初中数学第十三章 轴对称综合与测试测试题

这是一份初中数学第十三章 轴对称综合与测试测试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
轴对称
一、单选题
1.下列四个图案中，轴对称图形的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.（2020八上·孝义期末）点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. （-2，-3） B. （-2，3） C. （2，3） D. （2，-3）
3.（2017·萍乡模拟）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
A. （﹣1， 3 ） B. （0， 3 ） C. （ 3 ，0） D. （1， 3 ）
4.（2021八上·南宁期末）如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90° ，若 AC+BC=50 ， DE 为 AB 的垂直平分线，则 ΔACD 的周长为（ ）
A. 25 B. 45 C. 50 D. 55
5.（2020八上·咸丰期末）如图，任意△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①∠A＝2∠BFC﹣180°；②DE﹣BD＝CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF.其中正确的有（ ）
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
6.若点M(a,2)与点N(3,b)关于x轴对称，则a，b的值分别是（ ）
A.3，-2
B.-3,2
C.-3，-2
D.3,2
7.（2020八上·鄱阳月考）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中错误的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
8.（2020·杭州模拟）已知：矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E在对角线AC上，且CE=6，动点P在矩形ABCD的四边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（ ）个.

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题
9.（2020七下·张掖期末）两个三角形全等的判定方法有 ________ ，________，________，________ ，（用字母表示）.
10.（2020八上·武进月考）如图所示，OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，且MN交OA、OB于C、D，MN=8cm，则△PCD的周长为________.
11.（2021·淅川模拟）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为 .
12.（2021·威海）如图，在 △ABC 中， ∠BAC>90° ，分别以点A ， B为圆心，以大于 12AB 长为半径画弧，两弧交于点D ， E ． 作直线DE ， 交BC于点M ． 分别以点A ， C为圆心，以大于 12AC 长为半径画弧，两弧交于点F ， G ． 作直线FG ， 交BC于点N ． 连接AM ， AN ． 若 ∠BAC=α ，则 ∠MAN= ．

13.（2019八上·萧山期末）如图，在 △ABC 中，AD是高，AE是角平分线，若 ∠B=72∘ ， ∠DAE=16∘ ，则 ∠C= ________度 .

14.（2021·余杭模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G.当△ADG为等腰三角形时，AD＝ .
15.（2020八上·北京期中）如图，已知等边△ABC中，AD⊥BC，AD=2若点P在线段AD上运动，当 12 AP+BP的值最小时，AP的长为________；
三、解答题
16.（2018八上·丽水期中）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=43°，∠NBC=86°，问海岛B与灯塔C相距多远？
17.（2018八上·泰兴月考）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点.连接MN. 求证：MN⊥BD．
18.（2021·姜堰模拟）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，延长BA至点E，使得AE=AD，连接DE、OE，OE交AD于F.请从以下三个选项中选择一个作为已知条件，选择另一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程.①BE=DE；②EF=BD；③EF= 2 DF.你选择的条件是 ▲ ，结论是 ▲ .（填序号）
19.如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE.
求证:BD=2CE.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】轴对称图形
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．
【解答】第一个图形，是轴对称图形；
第二个图形，不是轴对称图形；
第三个图形，不是轴对称图形；
第四个图形，是轴对称图形；
综上所述，轴对称图形有第一个、第四个图形共2个．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】 C
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（2,3）
故答案为：C.
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数求解即可。
3.【答案】 B
【考点】坐标与图形性质，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OQ、PO，
则∠POQ=120°﹣60°=60，
∵PO=OQ，
∴△POQ是等边三角形，
∴PQ=OP=OQ= 12 ×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，
∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，
∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴AQ= 12 OQ=1cm，
∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA= 22−12 = 3 ，
∴A的坐标是（0， 3 ），
故选B．
【分析】连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．
4.【答案】 C
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50，
故答案为：C.
【分析】由垂直平分线的性质可求得AD=BD，则△ACD的周长可化为AC+CD+BD，即AC+BC，可求得答案.
5.【答案】 C
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠FBC＝∠ABF= 12∠ABC ，∠FCB＝∠ACF= 12∠ACB ，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠FBC+2∠FCB=180°，
∵∠BFC+∠FCB+∠BFC=180°，
∴∠A＝2∠BFC﹣180°，
故①正确；
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，
故②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；
故③正确
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，无法判断其大小，
故④错误；
故答案为：C.
【分析】由△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，DE∥BC，易证得△BDF和△CEF都是等腰三角形，继而可得DE＝BD+CE，又由△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；即可得△ADE的周长等于AB与AC的和.
6.【答案】 A
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．依此先求出a、b的值．
【解答】∵M（a，2)与点N（3，b)关于x轴对称，
∴a=3，b=-2，
故选A．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7.【答案】 D
【考点】角平分线的性质，三角形的综合
【解析】【解答】解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP=∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC=∠MPC=90°，
∴∠CAM=∠CMA，
∴AC=CM，
∴AP=PM，①符合题意；
②同理得：BN=AB=6，
∵CM=AC=5，
∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②符合题意；
③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，
由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，
∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，
∴∠MAN=35°，③符合题意；
④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，
∵AB=6≠AC=5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不符合题意；
所以本题错误的有④，
故答案为：D．

