数学第三章 一元一次方程综合与测试综合训练题

人教版2021年七年级上册第3章《一元一次方程》单元复习题

一、选择题

1．下列方程中是一元一次方程的是（　　）

A．x+3=y+2 B．x+3=3﹣x C． =1 D．x2﹣1=0

2．下列说法中，确定的是（    ）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

3．下列方程中，解是的方程是（ ）

A．3x=x+3 B．-x+3=0 C．5x-2=8 D．2x=6

4．下列变形中：

①由方程=2去分母，得x﹣12=10；

②由方程x=两边同除以，得x=1；

③由方程6x﹣4=x+4移项，得7x=0；

④由方程2﹣两边同乘以6，得12﹣x﹣5=3（x+3）．

错误变形的个数是（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

5．三个连续偶数的和是﹣72，其中最小的一个偶数是（　　）

A．﹣22 B．﹣24 C．﹣26 D．﹣28

6．铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

7．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是 (    )．

A． B．

C． D．

8．某市中学生运动会篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，已知某篮球队在七场比赛中共得到15分，则该篮球队在这七场比赛中获胜了（　　）

A．六场    B．五场    C．四场    D．三场

9．若关于x的一元一次方程－=1的解是x=－1，则k的值是(　　)

A． B．1 C．－ D．0

10．大丰新华书店推出售书优惠方案：

①一次性购书不超过100元，不享受优惠；

②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；

③一次性购书超过200元，一律打八折．

如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是(　　　)

A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元

二、填空题

11．比a的3倍大5的数等于a的4倍，列方程是____________________.

12．已知是关于x的一元一次方程，则a=_____．

13．某中学初三（1）班班主任提了一捆练习本到班上去发，每人2本，多了20本；每人3本，又少了20本．那么这捆练习本共有_______________本．

14．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的，则这个两位数是________．

15．某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件____元.

16．规定一种运算“*”，a*b=a–2b，则方程x*3=2*3的解为__________．

三、解答题

17．解方程：（1）5x+3（2﹣x）=8          （2）﹣=1．

18．解下列方程:(1)-1;                (2)=0.5.

19．如果方程的解与关于x的方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解相同，求式子a－的值．

20．某人原计划在一定时间内由甲地步行到乙地，他先以4 km/h的速度步行了全程的一半，又搭上了每小时行驶20 km的顺路汽车，所以比原计划需要的时间早到了2 h．甲、乙两地之间的距离是多少千米？

21．某市为促进节约用水，提高用水效率，建设节水型城市，将自来水划分为“家居用水”和“非家居用水”．根据新规定，“家居用水”用水量不超过6 t，按每吨1.2元收费；如果超过6 t，未超过部分仍按每吨1.2元收费，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？

22．为增强居民节约用水意识，深圳市在2011年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表：

已知某户居民四月份用水10立方米，缴纳水费23元．

(1)求a的值；

(2)若该户居民五月份所缴水费为71元，求该户居民五月份的用水量．

23．观察下列式子，定义一种新运算：1⊗3=4×1+3=7；3⊗（-1）=4×3-1=11；

5⊗4=4×5+4=24；-6⊗（-3）=4×（-6）-3=-27；

（1）请你想一想：a⊗b=       ；（用含a、b的代数式表示）；

（2）如果a≠b，那么a⊗b       b⊗a（填“=”或“≠”）；

（3）如果a⊗（-6）=3⊗a，请求出a的值．

参考答案

1．B

【详解】

只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是1（次）的方程叫做一元一次方程．据此可得出：

A、含有两个未知数，是二元一次方程；

B、符合一元一次方程的定义；

C、分母中含有未知数，是分式方程；

D、未知数的最高次数实2次，为一元二次方程．

故选B.

点睛：此题主要考查了一元一次方程的概念，解题时要抓住一元一次方程的三个特点：含有一个未知数，未知数的次数为1，是整式方程，关键从未知数的次数和个数考虑.

2．B

【分析】

直接利用等式的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：A、如果，当时，那么不一定成立，故A错误；

B、如果，，那么一定成立，故B正确；

C、如果，那么或，故C错误；

D、如果，那么或，故D错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质进行一一判断.

3．C

【分析】

根据一元一次方程的解的概念解答即可.

