于点P，且PC=PF．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）当点D为优弧AC的中点时，连接AD，若DF=3、AD=4，求EF的长及sin∠BED的值．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠CFP=∠AFH，
∴∠AFH+∠OAC=90°，
∴∠AHF=90°，
即：AB⊥ED．

（2）连接AE．
∵点D是弧AC中点，
∴∠DAF=∠DEA，
∵∠ADE=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴AD：ED=FD：AD，
∴AD2=DE•DF．
∴DE=，
∴EF=DE﹣DF=，
∵∠DAB=∠BED，
∴sin∠BED=sin∠DAB=．

　
23．（8分）赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）．

【解答】解：设O为圆心，作OD⊥AB于D，交弧AB于C，如图所示：
∵拱桥的跨度AB=37.4m，拱高CD=7.2m，
∴AD=AB=18.7m，
∴AD2=OA2﹣（OC﹣CD）2，即18.72=AO2﹣（AO﹣7.2）2，
解得：AO≈27.9m．[来源:Z#xx#k.Com]
即圆弧半径为27.9m．
答：赵州桥的主桥拱半径为27.9m

　
24．（8分）在长为8cm、宽为5cm的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．

【解答】解：设截去小正方形的边长为xcm，
根据题意得：4x2=8×5×（1﹣80%），
解得：x1=，x2=﹣（不合题意，舍去）．
答：截去小正方形的边长为cm．
　
四.综合题（共15分）
25．（15分）如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）代入解析式，得
，
解得．
∴抛物线的解析式是y=2x2+5x+2；
[来源:学科网]
（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2，
如图1，
设D点的坐标为（t，2t2+5t+2），过D作DE⊥x轴交AC于E点，
∴E点的坐标为（t，t+2），
DE=t+2﹣（2t2+5t+2）=﹣2t2﹣4t，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，
S△DAC=S△CDE+S△ADE=DE•h+DE（2﹣h）=DE•2=DE=﹣2t2﹣4t=﹣2（t+1）2+2
∵﹣2＜t＜0，
∴当t=﹣1时，△DCA的面积最大，此时D点的坐标为（﹣1，﹣1）；

（3）存在点H满足∠AMH=90°，
由（1）知M点的坐标为（﹣，﹣）
如图2：作MH⊥AM交x轴于点K（x，0），作MN⊥x轴于点N，
∵∠AMN+∠KMN=90°，∠NKM+∠KMN=90°，
∴∠AMN=∠NKM．
∵∠ANM=∠MNK，
∴△AMN∽△MKN，
∴=，
∴MN2=AN•NK，
∴（）2=（2﹣）（x+），
解得x=
∴K点坐标为（，0）
直线MK的解析式为y=x﹣，
∴，
把①代入②，化简得48x2+104x+55=0．
△=1042﹣4×48×55=64×4=256＞0，
∴x1=﹣，x2=﹣，将x2=﹣代入y=x﹣，
解得y=﹣
∴直线MK与抛物线有两个交点M、H，
∴抛物线上存在点H，满足∠AMH=90°，
此时点H的坐标为（﹣，﹣）．