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初中数学人教版八年级上册第十五章 分式综合与测试复习练习题
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分式
一、单选题
1.(2020·红桥模拟)计算 2a−1a−1−1a−1 的结果是( )
A. 2 B. 2a−2 C. a D. 2aa−1
2.(2020八上·石景山期末)使得分式 m−2m+3 有意义的 m 的取值范围是( )
A. m≠0 B. m≠2 C. m≠-3 D. m>-3
3.(2020八上·永年期中)一项工程需在规定日期完成,如果甲队单独做,就要超过规定日期1天,如果乙队单独做,要超过规定日期4天.现在先由甲、乙两队一起做3天,剩下的工程由乙队单独做,刚好在规定日期完成,则规定日期为( )
A. 6天 B. 8天 C. 10天 D. 7.5天
4.(2019七下·岑溪期末)甲、乙两人加工一批零件,甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同,已知甲比乙每天多完成4个.设甲每天完成x个零件,依题意下面所列方程正确的是( )
A. 120x = 100x−4 B. 120x = 100x+4 C. 120x−4 = 100x D. 120x+4 = 100x
5.(2020·麒麟模拟)若关于x的方程 x+1x−1+2=mx−1 无解,则m的值是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
6.(2020八下·大埔期末)分式方程 3x=2x−1 的解为( )
A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4
7.(2021八下·乐山期中)已知实数x、y、z满足 xy+z+yz+x+zx+y=1 ,则 x2y+z+y2z+x+z2x+y 的值( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
8.(2020七下·下城期末)若p= 1n(n+2) + 1(n+2)(n+4) + 1(n+4)(n+6) + 1(n+6)(n+8) + 1(n+8)(n+10) ,则使p最近 110 的正整数n是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9.若 x+2x2−2x+1 的值为正数,则x的取值范围是( )
A. x<-2 B. x<1 C. x>-2且x≠1 D. x>1
二、填空题
10.(2019八上·北京期中)若分式 x2−1x+1 的值为0,则 x2−2x 的值为________.
11.(2021九下·北京开学考)要使分式 2xx−2 有意义,则x的取值范围是 .
12.(2020八下·重庆月考)若 m 为实数,分式 x(x+2)x2+m 不是最简分式,则 m= ________.
13.(2020九下·上海月考)用换元法解分式方程 x−1x−3xx−1+1=0 时,如果设 x−1x=y ,将原方程化为关于 y 的整式方程,那么这个整式方程是 .
14.(2019八下·高新期中)阅读材料:
分离整数法就是将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.如:
① x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1 ;
② x2+1x−3 = x2−9+10x−3 = x2−9x−3 + 10x−3 =x+3+ 10x−3 .
解答问题.已知x为整数,且分式 3x−4x−2 为整数,则x的值为________.
15.已知实数a,b,c满足 ab+c+bc+a+ca+b=1 ,则 a2b+c+b2c+a+c2a+b= ________.
16.(2021八下·浦东期中)观察方程①:x+ 3x =4,方程②:x+ 8x =6,方程③:x+ 15x =8.
(1)方程①的根为:________;方程②的根为:________;方程③的根为:________;
(2)按规律写出第四个方程:________;此分式方程的根为:________;
(3)写出第n个方程(系数用n表示):________;此方程解是:________.
17.(2020七下·江阴期中)若(x-3)x=1,则x的值为________.
三、计算题
18.(2019八上·随县月考)计算: (a−2a−1a)÷a−1a .
19.(2018七下·浦东期中)已知: a=2−1, 先化简 a2−2a+1a2−a+a−1a2−2a+1+4a2−16a2−4a+4÷4a2+8aa−2 ,再求值.
四、解答题
20.(2020八下·南山期中)解分式方程: xx−1−31−x=3 .
21.近年来,由于受国际石油市场的影响,汽油价格不断上涨.下面是小明与爸爸的对话:
小明:“爸爸,听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊!”
爸爸:“是啊,今年5月份每升汽油的价格是去年5月份每升汽油的价格的 1.6 倍,用150元给汽车加的油量比去年少11.25升.”
小明:“今年5月份每升汽油的价格是多少呢?”
聪明的你,根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格?
22.(2020·锦州)某帐篷厂计划生产10000顶帐篷,由于接到新的生产订单,需提前10天完成这批任务,结果实际每天生产帐篷的数量比计划每天生产帐篷的数量增加了25%,那么计划每天生产多少顶帐篷?
23.(2018七上·惠来月考)如果方程 2x−35=23x−2 与 3a−14=3(x+a)−2a 的解相同,求(a-3)2的值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】解: 2a−1a−1−1a−1=2a−1−1a−1=2a−2a−1=2(a−1)a−1=2
故答案为:A.
【分析】根据同分母分式的减法法则进行计算即可.
2.【答案】 C
【考点】分式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得: m+3 ≠ 0
解得:m ≠ -3.
故答案为:C.
【分析】根据分式有意义的条件可得 m+3 ≠ 0,再解不等式即可.