【详解】

A、由原方程，得2x=3，即x=1.5；故本选项错误；
B、由原方程移项，得x=3；故本选项错误；
C、由原方程移项、合并同类项，5x=10，解得x=2；故本选项正确；
D、两边同时除以2，得x=3；故本选项正确．
故选C．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．

4．B

【分析】

根据方程的不同特点，从计算过程是否正确、方法应用是否得当等方面加以分析．

【详解】

①方程=2去分母，两边同时乘以5，得x﹣12=10，故①正确．

②方程x=，两边同除以，得x=；要注意除以一个数等于乘以这个数的倒数，故②错误．

③方程6x﹣4=x+4移项，得5x=8；要注意移项要变号，故③错误．

④方程2﹣两边同乘以6，得12﹣（x﹣5）=3（x+3）；要注意去分母后，要把是多项式的分子作为一个整体加上括号，故④错误．

故②③④变形错误．

故选B．

【点睛】

在解方程时，要注意以下问题：（1）去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号；（2）移项时要变号．

5．C

【分析】

相邻两个偶数的差为2,由此可设最小的偶数是x，则其余两个偶数分别是（x+2）、（x+4），这三个连续偶数的和为72,由此列方程求解即可.

【详解】

设最小的偶数是x，则其余两个偶数分别是（x+2）、（x+4），

依题意得：x+x+2+x+4=﹣72，

解得x=﹣26．

即最小的一个偶数是﹣26．

故选C．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，明确相邻的两个偶数相差2是解答本题的关键.

6．A

【分析】

利用两种不同栽法的总路程都是某一段公路的一侧的长，总长度等于（棵数-1）×每两棵之间的距离，列方程即可

【详解】

解：设原有树苗x棵，

每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵； 5（x+21-1），

每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．6(x-1)，

由题意得：

．

故选A．

【点睛】

本题考查列一元一次方程解应用题，抓住等量关系两种不同栽法总长度一样，总长度=（棵数-1）×每两棵之间的距离列方程是解题关键．

7．B

【分析】

根据题意，表示出两种方式的总人数，然后根据人数不变列方程即可.

【详解】

根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9.

故选B.

【点睛】

此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是找到问题中的等量关系：总人数不变，列出相应的方程即可.

8．C

【解析】

【分析】

设该队胜的场次是x场，则负的场次是（7-x）场，根据七场比赛共得15分列方程进行求解即可得.

【详解】

设该队胜的场次是x场，则负的场次是（7-x）场，

由题意得：3x+（7-x）=15，

解得x=4，

故选C.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

9．B

【详解】

试题解析：把x=-1代入方程得：，

整理，得：-4-2k+3+9k=6

解得：k=1

故选B．

10．C

【分析】

不享受优惠即原价，打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8，分别得出等式求出答案．

【详解】

因为，，，
所以一次性购书付款162元，可能有两种情况：
当购买的书享受九折优惠时，设原价为x元，根据题意，可得，解得；
当购买的书享受八折优惠时，设原价为y元，根据题意，可得，解得．
故李明同学所购书的原价为180元或202.5元．
故选C．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，注意售书有三种优惠方案是解题关键．

11．3a＋5＝4a

【分析】

a的三倍、a的4倍分别表示为3a，4a，由题意可列出方程．

【详解】

由题意得：比a的3倍大5的数为：3a＋5，

所以列出的方程为：3a＋5＝4a．

故答案为3a＋5＝4a

【点睛】

此题主要考查了列一元一次方程，比较简单，读清题意即可．

12．±1或±2或3．

【分析】

只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．

【详解】

解：∵（a-3）x|a|-1+2x=1是关于x的一元一次方程，
∴①|a|-1=1，解得：a=±2；
②a=3，此时方程为2x=1；
③|a|-1=0，解得a=±1；
综上，a=±1或±2或3．
故答案为：±1或±2或3．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．

13．100

【分析】

设初三（1）班共有x个同学，根据“每人2本，多了20本；每人3本，又少了20本”列出方程2x+20=3x-20，解方程求解即可．

【详解】

设初三（1）班共有x个同学，根据题意得

2x+20=3x-20，

解得x=40，

2x+20=2×40+20=100，

即这捆练习本共有100本，

故答案为100.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，用不同的方法表示出练习本的总量是解题的关键.

14．45

【详解】

解:设十位是x,个位是 x+1,

由题意可得： ,

解得x=4,

所以这个两位数是45.

