专题10 三次函数（原卷版）+（解析版）

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专题10 切线问题
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一大亮点.
二、解题秘籍
(一) 三次函数的图象与性质
三次函数的图象有六种,如图：
图(2)
图(1)

图(4)
图(3)

图(5)
图(6)
对函数进行求导：是二次函数,原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数与的符号起决定性作用.当为正时,原函数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情况.当时,二次方程有两相异实根,且在的两边的符号相反,故函数存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当时,二次方程有两相等实根,且在根的两边的符号相同,这时函数只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中（1）、（2）两种,当时；方程无实根,的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的（5）、（6）两种.
仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设,得
整理得,.据多项式恒等对应系数相等,可得且,从而三次函数是中心对称曲线,且由知其对称中心仍然在曲线上.而是否具有特殊的意义？对函数进行两次求导,再令等于0,得,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足的正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图象吻合.除此,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.
由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为.
若M（x1,y1）是三次曲线上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0,y0）,则切线方程为,因点M上此切线上,故,又,所以,整理得：,解得,或.
综上所述,当点M是对称中心即时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当点M不是对称中心即时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线.
由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．
【例1】（2021届贵州省凯里市高三三模）已知函数,.
（1）若是函数的极值点,求的值及的单调区间；
（2）若函数在上有且仅有个零点,求在上的最大值.
【分析】（1）由 ,得,解得,
的单调增区间是和,单调减区间为.
（2）,
①当时,恒成立,
在上单调递增,最多只有个零点,不符合条件.
②当时,在上单调递减,最多只有个零点,不符合条件.
③在上递减,在上递增,
要使函数在区间上有且仅有个零点,必有
即解得,
当,即时,
由的单调性可知,
同理,当,即时,,
在上的最大值
(二)三次函数的零点
1.若三次函数没有极值点,则有1个零点；
2. 三次函数有2个极值点,则时有1个零点；时有2个零点；时有3个零点.
【例2】（2022届四川省内江市高三零模）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数有三个不同的零点、、,求的取值范围,并证明：．
【分析】（1）
①当时,,则在上单调递增,无递减区间；
②当时, 在上单调递减,在上单调递增
（2）由（1）知函数f(x)有三个零点,则
∵在上单调递减,在上单调递增
∴的极大值为,且极大值大于,极小值为
∵有三个不同的零点,∴
解得,故的取值范围为．
又∵,当时,有,当时,有．
∴设,由零点存在性定理知．
∴
又∵

∴ ,
因此．
(三)过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数
此类问题一般是先设出切点,写出曲线在处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
【例3】（2022届新疆伊宁市高三上学期第一次月考）已知函数在处取得极小值-4.
（1）求实数a,b的值
（2）若过点是否可作曲线的三条切线,并说明理由
【分析】(1)由,a=1,b=3.经验证在处取得极小值-4.
所以a=1,b=3.
（2）设过点切线的切点为,则切线的斜率,
所以切线的方程为,
若切线过点,则方程为①,
将代入①,则,
∴
,∴,
∴,,所以切点有3个,
所以过点可作曲线的三条切线.
(四)三次函数与韦达定理的交汇
由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题
【例4】设是函数的两个极值点,且
(1)求a的取值范围；
(2)求证：.
【分析】(1),的两个实根,又a＞0
,
由得

