专题4 不等式恒成立问题（原卷版）+（解析版）

专题4 不等式恒成立问题

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立由不等式恒成立确定参数范围问题,常见处理方法有：①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题．

二、解题秘籍

(一) 与不等式恒成立问题有关的结论

①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；

②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)max<A ；

③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；

④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max <0；

⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max；

⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立,则f(x) max < g(x) min.

【例1】（2021届江苏省淮安市高三上学期调研）已知函数,

（1）先证明单调性,再求函数在上的最小值；

（2）若对,使得,求实数的取值范围.

【分析】（1）由证明在上单调递增,在上的最小值为.

（2）对,使得,则,

根据（1）,,在上单调递减,所,

所以,即.

 (二)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题

①该方法一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式,

②注意如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号.

③有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.

④在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.

【例2】（2022届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期入学考试）已知函数,（,为自然对数的底数）.

（1）若函数在上有零点,求的取值范围；

（2）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【分析】（1）,设,.

时,,递增；时,,递减.

的最大值即的极大值为,

所以在上递减,

函数在上有零点,则,则.

（2）把恒成立转化为恒成立,

,,,根据的符号进行讨论：

（ⅰ）,即时,令,,

在区间上单调递增,,

在区间上单调递增,恒成立；

（ⅱ）,即时,当时,恒成立,

所以在区间上单调递减,

所以恒成立,即不成立；

当时,,,

,所以,又,

所以在区间上单调递增,

所以在区间上存在唯一的零点,设为,

当时,所以在区间上单调递减,

所以,即在区间上不成立.

综上所述,实数的取值范围为.

(三) 通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值

①分类参数法就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量,另一个视为参数）,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围,转化为求函数的最值问题.

②一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母（一般为所求）视为参数.

③要注意分类参数法不是万能的,已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.此外参数分离后,要注意变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值）,若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值）,则也无法用分离法解决问题.

【例3】已知函数,．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的,,．不等式恒成立,求实数的取值范围．

【分析】（1）求出导函数,分类讨论确定的正负,得单调区间：

时,在单调递增,

时,在递增,在,递减,在,递增．

（2）由在上恒成立,得递增,,问题转化为对于任意的,不等式恒成立,分离参数为,引入新函数,用导数求得其最小值后可得的范围：

记,则,

令,则,

所以在上递减,所以,

故,所以在上单调递减,

所以,即实数的取值范围为．

(四)对于形如时不等式恒成立问题,可构造增函数来求解.

基本结论：

(1)“若任意,,或对任意,,则是增函数；

(2) 对任意,,则是增函数；

【例4】已知函数,其中.

（1）当时,若在区间上的最小值为,求的取值范围；

（2）若对于任意,恒成立,求的取值范围.

【分析】（1）对求导,并令导函数为0,得到或,分类讨论与区间的关系,得到的取值范围是；

（2）令,则在上单调递增；

对求导,分类讨论当时与当时的情况,得的取值范围：

；

当时,,此时在上单调递增；

当时,只需在上恒成立；只需在上恒成立；

所以,且,解得；故的取值范围是.

三、典例展示

【例1】（2021届广东省七校联合体高三下学期第三次联考）已知函数.

（1）若函数在定义域上的最大值为,求实数的值；

（2）设函数,当时,对任意的恒成立,求满足条件的实数的最小整数值.

【解析】（1）由题意,函数的定义域为,,

当时,,函数在区间上单调递增,

此时,函数在定义域上无最大值；

当时,令,得,

由,得,由,得,

此时,函数的单调递增区间为,单调减区间为.

所以当时,函数有最大值,即,即为所求；

（3）只需对任意的恒成立即可.

构造函数,

,

∵,∴,且单调递增,

∵,

∴一定存在唯一的,使得,即,

且当时,,即；

当时,,即.

所以,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,

∴,

则在上单调递增,

所以,

因此的最小整数值为.

【例2】已知函数,其中,为自然对数的底数.

（1）当时,对.

①证明：；

②若恒成立,求实数的范围；

（2）若函数在上存在极值,求实数的取值范围.

【解析】（1）①证明：当时,,则,

由于当时,,,故,

所以,函数在上为增函数,则当时,；

②依题意,在上恒成立,

设,其中,则.

（i）当时,,此时在上单调递增,

故,符合题意；

（ii）当时,由①知,在上为增函数,则必存在,使得,

且当时,,此时函数单调递减,

当时,,此时函数单调递增,

所以,,不符合题意.

综上,实数的取值范围为；

（2）,可得,由可得,

所以,直线与曲线在上的图象有交点（非切点）,

令,其中,则在上恒成立,

所以,函数在上单调递减,且,,

作出函数与函数在上的图象如下图所示：

由图可知,当时,直线与曲线在上的图象有交点（非切点）.

因此,实数的取值范围是.

【例3】已知函数,且函数与有相同的极值点.

（1）求实数的值；

（2）若对,不等式恒成立,求实数的取值范围；

（3）求证：.

【解析】（1）的定义域为,,由得,

易知函数在单调递增,在单调递减,故函数的极大值点为,

,依题意有,解得,经验证符合题意,故.

（2）由（1）知,函数在单调递增,在单调递减,

又,且,

当时,,.

① 当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,

则,

,又,

此时的取值范围为；

② 当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,

则,

所以,又,

此时的取值范围为.

综上,实数的取值范围为.

（3）证明：所证不等式即为,

下证：,即证,

设,则,

令,则,

易知函数在上单调递减,且,

故存在唯一的,使得,即,,

且当时,,即单调递增；

当时,,即单调递减,

,

在单调递减,

又时,,故,即；

再证：,即证在上恒成立,

设,,

在单调递增,则,即,

故,

综上,.

四、跟踪检测

1．（2022届江苏省南京市高三上学期开学摸底）已知函数（其中,）

（1）当时,求函数的单调区间；

（2）对任意的均满足,试确定的取值范围.

2．（2021届河南省洛阳市高三4月调研）定义在上的关于的函数．

（1）若,讨论的单调性；

（2）在上恒成立,求的取值范围．

3．已知函数.

（1）设,求函数的最小值；

（2）设,对任意、,恒成立,求的最大值.

4．已知函数,．

（1）当时,

①求的极值；

②若对任意的都有,,求的最大值；

（2）若函数有且只有两个不同的零点,,求证：．

5．已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）若对任意有恒成立,求实数的取值范围；

（2）若函数在区间内有3个零点,求实数的范围.

6．（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）已知函数

（1）讨论g(x)的单调性；

（2）若,对任意恒成立,求a的最大值；

7．（2021届重庆市第八中学高三下学期适应性月考）已知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若对任意恒成立,求实数k的取值范围．

8．已知函数,,其中．

（1）证明：当时,；

（2）若在区间上恒成立,求实数的取值范围．