专题2 用导数研究函数的最值（原卷版）+（解析版）

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专题2 用导数研究函数的最值一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.二、解题秘籍(一) 求函数在区间上的最值一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．【例1】（2022届重庆市南开中学高三7月考试）已知函数．（1）当时,求在区间上的最值；（2）若在定义域内有两个零点,求的取值范围．【分析】（1）当时, ,,,,.（2）,则,∴在单调递增,在单调递减,作出函数和得图像,∴由图象可得.(二) 求函数在非闭区间上的最值求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.【例2】已知f(x)＝(1－x)ex－1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)＝,x＞－1,且x≠0,证明：g(x)＜1.【分析】(1)f′(x)＝－xex.当x∈(－∞,0)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增；当x∈(0,＋∞)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减．所以f(x)的最大值为f(0)＝0.(2)当x＞0时,f(x)＜0,g(x)＜0＜1.当－1＜x＜0时,g(x)＜1等价于f(x)＞x.设h(x)＝f(x)－x,则h′(x)＝－xex－1.当x∈(－1,0)时,0＜－x＜1,0＜ex＜1,则0＜－xex＜1,从而当x∈(－1,0)时,h′(x)＜0,h(x)在(－1,0)上单调递减．所以当－1＜x＜0时,h(x)＞h(0)＝0,即g(x)＜1.综上,总有g(x)＜1.(三) 含参数的函数的最值含参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论．【例3】已知a∈R,函数f(x)＝＋ln x－1.(1)当a＝1时,求曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值．【分析】(1)f(x)＝＋ln x－1,x∈(0,＋∞),f′(x)＝－＋＝,x∈(0,＋∞)．确定曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为x－4y＋4ln 2－4＝0.(2)f′(x)＝－＋＝,x∈(0,e]．令f′(x)＝0,得x＝a.根据a与(0,e]位置关系分类讨论①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值．②若0<a<e,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减；当x∈(a,e]时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,所以当x＝a时,函数f(x)取得最小值ln a.③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,所以当x＝e时,函数f(x)取得最小值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值；当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a；当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为.(四) 把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题有些不等式恒成立或有解问题,常通过分类参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若的值域为,则恒成立,有解.【例4】（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）已知函数（1）讨论g(x)的单调性；（2）若,对任意恒成立,求a的最大值；【分析】对求导,然后分及讨论得出单调性情况；当时,在上单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；（2）原不等式可转化为,设,求出的单调性,可知当时,,设,则,易知函数在上单调递减,在上单调递增,（e）,,即的最大值为．(五) 根据恒成立,求整数a的最大值根据恒成立,求整数a的最大值,通常情况是有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a的最大值.【例5】已知.（1）求的最小值；（2）若对任意都成立,求整数的最大值.【分析】（1）根据在上单调递减,在上单调递增,在处取唯一的极小值,也是最小值（2） （注意）,记,则考查函数, ,在定义域上单调递增.显然有,,所以存在唯一的使得.在上,,单调递减；在上,,单调递增.所以在取唯一的极小值也是最小值,注意此时 ,所以 ,所以整数的最大值可以取3三、典例展示【例1】（2022届重庆市清华中学高三上学期7月月考）已知函数,其中.（1）若函数恰好有三个单调区间,求实数的取值范围；（2）已知函数的图象经过点,且,求的最大值.【解析】（1）由,得.∵存在三个单调区间∴有两个不相等的实数根,即.∴,即,故.（2）∵图象经过点,∴,得∴,,.的单调性和极值情况列表如下：2 00 0增函数极大值3减函数极小值增函数12故的最大值为12.【例2】已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）设为自然对数的底数．①若函数g（x）恰有两个零点,求实数a的取值范围；②当时,求函数g（x）的最小值．【解析】（1）f（x）的定义域为,,当时,,f（x）单调递减；当时,,f（x）单调递增．所以f（x）的极小值为,f（x）无极大值；（2）函数有两个零点,等价于有两个不同的根,等价于的图象与的图象有两个不同的交点.令,则,又,结合（1）单调性和极值情况,作函数图象如下：由图象得时,f（x）与h（x）的图象相切,此时只有一个交点．令,则,当h（x）的右半边图象与f（x）相切时,切点为,则切线为,即,与x轴的交点为,f（x）与h（x）的图象相切,此时只有一个交点．结合图象得,a的取值范围为；②（i）当时,,因为恒成立,所以g（x）在上单调递增,所以此时g（x）的最小值为；（ii）当时,在恒成立,所以g（x）在上单调递减,所以此时g（x）的最小值为；（iii）当时,若,则,若,则,由（i）,（ii）知g（x）在上单调递减,在上单调递増,所以此时g（x）的最小值为．综上有：当时,g（x）的最小值为；当时,g（x）的最小值为；当时,g（x）的最小值为．【例3】已知函数.（1）若是曲线的切线,求a的值；（2）若有两不同的零点,求b的取值范围；（3）若,且恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)依题意,设切点为,则,,于是得,则有且,时,,无解,所以；(2)由得,令,则有时时,在上递增,在上递减,,又时,恒成立,于是得有两个不同的零点,等价于直线与函数图象有两个不同的公共点,即,,所以有两不同的零点,b的取值范围是；(3),,令,,令,,即在上递增,而,即,使得,时,时,,在上递减,在上递增,从而有,而,即,令,两边取对数得,则,即有,显然函数在上单调递增,从而得,于是得,,所以,.四、跟踪检测1.（2021届辽宁省大连高三上学期期中）设函数,（）．（1）若,求函数在点处的切线方程；（2）若时,函数的最小值为,求实数的取值范围；（3）试判断的零点个数,并证明你的结论．2.（2021届安徽省合肥高三6月模拟）已知函数.（1）当时,求证：；（2）当时,,求实数的取值范围.3.（2021届黑龙江省哈尔滨市高三下学期第五次模拟）已知函数,.（1）求函数在上的最值；（2）若对,总有成立,求实数的取值范围.4.（2021届贵州省瓮安中学高三6月关门考试）已知（）（1）讨论的单调性；（2）当时,若在上恒成立,证明：的最小值为.5.（2021届广东省佛山市五校联盟高三5月模拟）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立,求的最大值.6.（2021届广东江门市高三模拟）设函数.（1）求的单调区间；（2）若,为整数,且当时,,求的最大值．