3.【答案】 B
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设工作总量为1,规定日期为x天,则若单独做,甲队需(x+1)天,乙队需(x+4)天,根据题意列方程得
3( 1x+1+1x+4 )+ x−3x+4 =1,
解方程可得x=8,
经检验x=8是分式方程的解,
故答案为:B.
【分析】先设规定日期为x,再用x表示出甲、乙的工作效率,最后利用工作总量列出方程即可。
4.【答案】 A
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解:设甲每天完成x个零件,则乙每天完成(x−4)个,
由题意得,120x=100x−4;
故答案为:A.
【分析】 设甲每天完成x个零件, 时间=数量÷工作效率,根据甲所用时间=乙所用时间列分式方程即可.
5.【答案】 B
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解:方程两边都乘以x-1,得:x+1+2(x-1)=m,
根据题意知x=1,
将x=1代入整式方程,得:m=2,
故答案为:B.
【分析】方程两边都乘以x-1,化分式方程为整式方程,再由分式方程无解得出x=1,代入整式方程求解可得.
6.【答案】 C
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解: 3x=2x−1 ,
去分母得,3(x-1)=2x,
解得x=3.
经检验,x=3 是方程解.
故答案为:C.
【分析】将分式方程化为整式方程可得3(x-1)=2x,,再解方程,最后检验求解即可。
7.【答案】 B
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【解答】因为 xy+z+yz+x+zx+y=1 ,所以x+y+z≠0,
里边同乘x+y+z得,xy+z+yz+x+zx+yx+y+z=x+y+z ,
x2+xy+xzy+z+y2+zy+xyz+x+z2+xz+yzx+y=x+y+z
x2y+z+x+y2z+x+y+z2x+y+z=x+y+z
x2y+z+y2z+x+z2x+y=0
故答案为:B
【分析】考查分式的化简求值,根据分式的基本性质里边同时乘x,y,z,可以让分子出现x²、y²、z²的形式,为了方便与分母约分化简,所以同时乘x+y+z然后化简整理即可。
8.【答案】 A
【考点】分式的加减法,探索数与式的规律
【解析】【解答】解:
∵P=1n(n+2)+1(n+2)(n+4)+1(n+4)(n+6)+1(n+6)(n+8)+1(n+8)(n+10)=12(1n−1n+2+1n+2−1n+4+1n+4−1n+6+1n+6−1n+8+1n+8−1n+10)=12(1n−1n+10)=12×10n(n+10)=5n(n+10).
∴当n=4时, P=54(4+10)=556;
当n=5时,p= 55(5+10)=115 ;
当n=6时, P=56(6+10)=596;
当n=7时, P=57(7+10)=5119.
显然, 5119<596<115<556<110.
故答案为:A.
【分析】先利用“裂项法“对已知分式变形化简,再分别将n取4,5,6和7代入计算,即可得出答案.
9.【答案】 C
【考点】分式的值
【解析】【解答】解:∵分式 x+2x2−2x+1 的分母 x2−2x+1=(x−1)2≥0 ,
∴要使分式的值为正数,分子需满足: x+2>0 ,即 x>−2 ,
又∵分母 x2−2x+1 的值不能为0,
∴ x≠−1
∴若 x+2x2−2x+1 的值为正数,则 x 的取值范围为: x>−2 且 x≠−1 .故答案为:C.
【分析】首先将分式的分母利用完全平方公式分解因式得出x+2x−12 , 再根据偶次幂的非负性得出x−12≥0,故要使分式的值为正数,分子必须是正数,分母不能为0,从而列出不等式组x+2>0且x-1≠0,求解即可得出x的取值范围。
二、填空题
10.【答案】 -1
【考点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解:当分子x2-1=0,且分母x+1≠0时,分式的值为0,解得x=1,所以,当x=1时,分式的值为0,当x=1时, x2−2x =1- 2×1= -1.
故答案为:-1.
【分析】根据分式的值等于零时:分子等于零,且分母不等于零求得x的值,再代入代数式即可解答.
11.【答案】 x≠2
【考点】分式有意义的条件
【解析】【解答】根据分式有意义的条件,则: x−2≠0.
解得:x≠2
故答案为x≠2
【分析】分式有意义的条件:分母不为零.
12.【答案】 0或-4
【考点】最简分式
【解析】【解答】∵分式 x(x+2)x2+m 不是最简分式,
∴x或x+2是x2+m的一个因式,
当x是x2+m的一个因式x时,设另一个因式为x+a,
则有x(x+a)=x2+ax=x2+m,
∴m=0,
当x或x+2是x2+m的一个因式时,设另一个因式为x+a,
则有(x+2)(x+a)=x2+(a+2)x+2a=x2+m,
∴ {a+2=0m=2a ,
解得: {a=−2m=−4 ,
故答案为:0或-4.
【分析】由分式 x(x+2)x2+m 不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式,分含x和x+2两种情况,根据多项式乘以多项式的运算法则求出m的值即可.
13.【答案】 y2+y−3=0
【考点】换元法解分式方程
【解析】【解答】设 x−1x=y ,则 xx−1=1y
原分式方程可化为 y−3y+1=0
两边同乘以y得: y2+y−3=0
故答案为: y2+y−3=0 .
