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湖北省黄冈市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】
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这是一份湖北省黄冈市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省黄冈市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（ ）
A．40° B．100° C．140° D．160°
4．已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是（ ）
A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm
7．如图，∠MON＝36°，点P是∠MON中的一定点，点A、B分别在射线OM、ON上移动．当△PAB的周长最小时，∠APB的大小为（ ）
A．100° B．104° C．108° D．116°
8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是 ．
10．△ABC的两边长分别是2和7，且第三边为奇数，则第三边长为 ．
11．如图，以AD为高的三角形共有 个．
12．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为 ．
14．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当EF＝6，BE＝4时，CF的长为 ．
15．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，PD⊥OA，垂足为D，则PD＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（10分）已知，在△ABC中．
（1）若∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，求△ABC的各内角度数；
（2）若三边长分别为a、b、c，试化简代数式|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACB＝100°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E、F两点分别在边AB、AC上，若BE＝CD，BD＝CF，∠B＝∠C，∠A＝50°，求∠EDF的度数．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
21．（9分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣4）．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标是 ；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1分别写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
22．（8分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于点F，连接AD．
（1）求证AB+CF＝BF；
（2）若∠ABC＝70°，求∠DAE的度数．
23．（9分）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点H
（1）求证：AD＝BE．
（2）连接CH，求证：CH平分∠AHE．
（3）求∠AHE的度数（用含α的式子表示）．
24．（12分）如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足+（b﹣2）2＝0，
（1）求A点坐标；
（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．
（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG＝45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．
2021-2022学年湖北省黄冈市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形的边数是6．
故选：B．
3．如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（ ）
A．40° B．100° C．140° D．160°
【分析】利用三角形的外角的性质求出∠EAD，再利用三角形内角和定理求出∠B+∠C即可．
【解答】解：连接AA′．
∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
4．已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】利用ASA证明三角形ADE和CEF全等，进而得出AD＝CF＝5，即可求出AB的长．
【解答】解：∵FC∥AB，
∴∠ADF＝∠F．
∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF，
∴△ADE≌△CEF（ASA）．
∴AD＝CF＝5．
又∵BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7，
故选：D．
5．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
【分析】如图，过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，利用角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，再利用三角形面积公式得到S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，然后根据三角形三边的关系求解．
【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，
∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是（ ）
A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝CE＝3，DA＝DC，再利用三角形周长的定义和等线段代换得到AB+BD+DA的值即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝3，DA＝DC，
∵△ABC的周长为13cm，
即AB+BC+AC＝13，
∴AB+BD+DA+6＝13，
即AB+BD+DA＝7，
∴△ABD的周长为7cm．
故选：A．
7．如图，∠MON＝36°，点P是∠MON中的一定点，点A、B分别在射线OM、ON上移动．当△PAB的周长最小时，∠APB的大小为（ ）
A．100° B．104° C．108° D．116°
【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
【解答】解：如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
所以∠P′OP″＝2∠MON＝2×36°＝72°，
所以∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣72°）÷2＝54°，
又因为∠BPO＝∠OP″B＝54°，∠APO＝∠AP′O＝54°，
所以∠APB＝∠APO+∠BPO＝108°．
故选：C．
8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是 （3，﹣5） ．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（3，﹣5），
故答案为：（3，﹣5）．
10．△ABC的两边长分别是2和7，且第三边为奇数，则第三边长为 7 ．
【分析】先根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边点的取值范围，再选择奇数即可．
【解答】解：∵7﹣2＝5，7+2＝9，
∴5＜第三边＜9，
∵第三边为奇数，
∴第三边长为7．
故答案为：7．
11．如图，以AD为高的三角形共有 6 个．
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6
12．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AB＝ED（或∠A＝∠D或AC∥DF等） （只需写一个，不添加辅助线）．
