2021-2022学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份2021-2022学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）二次函数y=3x2的对称轴是（　　）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y=0
2．（3分）在抛物线y=x2+2x﹣1上的一个点是（　　）
A．（1，2） B．（0，1） C．（0，0） D．（﹣1，2）
3．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）[来源:Z.xx.k.Com]
A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCE=70°，则∠A的度数是（　　）

A．110° B．70° C．55° D．35°
6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为24圆心O到AB的距离为5，则⊙O的半径为（　　）

A．12 B．12 C．13 D．12
7．（3分）已知圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是6cm，那么直线和圆的公共点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（3分）以原点为中心，把点A（3，6）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（　　）
A．（6，3） B．（﹣3，﹣6） C．（6，﹣3） D．（﹣6，3）
9．（3分）下列说法中，正确的个数为：①在等圆中，等弦对等弧；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于这条弦．（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（　　）
A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2
　
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分．
11．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为　 　．
12．（3分）二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为　 　．
13．（3分）已知二次函数y=﹣2x2+x+4，当x＜　 　时，y随x的增大而增大．
14．（3分）在“线段、等腰三角形、四边形、圆”这几个图形中，中心对称图形是　 　．
15．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P=52°，则∠C的度数为　 　．

16．（3分）已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为　 　．
17．（3分）已知点P（m，1）与点P′（5，n）关于点A（﹣2，3）对称，则m﹣n=　 　．
18．（3分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有　 　．（只需填写序号）
　
三、解答题：共46分．
19．（5分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），若自变量x一函数值y的部分对应值如表所示，求抛物线的解析式．
x
…
﹣1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0

0
…
20．（6分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AD为中线，⊙O的圆心在AD上且与腰AB相切于点E，求证：AC是⊙O的切线．

21．（7分）如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，求证：BE=DC．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（0，6），点P为线段AB上的动点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，当矩形PCOD面积最大时，求点P的坐标．

23．（10分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．
（Ⅰ）求证：OB⊥OC；
（Ⅱ）求CG的长．

24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（Ⅰ）求抛物线的对称轴及线段AB的长；
（Ⅱ）如抛物线的顶点为P，若∠APB=120°，求顶点P的坐标及a的值；
（Ⅲ）若a＞0，且在抛物线上存在点N，使得∠ANB=90°，是直接写出a的取值范围．
　

2017-2018学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）二次函数y=3x2的对称轴是（　　）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y=0
【解答】解：∵a=3，b=0，
∴二次函数y=3x2的对称轴是直线x=﹣=﹣=0．
故选：C．
　
2．（3分）在抛物线y=x2+2x﹣1上的一个点是（　　）
A．（1，2） B．（0，1） C．（0，0） D．（﹣1，2）
【解答】解：
当x=1时，y=1+2﹣1=2，故意点（1，2）在抛物线上，故A正确；
当x=0时，y=﹣1≠1，故点（0，1）和（0，0）不在抛物线上，故B、C不正确；
当x=﹣1时，y=1﹣2﹣1=﹣2≠2，故点（﹣1，2）不在抛物线上，故D不正确；
故选：A．
　
3．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
　
4．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）
【解答】解：因为y=﹣（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，5）．
故选：B．
　
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCE=70°，则∠A的度数是（　　）

A．110° B．70° C．55° D．35°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠BCE=70°，
故选：B．
　
6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为24圆心O到AB的距离为5，则⊙O的半径为（　　）

A．12 B．12 C．13 D．12
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=12，
则OA==13，
故选：C．
　
7．（3分）已知圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是6cm，那么直线和圆的公共点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：根据题意，可知圆的半径为5cm．
因为圆心到直线l的距离为6cm，
d＞r，[来源:Zxxk.Com]
直线和圆相离，
所以直线和圆的公共点的个数为0，
故选：A．
　
8．（3分）以原点为中心，把点A（3，6）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（　　）
A．（6，3） B．（﹣3，﹣6） C．（6，﹣3） D．（﹣6，3）
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣6，3）．