(2)设则
上单调递增
,
三、典例展示
【例1】(2021届贵州省毕节市高三上学期诊断性)已知函数.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在b,c,使得f(x)在区间[-1,0]上的最小值为-1且最大值为1？若存在,求出b,c的所有值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为,所以 ,
令 得 ,
当 时,且不恒为0,所以 在R上为增函数,
当时,得 ,得 ,
所以在 上为增函数,在 上为减函数,
当时,得 ,得 ,
所以在 上为增函数,在 上为减函数.
（2）设存在满足条件的,由（1）可得,
当时,在 上为增函数,
, ,解得 ；
当时,若 ,即 时,
在上为减函数,,,
解得
若 时,在 上为增函数,在 上为减函数,
,
如果 ,即 时, ,
解得 （不满足条件）
如果,即 时,,
由 ,化简得： ,
因为 ,所以 ,此时 无解,
综上所述 .
【例2】（2021届浙江省宁波市高三5月模拟）已知函数,,,
（1）若函数在区间上不单调,求的取值范围；
（2）求的最大值；
（3）若对任意恒成立,求的取值范围．
【解析】（1）由题意可知,函数在上有极值点,
,则,
所以,函数在上递减,在上递增,
所以,,可得；
（2）若时,对任意的,,在上递减,,,,
所以,,则；
若,对任意的,,在上递增,
,,,
所以,,则；
若,由,可得或；由,可得.
则在上递增,在上递减,在上递增；
,,,．
因为,所以,函数关于对称,
,
则,
若,,,
则；
若,,,
则,则；
若,,,
则,则.
综上；
（3）先考虑必要性,若对任意恒成立,
首先必须满足.
①若,,可得,不合乎题意；
②若,,解得,此时；
③若时,,解得,此时.
综上,此时函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
若,由（2）可知,,则,
由,则,所以
若,则,,
由,则,
则,
令,则,
对于函数,对任意的恒成立,
所以,函数在上单调递增,所以,,
对于函数,对任意的恒成立,
所以,函数在区间上单调递减,则,
因此,.
综上：.
【例3】（2021陕西省宝鸡市高三上学期月考）已知函数.
（1）若,讨论函数的单调性；
（2）当且时,证明：函数有且仅有一个零点.
【解析】（1）函数的定义域为,且,又,
∴,
①当时,,此时在上单调递减,减区间为；
②当时,令,得,此时在上递增,而在,上递减；
③当时,令,得,此时在上递增,而在,上递减；
（2）证明：令,有,
令,有,
由,即函数有两个极值点,记为,
∴,必有,此时的增区间为,减区间为,
由,有,
有,
又,可得,有,
由函数的单调性,得,
当时,由有,可得
此时,有且仅有一个零点,又与的零点一样,
故且时,函数有且仅有一个零点.
【例4】（2021届】天津市静海区高三4月调研）已知函数在处的切线与轴平行．
（1）求的值和函数的单调区间；
（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点,求的取值范围．
【解析】（1）由已知得,
∵在处的切线与轴平行
∴,解得．
这时
由,解得或；
由,解．
∴的单调增区间为和；单调减区间为．
（2）令,
则原题意等价于图象与轴有三个交点．
∵,
∴由,解得或；
由,解得．
∴在时取得极大值；在时取得极小值．
依题意得,解得．
故的取值范围为．
【例5】已知函数,且
(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；
（2）令,设函数在处取得极值,记点M (,),N(,),P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题：
（I）若对任意的m (, x),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论；
（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）
【解析】解法一:
(Ⅰ)依题意,得
由.
从而
令
①当a>1时,
当x变化时,与的变化情况如下表：
x




+
－
+

单调递增
单调递减
单调递增
由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为.
②当时,此时有恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为R
③当时,同理可得,函数的单调增区间为和,单调减区间为
综上：
当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为；
当时,函数的单调增区间为R；
当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.
(Ⅱ)由得令得
由（1）得增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值,故M（）N（）.
观察的图象,有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时,线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负.
②线段MP与曲线是否有异于H,P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；
③Kmp－=0对应的位置可能是临界点,故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；
线段MP的斜率Kmp
当Kmp－=0时,解得
直线MP的方程为
令
当时,在上只有一个零点,可判断函数在上单调递增,在上单调递减,又,所以在上没有零点,即线段MP与曲线没有异于M,P的公共点.
当时,.
所以存在使得
即当MP与曲线有异于M,P的公共点
综上,t的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察,可得m的取值范围为
解法二：
（1）同解法一.
（2）由得,令,得
由（1）得的单调增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值.故M().N()
(Ⅰ) 直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
四、跟踪检测
1. （2021届贵州省铜仁市高三月考）已知函数,．
（1）讨论函数的单调性；
（2）用表示中较小者,记函数,（）．若函数在上恰有个零点,求实数的取值范围．
【解析】（1）,,
当时,,在上为单调递增
当时,,
令,得或,单调递增
令 ,得,单调递减
综上：当时,在为增函数
当时,在和为增函数,在为减函数
（2）当时,,从而,
∴在（1,+∞）无零点.
当=1时,若,则,,
故=1是的零点；
若,则,,
故=1不是的零点.
当时,,所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
（ⅰ）若或,则在（0,1）无零点,故在（0,1）单调,
而,,
所以当时,在（0,1）有一个零点；当时,在（0,1）无零点.
（ⅱ）若,则在（0,）单调递减,在（,1）单调递增,
故当=时,取的最小值,最小值为.
①若＞0,即＜＜,在（0,1）无零点.
②若=0,即,则在（0,1）有唯一零点；
③若＜0,即,由于,,
所以当时,在（0,1）有两个零点；
当时,在（0,1）有一个零点.
综上,当或时,由一个零点；当或时,有两个零点；当时,有三个零点. 所以的取值范围是
2. （2022届北京市高三上学期入学考试）已知函数,其中.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在实数,使得不等式的解集为,求的取值范围.
【解析】由得.
（1）所以.
又因为.
故所求的切线方程为.
（2）因为
令,得,,
此时,随的变化如下：