【分析】1、根据三角形的内角和定理判定∠CAM=∠CMA ， 由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论；2、根据BN=AB=6,CM=AC=5，及线段的和与差可得BC的长；3、根据三角形的内角和定理及角的和与差可得；4、想得到AM=AN,必有∠AMN=∠ANM ， 而AB≠AC ， 可知∠ABC≠∠ACB,从而得AM≠AN。
8.【答案】 D
【考点】等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）P在BC上：①CP=CE=6＜12，此时有一点P；
②CE=PE=6时，
过E作EN⊥BC于N，
cs∠ACB= 1213 = CNCE ，
CN= 7213 ，
CP=2CN= 14413 ＜12，此时有1点P；
③CP=EP时，
P在CE的垂直平分线MN（M为垂足）上，CM=EM=3，
cs∠ACB= 1213 = CMCP ，
CP= 3912 ＜12，存在一点P；
（ 2 ）P在CD上：①PE=PC，
此时P在CE的垂直平分线MN（M为垂足）上，
CM=EM=3，
cs∠ACD= 513 = CMCP ，
CP= 395 ＞5，
即P在CD的延长线上，此时不存在P点；
②CE=CP=6＞CD，此时不存在P点；
③EP=CE=6，
过E作EN⊥CD于N，
cs∠ACD= 513 = CNCE ，
CN= 3013 ，
CP=2CN= 6013 ＜CD，即此时存在一点P；
（ 3 ）P在AD上：①PE=CP，
过P作PM⊥AC于M，
CM=EM=3，AM=13﹣3=10，
cs∠DAC= 1213 = AMAP ，
AP= 13012 ＜12，即此时存在一点P；
②CE=PC，
PD= 62−52 = 11 ＜12，此时存在一点P；
③PE=CE=6，
sin∠DAC= 513 = EMAE ，
EM= 3513 ，
AM= 72−(3513)2 = 4213 ，PM= 62−(3513)2 = 429913 ，
AP= 4213 ﹣ 429913 ，AP′= 4213 + 429913 ，即存在2点P；
（ 4 ）P在AB上：①CP=PE，即P在CE的垂直平分线MN（M为垂足）上，
cs∠ACB= 1213 = CMCP ，
CP= 3912 ＜12，即CP小于C到AB的最短距离，即此时不存在P点；
②CE=CP=6＜12，
∵C到AB的最短距离是12，
∴此时不存在P点；
③CE=PE=6，AE=13﹣6=7，
过E作EM⊥AB于M，
sin∠BAC= 1213 = EMAE ，
EM= 8413 ＞PE，
即E到AB的最短距离大于PE，
即此时不存在P点；
综合上述：共有（1+1+1）+1+（1+1+2）+0=8.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质分为四种情况：P在BC上，P在CD上，P在AD上，P在AB上，在每种情况又分为三种情况①CE＝PE，②PE＝PC，③CE＝CP，分别求出对应的值，和CD、AD、AB比较即可．
二、填空题
9.【答案】 SAS；ASA；AAS；SSS
【考点】等边三角形的判定
【解析】【解答】两个三角形全等的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS
故答案为：SAS，ASA，AAS，SSS.
【分析】根据三角形全等的判定定理即可得.
10.【答案】 8cm
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴CP=CM，DP=DN，
则△PCD的周长=PC+PD+CD=CM+CD+DN=MN=8cm，
故答案为：8cm.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CP=CM，DP=DN，根据三角形的周长计算方法及等量代换即可解决问题.
11.【答案】 6
【考点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，作A关于 CD 的对称点 A′ ，连接 A′B 并延长交 CD 延长线于点P，则点P就是使 |PA−PB| 的值最大的点， |PA−PB|=A′B ，连接 A′C ，
∵ △ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=6 ，
∴ ∠CAB=∠ABC=45° ， ∠ACB=90° ，
∵ ∠BCD=15° ，
∴ ∠ACD=75° ，
∵点A与A′关于CD对称，
∴CD⊥AA′， AC=A′C ， ∠CA′A=∠CAA′ ，
∴ ∠CAA′=15° ，
∵AC=BC，
∴ A′C=BC ， ∠CA′A=∠CAA′=15° ，
∴ ∠ACA′=150° ，
∵ ∠ACB=90° ，
∴ ∠A′CB=60° ，
∴ △A′BC 是等边三角形，
∴ A′B=BC=6 .
故答案为：6

【分析】由题意可知作A关于 CD 的对称点 A′ ，连接 A′B 并延长交 CD 延长线于点P，则点P就是使 |PA−PB| 的值最大的点， |PA−PB|=A′B ，连接 A′C ，由等腰三角形的性质和点A与A′关于CD对称，易得出△A′BC 是等边三角形，即可求出结果.
12.【答案】 2 α -180°
【考点】角的运算，线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC ，
∴MB＝MA ， NA＝NC ，
∴∠B＝∠MAB ， ∠C＝∠NAC ，
在△ABC中， ∠BAC=α ，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°− α ，
即∠MAB＋∠NAC＝180°− α ，
则∠MAN＝∠BAC−（∠MAB＋∠NAC）＝ α −（180°− α ）＝2 α -180°．
故答案是：2 α -180°．