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，根据平行线的性质可得∠B＝∠E，再添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加AB＝ED（或∠A＝∠D或AC∥DF等），
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB＝ED（或∠A＝∠D或AC∥DF等）．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为 70°或20° ．
【分析】根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图一，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD＝50°时，②如图二，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD＝50°时；根据等腰三角形的性质，解答出即可．
【解答】解：①如图一，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°；
②如图二，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠ABC＝＝＝20°．
故答案为：70°或20°．
14．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当EF＝6，BE＝4时，CF的长为 2 ．
【分析】利用平行和角平分线得到BE＝OE，OF＝CF，可得出结论EF＝BE+CF，由此即可求得CF的长．
【解答】解：如图，∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO；
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴BE＝OE；同理可证CF＝OF，
∴EF＝BE+CF，
∵EF＝6，BE＝4，
∴OF＝EF﹣OE＝EF﹣BE＝2，
∴CF＝OF＝2，
故答案为2．
15．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，PD⊥OA，垂足为D，则PD＝ 2 ．
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD，
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP＝∠AOB＝30°，
在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2，
∴PD＝PE＝2，
故答案为：2．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 9.6 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝＝9.6．
故答案为：9.6．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（10分）已知，在△ABC中．
（1）若∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，求△ABC的各内角度数；
（2）若三边长分别为a、b、c，试化简代数式|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|．
【分析】（1）由∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，结合∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠A的度数，再将其代入∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°中可求出∠B，∠C的度数；
（2）利用“三角形两边之和大于第三边”可得出|a+b﹣c|＝（a+b﹣c），|b﹣c﹣a|＝（﹣b+c+a），再将其代入|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|中可得出|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝2b﹣2c．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+（∠A+15°）+（∠A+15°+15°）＝180°，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝∠A+15°＝45°+15°＝60°，∠C＝∠B+15°＝60°+15°＝75°．
（2）|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|
＝（a+b﹣c）﹣（﹣b+c+a）
＝a+b﹣c+b﹣c﹣a
＝2b﹣2c．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACB＝100°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE＝25°，根据垂直的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝100°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝25°，
∴∠AEC＝55°，
∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
∴∠EAD＝35°．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E、F两点分别在边AB、AC上，若BE＝CD，BD＝CF，∠B＝∠C，∠A＝50°，求∠EDF的度数．
【分析】通过证明△BDE≌△CFD，可得∠BDE＝∠CFD，根据∠BDE+∠CDF+∠EDF＝180°即可求得∠EDF的值，即可解题．
【解答】解：在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BDE＝∠CFD，
∵∠BDE+∠CDF+∠EDF＝180°，
∴∠CFD+∠CDF+∠EDF＝180°，
∵∠CFD+∠CDF+∠C＝180°，
∴∠EDF＝∠C．
∵∠B＝∠C，∠A＝50°，
∴∠EDF＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，∠ABC＝∠C＝60°，又根据∠AEB＝∠CDA，进而求得∠EBC＝∠BAD，即可得出答案；
（2）根据题意求得∠PBQ＝30°，再根据直角三角形中30°的角的性质求出BP的长度，即可得出答案．
【解答】解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
21．（9分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣4）．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标是 （1，﹣1） ；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1分别写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是：（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）；
（2）点A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣1，4）；
（3）△A1B1C1的面积为：×3×3＝．
22．（8分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于点F，连接AD．
（1）求证AB+CF＝BF；
（2）若∠ABC＝70°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）过D作AB的垂线交AB的延长线于点G，连接CD，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据四边形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）过D作AB的垂线交AB的延长线于点G，连接CD，