故答案为：45

【点睛】

本题考查(1)一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，则这个两位数是10a+b.(2)一个三位数，百位是a,十位是 b,个位是c, 则这个三位数是100a+10b+c.

15．150

【详解】

设该商品的标价为每件x元，由题意得：80%x﹣100=20，解得：x=150，

故答案为150．

16．x=2

【详解】

依题意得：x–2×3=2–2×3，解得：x=2，故答案为x=2．

17．（1） x=1；（2） x=-9．

【详解】

试题分析：按照解一元一次方程的步骤求解即可．

试题解析：（1）

5x+6-3x=8

5x-3x=8-6

2x=2

x=1；

（2）

5（x-3）-2（4x+1）=10

5x-15-8x-2=10

5x-8x=10+15+2

-3x=27

x=-9．

考点：解一元一次方程．

18．(1)x=；(2)x=.

【分析】

（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；

（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．

【详解】

(1)去分母,得

4(2x-1)-2(10x-1)=3(2x+1)-12.

去括号,得8x-4-20x+2=6x+3-12,

移项、合并同类项,得-18x=-7.

系数化为1,得x=.

(2)原方程可化为=0.5,

即=0.5.

去分母,得5x-(1.5-x)=1,

去括号,得5x-1.5+x=1,

移项,合并同类项,得6x=2.5,

系数化为1,得x=.

【点睛】

此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．

19．-3

【详解】

试题分析：先求第一个方程的解，再代入第二个方程求得a的值，最后求式子的值．

试题解析：解：解方程，2（x﹣4）﹣48=﹣3（x+2），2x﹣8﹣48=﹣3x﹣6，5x=50，得：x=10．

把x=10代入方程4x﹣（3a+1）=6x+2a﹣1，得：4×10﹣（3a+1）=6×10+2a﹣1，解得：a=﹣4，∴可得：=．

考点：同解方程．

20．甲、乙两地之间的距离是20km

【分析】

设甲、乙两地的距离是xkm，然后表示计划用的时间和实际用的时间分别为：小时，＋小时，根据实际比原计划早到2h，可列出方程即可．

【详解】

设甲、乙两地的距离是xkm，

根据题意得：＝＋＋2，

解得：x＝20．

答：甲、乙两地的距离是20km．

【点睛】

此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是：根据题意列出方程．

21．该用户5月份应交水费11.2元．

【分析】

水费平均为每吨1.4元大于1.2元，说明本月用水超过了6吨，那么标准内的水费加上超出部分就是实际水费．根据这个等量关系列出方程求解．

【详解】

设该用户5月份用水xt，根据题意，得

1.4x=6×1.2+2（x﹣6）．

解这个方程，得x=8．

所以8×1.4=11.2（元）．

答：该用户5月份应交水费11.2元．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出一元一次方程求解即可.

22．（1）a=2.3；（2）该户居民五月份的用水量为28立方米

【分析】

（1）由三月份的水费=水费单价×用水量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设该户居民四月份的用水量为x立方米，先求出当用水量为22立方米时的应缴水费，比较后可得出x＞22，再根据四月份的水费=2.3×22+（2.3+1.1）×超出22立方米的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：（1）根据题意得：10a=23，

解得：a=2.3．

答：a的值为2.3．

（2）设该户居民四月份的用水量为x立方米．

∵22×2.3=50.6（元），50.6＜71，

∴x＞22．

根据题意得：22×2.3+（x﹣22）×（2.3+1.1）=71，

解得：x=28．

答：该户居民四月份的用水量为28立方米．

【点睛】

考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

23．（1）4a+b；（2）≠；（3）6

【分析】

（1）由给出的式子得出运算的方法即可；

（2）根据定义新运算分别求出a⊗b和b⊗a，比较即可；

（3）根据定义新运算得到关于a的一元一次方程，解方程即可．

【详解】

（1）由1⊗3=4×1+3=7；3⊗（-1）=4×3-1=11；5⊗4=4×5+4=24；-6⊗（-3）=4×（-6）-3=-27，

得出：a⊗b=4a+b，

故答案为4a+b；

（2）a⊗b=4a+b，b⊗a=4b+a，

故a⊗b≠b⊗a，

故答案为≠；

（3）∵a⊗（-6）=3⊗a，

∴4a-6=4×3+a，

解得a=6．

【点睛】

本题考查了定义新运算的方法以及解一元一次方程，根据所给式子找出规律，举例验证，进一步得出一般性的结论是解题的关键.