故选：D．
　
9．（3分）下列说法中，正确的个数为：①在等圆中，等弦对等弧；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于这条弦．（　　）[来源:Z。xx。k.Com]
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：在等圆中，等弦对的弧不一定是等弧，①错误；
直径所在的直线是圆的对称轴，②错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，③错误；
故选：A．
　
10．（3分）已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（　　）[来源:学科网ZXXK]
A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2
【解答】解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，
∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，
∴a＞0，36a+6b+c＞4a+2b+c，
∴8a＞﹣b，
∴﹣＜=4，
∴x0＜4．
故选：A．
　
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分．
11．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为　（2，﹣5）　．
【解答】解：点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为（2，﹣5），
故答案为：（2，﹣5）．
　
12．（3分）二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为　（﹣7，0）和（1，0）　．
【解答】解：当y=0时，有x2+6x﹣7=0，即（x+7）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣7，x2=1，
∴二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为（﹣7，0）和（1，0）．
故答案为：（﹣7，0）和（1，0）．
　
13．（3分）已知二次函数y=﹣2x2+x+4，当x＜　　时，y随x的增大而增大．
【解答】解：
∵y=﹣2x2+x+4=﹣2（x﹣）2+，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=，
∴当x＜时，y随x的增大而增大，
故答案为：．
　
14．（3分）在“线段、等腰三角形、四边形、圆”这几个图形中，中心对称图形是　线段、圆　．
【解答】解：在“线段、等腰三角形、四边形、圆”这几个图形中，中心对称图形是：线段、圆．
故答案为：线段、圆．
　
15．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P=52°，则∠C的度数为　64°　．

【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣52°=128°，
∴∠C=∠AOB=×128°=64°．
故答案为64°．
　
16．（3分）已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为　6　．
【解答】解：
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵OD=4，
∴AD=，
∴⊙O截y轴所得的弦长为6，
故答案为：6．
　
17．（3分）已知点P（m，1）与点P′（5，n）关于点A（﹣2，3）对称，则m﹣n=　﹣14　．
【解答】解：∵点P（m，1）与点P′（5，n）关于点A（﹣2，3）对称，
∴=﹣2， =3，
∴m=﹣9，n=5，
则m﹣n=﹣9﹣5=﹣14．
故答案为﹣14．
　
18．（3分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有　①②④　．（只需填写序号）
【解答】解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
①当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；
②当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得x=，x1=1，x2=﹣﹣，
|x2﹣x1|=+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
③当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时， =﹣＞，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
　
三、解答题：共46分．
19．（5分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），若自变量x一函数值y的部分对应值如表所示，求抛物线的解析式．
x
…
﹣1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0

0
…
【解答】解：由题意抛物线与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把（0，）代入，得﹣3a=，解得a=﹣，
所以抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），
即y=﹣x2+x+．
　
20．（6分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AD为中线，⊙O的圆心在AD上且与腰AB相切于点E，求证：AC是⊙O的切线．

【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．

　
21．（7分）如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，求证：BE=DC．

【解答】证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，
∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC．
　
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（0，6），点P为线段AB上的动点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，当矩形PCOD面积最大时，求点P的坐标．

【解答】解：设点P的横坐标为t，则OD=PC=t，
∵OA=6、OB=6，OA⊥OB，
∴∠B=30°，PC⊥OB，
∴BC===t，
∴OC=OB﹣BC=6﹣t，[来源:学科网]
则S矩形OCPD=OD•OC=t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，
∴当t=3时，S矩形OCPD取得最大值，
当t=3时，OC=6﹣3=3，
所以点P的坐标为（3，3）．
　
23．（10分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．
（Ⅰ）求证：OB⊥OC；
（Ⅱ）求CG的长．

【解答】解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC==10cm，
∴OF=4.8cm．
∴BF=3.6cm，
∵CF、CG分别与⊙O相切于F、G，
∴CG=CF=6.4cm．

　
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（Ⅰ）求抛物线的对称轴及线段AB的长；
（Ⅱ）如抛物线的顶点为P，若∠APB=120°，求顶点P的坐标及a的值；
（Ⅲ）若a＞0，且在抛物线上存在点N，使得∠ANB=90°，是直接写出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，即a（x+3）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，AB=4．

（Ⅱ）如图1所示：

设抛物线的对称轴与x轴交于点H．
∵∠APB=120°，AB=4，PH在对称轴上，
∴AH=2，∠APH=60°．
∴PH=．
∴点P的坐标为（﹣1，±）．
将点P的坐标代入得：±=﹣4a，解得a=±．

（Ⅲ）如图2所示：以AB为直径作⊙H．

∵当∠ANB=90°，
∴点N在⊙H上．
∵点N在抛物线上，
∴点N为抛物线与⊙H的交点．
∴点P在圆上或点P在圆外．
∴HP≥2．
∵将x=﹣1代入得：y=﹣4a．
∴HP=4a．
∴4a≥2，解得a≥．
∴a的取值范围是a≥．