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG＝DF，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADG和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△CDF（HL），
∴AG＝CF，
∵DG⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BGD＝∠BFD＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠GBD＝∠FBD，
在△BDG和△BDF中，
，
∴△BDG≌△BDF（AAS），
∴BG＝BF，
∴AB+CF＝BF；
（2）∵四边形BFDG的内角和为360°，
∴∠FDG＝180°﹣∠ABF＝180°﹣70°＝110°，
由（1）知Rt△ADG≌Rt△CDF，
∴∠GDA＝∠CDF，
∴∠FDG＝∠ADC＝110°，
又∵DA＝DC，DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠CDE＝＝55°，
∴∠DAE＝35°．
23．（9分）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点H
（1）求证：AD＝BE．
（2）连接CH，求证：CH平分∠AHE．
（3）求∠AHE的度数（用含α的式子表示）．
【分析】（1）由条件根据SAS可证明△ACD≌△BCE，则结论得证；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，可证明△ACM≌△BCN，可证得CM＝CN，利用角平分线的判定可证明结论；
（3）由（1）可得∠CAD＝∠CBE，再利用三角形内角及外角的性质可求得∠AHE．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM＝∠CBN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴CH平分∠AHE；
（3）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠AMC＝∠AMC，
∴∠AHB＝∠ACB＝α，
∴∠AHE＝180°﹣α．
24．（12分）如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足+（b﹣2）2＝0，
（1）求A点坐标；
（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．
（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG＝45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式以及偶次方都是非负数，两个非负数的和是0，则每个数一定同时等于0，即可求解；
（2）连接OC，只要证明OC是∠AOD的角平分线即可判断AC＝CD，求出∠ACD的度数即可判断位置关系；
（3）延长GA至点M，使AM＝OF，连接BM，由全等三角形的判定定理得出△BAM≌△BOF，△FBG≌△MBG，故可得出FG＝GM＝AG+OF，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：a﹣2＝0且b﹣2＝0，
解得：a＝2，b＝2，
则A的坐标是（2，2）；
（2）AC＝CD，且AC⊥CD．
如图1，连接OC，CD，
∵A的坐标是（2，2），
∴AB＝OB＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBC＝30°，OB＝BC，
∴∠BOC＝∠BCO＝75°，
∵在直角△ABO中，∠BOA＝45°，
∴∠AOC＝∠BOC﹣∠BOA＝75°﹣45°＝30°，
∵△OAD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠AOC＝30°，
即OC是∠AOD的角平分线，
∴OC⊥AD，且OC平分AD，
∴AC＝DC，
∴∠ACO＝∠DCO＝60°+75°＝135°，
∴∠ACD＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴AC⊥CD，
故AC＝CD，且AC⊥CD．
（3）不变．
延长GA至点M，使AM＝OF，连接BM，
∵在△BAM与△BOF中，
，
∴△BAM≌△BOF（SAS），
∴∠ABM＝∠OBF，BF＝BM，
∵∠OBF+∠ABG＝90°﹣∠FBG＝45°，
∴∠MBG＝45°，
∵在△FBG与△MBG中，
，
∴△FBG≌△MBG（SAS），
∴FG＝GM＝AG+OF，
∴＝1．
2021-2022学年湖北省黄冈市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（ ）
A．40° B．100° C．140° D．160°
4．已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是（ ）
A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm
7．如图，∠MON＝36°，点P是∠MON中的一定点，点A、B分别在射线OM、ON上移动．当△PAB的周长最小时，∠APB的大小为（ ）
A．100° B．104° C．108° D．116°
8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是 ．
10．△ABC的两边长分别是2和7，且第三边为奇数，则第三边长为 ．
11．如图，以AD为高的三角形共有 个．
12．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为 ．
14．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当EF＝6，BE＝4时，CF的长为 ．
15．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，PD⊥OA，垂足为D，则PD＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（10分）已知，在△ABC中．
（1）若∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，求△ABC的各内角度数；
（2）若三边长分别为a、b、c，试化简代数式|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACB＝100°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E、F两点分别在边AB、AC上，若BE＝CD，BD＝CF，∠B＝∠C，∠A＝50°，求∠EDF的度数．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
21．（9分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣4）．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标是 ；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1分别写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
22．（8分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于点F，连接AD．
（1）求证AB+CF＝BF；
（2）若∠ABC＝70°，求∠DAE的度数．
23．（9分）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点H
（1）求证：AD＝BE．
（2）连接CH，求证：CH平分∠AHE．
（3）求∠AHE的度数（用含α的式子表示）．
24．（12分）如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足+（b﹣2）2＝0，
（1）求A点坐标；
（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．
（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG＝45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．
2021-2022学年湖北省黄冈市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形的边数是6．
故选：B．
3．如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（ ）