【分析】利用换元法令 x−1x=y 得 y−3y+1=0 ,再两边同乘以y即可得出答案.
14.【答案】 3或1或4或0
【考点】分式的加减法
【解析】【解答】解:∵ 3x−4x−2 = 3x−6+2x−2 = 3(x−2)+2x−2 =3+ 2x−2 ,
又∵ 3x−4x−2 的值为整数,且x为整数;
∴x-2的值为1或-1或2或-2,
∴x的值为3或1或4或0.
故答案为:3或1或4或0.
【分析】将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式,再根据分式值为整数,即可得到x的整数值.
15.【答案】 0
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【解答】解: 设a+b+c=d,则有a=d-(b+c),b=d-(a+c),c=d-(a+b),
∵ ab+c+bc+a+ca+b=1 ,
∴ a2b+c+b2c+a+c2a+b
=ab+c×a+bc+a×b+ca+b×c
=ab+c×[d−(b+c)]+bc+a×[d−(a+c)]+ca+b×[d−(a+b)]
=ab+c×d−a+bc+a×d−b+ca+b×d−c
=d(ab+c+bc+a+ca+b)−(a+b+c)
=d−(a+b+c)
= =(a+b+c)−(a+b+c)=0
【分析】 设a+b+c=d,则有a=d-(b+c),b=d-(a+c),c=d-(a+b), 然后把它们代入的所求分式中化简即可求出答案。
16.【答案】 (1)x1=1,x2=3;x1=2,x2=4;x1=3,x2=5
(2)x+ 24x =10;x1=4,x2=6.
(3)x+ n(n+2)x =2n+2;x1=n,x2=n+2
【考点】解分式方程,探索数与式的规律
【解析】【解答】(1)方程①根:x1=1,x2=3;
方程②根:x1=2,x2=4;
方程③根:x1=3,x2=5;
(2)方程④:x+ 24x =10;方程④根:x1=4,x2=6.
(3)第n个方程:x+ n(n+2)x =2n+2.解是:x1=n,x2=n+2
【分析】(1)根据方程,分别求出三个方程的根即可;
(2)根据分式的规律,写出第四个方程,求出根即可;
(3)根据式子的规律写出方程,计算方程的解即可。
17.【答案】 0或4或2
【考点】0指数幂的运算性质,有理数的乘方
【解析】【解答】解:当x=0时, (-3)0=1;
当x-3=1,即x=4时,14=1;
当x-3=-1,即x=2时,(-1)2=1;
故答案为0或4或2.
【分析】利用零指数幂的性质以及幂的乘方的运算法则解答即可.
三、计算题
18.【答案】 解:原式 =a2−2a+1a÷a−1a
=(a−1)2a⋅aa−1
=a−1
【考点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得.
19.【答案】 解:由题意得: a=2−1<1
∴ a−1<0
∴原式= (a−1)2a(a−1)+a−1(a−1)2+4(a−2)(a+2)(a−2)2⋅a−24a(a+2)
= −1a+1a−1+1a
= 1a−1
将 a=2−1 代入得:
原式= 12−1−1=−2+22
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先将原式进行因式分解与化简约分,之后代入求值即可
四、解答题
20.【答案】 解:去分母,得 3(x−1)=x+3 ,
解得, x=3 ,
检验:当 x=3 时,,x−1≠0,
∴原方程的解为 x=3 .
【考点】解分式方程
【解析】【分析】首先去掉分母,观察可得最简公分母是x−1,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程,最后检验即可求解.
21.【答案】 解:设去年5月份每升汽油的价格是x元,则今年5月份每升汽油的价格是1.6x元.
根据题意得:
150x−1501.6x=11.25
解得x=5.
经检验:x=5是原方程的解,
∴ 1.6x=5×1.6=8 (元);
答:今年5月份每升汽油的价格是8元.
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据两人对话可得出相关的信息: 今年5月份每升汽油的价格=去年5月份每升汽油的价格×1.6倍;用150元给汽车加的油量比去年少11.25升,设未知数,列方程求出方程的解,通过计算可得出答案。
22.【答案】 解:设计划每天生产x顶帐篷,则实际每天生产 (1+25%)x 顶帐篷,
根据题意得 10000x−10000(1+25%)x=10 ,
解这个方程,得 x=200 ,
经检验, x=200 是所列方程的根,
答:计划每天生产200顶帐篷.
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设计划每天生产x顶帐篷,则实际每天生产 (1+25%)x 顶帐篷,根据题意列出方程求解即可.
23.【答案】 解:由关于x的方程 2x−35=23x−2 ,解得x=5.25
∵关于x的方程 2x−35=23x−2 与 3a−14=3(x+a)−2a 的解相同,
∴ 3a−14=3(5.25+a)−2a ,
解得a=8.
∴ (a−3)2=(8−3)2=25 .
【考点】解分式方程,利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】先求出分式方程 2x−35=23x−2 的解,由题意x值可代入 3a−14=3(x+a)−2a ,即可得到关于a的关系式,求解a,将其代入 (a-3)2 ,即可得到答案。
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