0

0



极大值

极小值

由题意,要想存在实数,使得不等式的解集为
只需或
因为,
所以
所以的取值范围为.
3.（2021届贵州省贵阳市高三下学期适应性月考）已知函数在上的最小值为．
（1）求a的值；
（2）讨论函数的零点个数．
【解析】（1）由,,
当时,在上恒大于等于0,所以在上单调递增,
,不合题意；
当时,则时,,单调递减；时,,单调递增,
所以,,
所以,不满足；
当时,在上,且不恒为0,所以在上单调递减,
,适合题意；
当时,在上,,所以在上单调递减,
,所以,不满足；
综上,．
（2）由（1）,所以,
令,则,
所以,且当时,；
当时,；当时,,
所以,,
如图：

当或时,函数有1个零点；
当或时,函数有2个零点；
当时,函数有3个零点．
4.（2022届四川省内江市高三上学期零模）已知函数.
（1）当时,求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数,并比较零点与的大小.
【解析】（1）函数的定义域为,当时,,,
令得,
所以的变换情况如下表：













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数在和单调递增,在单调递减.
（2）,
当时,,令得,此时函数只有一个零点,且等于；
当时,,在单调递增,由于时,,时,,且,故函数只有一个零点,且小于；
当时,,得,
此时函数在和单调递增,在单调递减,
故函数在取得极大值, ,
在取得极小值,,
故当时,即时,函数只有一个零点,此时该零点大于；
当时,即时,函数有两个零点,其中一个为零点为,另一个零点大于；
当时,即时,函数有三个零点,由于,故三个零点分别分布在区间,,上,故三个零点中,两个零点小于,一个零点大于；
综上,当时,函数只有一个零点,且等于；
当时,函数只有一个零点,且小于；
当时,函数只有一个零点,此时该零点大于；
当时,函数有两个零点,其中一个为零点为,另一个零点大于；
当时,函数有三个零点,三个零点中,两个零点小于,一个零点大于；
5.已知函数
（1）（i）求函数的图象的交点A的坐标；
（ii）设函数的图象在交点A处的切线分别为是否存在这样的实数a,
使得？若存在,请求出a的值和相应的点A坐标；若不存在,请说明理由.
（2）记上最小值为F（a）,求的最小值.
【解析】（I）（i）设点A的坐标为
得
故函数与图象的交点A坐标为
（ii）若存在a,使得
则当点A坐标为
又,
则,此时点A坐标为
当点A坐标为
又,
则,无解.
综上,存在
（2）令整理得

图象另一交点横坐标






结合图象可得：（1）若
（2）若
（3）若

综上
所以
当
且当时取到“=”；
当时,函数单调递减,此时
综上,
6. 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
【解析】（1）
∴曲线在处的切线方程为,即；
（2）过点向曲线作切线,设切点为
则
则切线方程为
整理得
∵过点可作曲线的三条切线
∴方程（*）有三个不同实数根.
记
令或1.
则的变化情况如下表














极大

极小

当有极大值有极小值.
由的简图知,当且仅当即时,函数有三个不同零点,过点可作三条不同切线.
所以若过点可作曲线的三条不同切线,的范围是.