A．40° B．100° C．140° D．160°
【分析】利用三角形的外角的性质求出∠EAD，再利用三角形内角和定理求出∠B+∠C即可．
【解答】解：连接AA′．
∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
4．已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】利用ASA证明三角形ADE和CEF全等，进而得出AD＝CF＝5，即可求出AB的长．
【解答】解：∵FC∥AB，
∴∠ADF＝∠F．
∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF，
∴△ADE≌△CEF（ASA）．
∴AD＝CF＝5．
又∵BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7，
故选：D．
5．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
【分析】如图，过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，利用角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，再利用三角形面积公式得到S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，然后根据三角形三边的关系求解．
【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，
∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是（ ）
A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝CE＝3，DA＝DC，再利用三角形周长的定义和等线段代换得到AB+BD+DA的值即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝3，DA＝DC，
∵△ABC的周长为13cm，
即AB+BC+AC＝13，
∴AB+BD+DA+6＝13，
即AB+BD+DA＝7，
∴△ABD的周长为7cm．
故选：A．
7．如图，∠MON＝36°，点P是∠MON中的一定点，点A、B分别在射线OM、ON上移动．当△PAB的周长最小时，∠APB的大小为（ ）
A．100° B．104° C．108° D．116°
【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
【解答】解：如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
所以∠P′OP″＝2∠MON＝2×36°＝72°，
所以∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣72°）÷2＝54°，
又因为∠BPO＝∠OP″B＝54°，∠APO＝∠AP′O＝54°，
所以∠APB＝∠APO+∠BPO＝108°．
故选：C．
8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是 （3，﹣5） ．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（3，﹣5），
故答案为：（3，﹣5）．
10．△ABC的两边长分别是2和7，且第三边为奇数，则第三边长为 7 ．
【分析】先根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边点的取值范围，再选择奇数即可．
【解答】解：∵7﹣2＝5，7+2＝9，
∴5＜第三边＜9，
∵第三边为奇数，
∴第三边长为7．
故答案为：7．
11．如图，以AD为高的三角形共有 6 个．
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6
12．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AB＝ED（或∠A＝∠D或AC∥DF等） （只需写一个，不添加辅助线）．
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，根据平行线的性质可得∠B＝∠E，再添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加AB＝ED（或∠A＝∠D或AC∥DF等），
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB＝ED（或∠A＝∠D或AC∥DF等）．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为 70°或20° ．
【分析】根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图一，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD＝50°时，②如图二，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD＝50°时；根据等腰三角形的性质，解答出即可．
【解答】解：①如图一，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°；
②如图二，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠ABC＝＝＝20°．
故答案为：70°或20°．
14．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当EF＝6，BE＝4时，CF的长为 2 ．
【分析】利用平行和角平分线得到BE＝OE，OF＝CF，可得出结论EF＝BE+CF，由此即可求得CF的长．
【解答】解：如图，∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO；
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴BE＝OE；同理可证CF＝OF，
∴EF＝BE+CF，
∵EF＝6，BE＝4，
∴OF＝EF﹣OE＝EF﹣BE＝2，
∴CF＝OF＝2，
故答案为2．
15．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，PD⊥OA，垂足为D，则PD＝ 2 ．
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD，
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP＝∠AOB＝30°，
在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2，
∴PD＝PE＝2，
故答案为：2．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 9.6 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝＝9.6．
故答案为：9.6．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（10分）已知，在△ABC中．
（1）若∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，求△ABC的各内角度数；
（2）若三边长分别为a、b、c，试化简代数式|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|．
【分析】（1）由∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，结合∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠A的度数，再将其代入∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°中可求出∠B，∠C的度数；
（2）利用“三角形两边之和大于第三边”可得出|a+b﹣c|＝（a+b﹣c），|b﹣c﹣a|＝（﹣b+c+a），再将其代入|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|中可得出|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝2b﹣2c．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+（∠A+15°）+（∠A+15°+15°）＝180°，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝∠A+15°＝45°+15°＝60°，∠C＝∠B+15°＝60°+15°＝75°．