【分析】根据线段垂直平分线的性质，计算得到答案即可。
13.【答案】 40
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理
【解析】【解答】 ∵AD 是高， ∠B=72∘ ，
∴∠BAD=18∘ ，
∴∠BAE=18∘+16∘=34∘ ，
∵AE 是角平分线，
∴∠BAC=68∘ ，
∴∠C=180∘−72∘−68∘=40∘ ．
故答案为：40.
【分析】根据AD是高，∠B=72∘可求出∠BAD， 由∠DAE=16°可求出∠BAE=34°，再根据角平分线的定义可求出∠BAC,由三角形的内角和即可求出∠C的度数.
14.【答案】 1或 3 或 33
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①AG＝DG，
作GI⊥AD，
∴I为AD中点，AD＝2AI，
∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB＝1，
∴在矩形ABCD中，
EF∥AD∥BC，
即∠DAE＝∠AEF＝∠EFD＝∠ADF＝90°，
四边形AEFD为矩形，
∴IG＝AE＝ 12 AB＝ 12 ，
∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成，
∴AG＝AB＝1，
∴AI＝ AG2−AE2=1−14=32 ，
∴AD＝2AI＝ 3 ，
②AD＝AG，
∴AD＝AG＝AB＝1，
③AD＝DG，
EG＝ AG2−AE2=1−14=32 ，
设AD＝DG＝x，
∴FG＝x﹣ 32 ，
连接DG，
∵DG2＝DF2+GF2 ，
∴x2＝ 14 +（x﹣ 32 ）2 ，
化简得1﹣ 3 x＝0，
解得x＝ 33 ，
∴AD＝ 33 ，
故答案为：1或 3 或 33 .
【分析】分情况讨论：①AG＝DG，作GI⊥AD，利用线段中点的定义，可证得AD＝2AI，利用矩形的判定和性质，可求出AB、EI、AE的长，再利用折叠的性质可求出AG的长，利用勾股定理求出AI的长，即可求出AD的长；②AD＝AG，由此AG的长可求出AD的长；③AD＝DG，利用勾股定理求出EG的长，设AD＝DG＝x，可表示出FG的长；再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长；综上所述可得到AD的长.
15.【答案】 43
【考点】等边三角形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
作BE⊥AC于点E，交AD于点P，
∵△ABC是等边三角形，
AD⊥BC，
∴∠DAC=30°
∴PE= 12 AP
当BP⊥AC时， 12 AP+BP=PE+BP的值最小，
此时，EP=PD
而PE= 12 AP
∴AP= 23AD=23×2=43 ．
故答案为： 43 ．
【分析】可以作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得∠DAC=30°，所以PE= 12 AP，当BP⊥AC时， 12 AP+BP=PE+BP的值最小，根据等边三角形的性质即可求得AP的长．
三、解答题
16.【答案】 解：∵∠NAC=43°，∠NBC=86°，
∴∠ACB=43°，
∴∠NAC=∠ACB，
∴BC=BA=15×（10-8）=15×2=30，
答：海岛B与灯塔C相距30海里.
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出 ∠ACB=43°， 故 ∠NAC=∠ACB， 根据等角对等边得出 BC=BA ，进而根据路程等于速度乘以时间即可得出答案。
17.【答案】 证明：如图，连接DM，BM.
∵M为AC中点，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴BM=DM，
又∵N是BD中点，
∴MN⊥BD.
【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到BM=DM，再根据三线合一得到MN⊥BD．
18.【答案】 解：选择的条件是②，结论是①.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠EAF=90 ° ，DO=BO，
∵AE=AD，EF=BD，
∴△DAB ≅ △EAF(HL)，
∴∠ADB=∠AEF，
∵∠DFO=∠EFA，
∴∠DOF=∠EAF=90 ° ，即EO⊥BD，
又∵DO=BO，
∴EO是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE.
【考点】直角三角形全等的判定（HL），线段垂直平分线的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】由矩形的性质易证 △DAB ≅ △EAF ，再证得 EO是线段BD的垂直平分线可得结果.
19.【答案】 证明:延长CE交BA的延长线于点F,如图所示.∵CE⊥BE,∴∠BEC=∠BEF=90°.又∵∠1=∠2,∴∠F=∠BCE，∴BC=BF，∴CE=FE= 12 CF,即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°,∠F+∠ACF=90°,∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE 。
【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】延长CE交BA的延长线于点F,如图所示.根据垂直的定义得出∠BEC=∠BEF=90° ，根据三角形的内角和得出∠F=∠BCE，根据等角对等边得出BC=BF，从而根据等腰三角形的三线合一得出CE=FE= 12 CF, 即CF=2CE ，根据同角的余角相等得出∠2=∠ACF，然后利用ASA判断出BD=CF，根据等量代换得出BD=2CE 。