（2）|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|
＝（a+b﹣c）﹣（﹣b+c+a）
＝a+b﹣c+b﹣c﹣a
＝2b﹣2c．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACB＝100°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE＝25°，根据垂直的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝100°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝25°，
∴∠AEC＝55°，
∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
∴∠EAD＝35°．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E、F两点分别在边AB、AC上，若BE＝CD，BD＝CF，∠B＝∠C，∠A＝50°，求∠EDF的度数．
【分析】通过证明△BDE≌△CFD，可得∠BDE＝∠CFD，根据∠BDE+∠CDF+∠EDF＝180°即可求得∠EDF的值，即可解题．
【解答】解：在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BDE＝∠CFD，
∵∠BDE+∠CDF+∠EDF＝180°，
∴∠CFD+∠CDF+∠EDF＝180°，
∵∠CFD+∠CDF+∠C＝180°，
∴∠EDF＝∠C．
∵∠B＝∠C，∠A＝50°，
∴∠EDF＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，∠ABC＝∠C＝60°，又根据∠AEB＝∠CDA，进而求得∠EBC＝∠BAD，即可得出答案；
（2）根据题意求得∠PBQ＝30°，再根据直角三角形中30°的角的性质求出BP的长度，即可得出答案．
【解答】解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
21．（9分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣4）．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标是 （1，﹣1） ；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1分别写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是：（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）；
（2）点A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣1，4）；
（3）△A1B1C1的面积为：×3×3＝．
22．（8分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于点F，连接AD．
（1）求证AB+CF＝BF；
（2）若∠ABC＝70°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）过D作AB的垂线交AB的延长线于点G，连接CD，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据四边形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）过D作AB的垂线交AB的延长线于点G，连接CD，
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG＝DF，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADG和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△CDF（HL），
∴AG＝CF，
∵DG⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BGD＝∠BFD＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠GBD＝∠FBD，
在△BDG和△BDF中，
，
∴△BDG≌△BDF（AAS），
∴BG＝BF，
∴AB+CF＝BF；
（2）∵四边形BFDG的内角和为360°，
∴∠FDG＝180°﹣∠ABF＝180°﹣70°＝110°，
由（1）知Rt△ADG≌Rt△CDF，
∴∠GDA＝∠CDF，
∴∠FDG＝∠ADC＝110°，
又∵DA＝DC，DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠CDE＝＝55°，
∴∠DAE＝35°．
23．（9分）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点H
（1）求证：AD＝BE．
（2）连接CH，求证：CH平分∠AHE．
（3）求∠AHE的度数（用含α的式子表示）．
【分析】（1）由条件根据SAS可证明△ACD≌△BCE，则结论得证；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，可证明△ACM≌△BCN，可证得CM＝CN，利用角平分线的判定可证明结论；
（3）由（1）可得∠CAD＝∠CBE，再利用三角形内角及外角的性质可求得∠AHE．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM＝∠CBN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴CH平分∠AHE；
（3）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠AMC＝∠AMC，
∴∠AHB＝∠ACB＝α，
∴∠AHE＝180°﹣α．
24．（12分）如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足+（b﹣2）2＝0，
（1）求A点坐标；
（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．
（3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG＝45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式以及偶次方都是非负数，两个非负数的和是0，则每个数一定同时等于0，即可求解；
（2）连接OC，只要证明OC是∠AOD的角平分线即可判断AC＝CD，求出∠ACD的度数即可判断位置关系；
（3）延长GA至点M，使AM＝OF，连接BM，由全等三角形的判定定理得出△BAM≌△BOF，△FBG≌△MBG，故可得出FG＝GM＝AG+OF，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：a﹣2＝0且b﹣2＝0，
解得：a＝2，b＝2，
则A的坐标是（2，2）；
（2）AC＝CD，且AC⊥CD．
如图1，连接OC，CD，
∵A的坐标是（2，2），
∴AB＝OB＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBC＝30°，OB＝BC，
∴∠BOC＝∠BCO＝75°，
∵在直角△ABO中，∠BOA＝45°，
∴∠AOC＝∠BOC﹣∠BOA＝75°﹣45°＝30°，
∵△OAD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠AOC＝30°，
即OC是∠AOD的角平分线，
∴OC⊥AD，且OC平分AD，
∴AC＝DC，
∴∠ACO＝∠DCO＝60°+75°＝135°，
∴∠ACD＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴AC⊥CD，
故AC＝CD，且AC⊥CD．
（3）不变．
延长GA至点M，使AM＝OF，连接BM，
∵在△BAM与△BOF中，
，
∴△BAM≌△BOF（SAS），
∴∠ABM＝∠OBF，BF＝BM，
∵∠OBF+∠ABG＝90°﹣∠FBG＝45°，
∴∠MBG＝45°，
∵在△FBG与△MBG中，
，
∴△FBG≌△MBG（SAS），
∴FG＝GM＝AG+OF，
∴＝1．
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