初中数学第一章 三角形的证明4 角平分线教学设计

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4　角平分线第1课时　角平分线教学目标一、基本目标1．掌握角平分线的性质定理及其逆定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．二、重难点目标【教学重点】角平分线的性质定理及其逆定理．【教学难点】掌握角平分线的性质定理及其逆定理并进行证明．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(　C　)A．OE是∠AOB的平分线B．OC＝ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE＝∠BOE4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为2 cm.环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)A．6　 B．5　　C．4　 D．3【互动探索】(引发学生思考)角平分线上的点有什么特征？怎样将求AC的长转化为与△ABC的面积有关的式子？【分析】如图，过点D作DF⊥AC于点F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋×AC×2＝7，解得AC＝3.【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.【互动探索】(引发学生思考)(1)已知AD是∠BAC的平分线，结合图形，考虑证Rt△DCF≌Rt△DEB，从而得到CF＝EB；(2)怎样证明不在同一直线上的线段和(差)关系？(转化法)→怎样将AB转化为与AF、EB有关？(利用全等证相关线段相等)【证明】(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵ ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴CF＝EB.(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC和Rt△ADE中，∵ ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.【互动总结】(学生总结，老师点评)角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．活动2　巩固练习(学生独学)1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是(　D　)A．9　 B．8　　C．7　 D．62．如图所示，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(　C　)A．10　 B．7　　C．5　 D．43．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是15.4．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．【互动探索】分别过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为E、F、G，然后根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知DE＝DG，从而根据“到角两边距离相等的点在角平分线上”证得结论．【证明】如题图，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)角平分线 练习设计请完成本课时对应练习！ 第2课时　三角形三条内角的平分线教学目标一、基本目标1．在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质．2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．3．提高学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力．二、重难点目标【教学重点】在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质．【教学难点】能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P30～P31的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．通过阅读理解教材P30例2得出：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．2．如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则PC与PD的大小关系是(　B　)A．PC>PD　 B．PC＝PDC．PC<PD　 D．不能确定3．如图，a、b、c三条公路的位置成三角形，现决定在三条公路之间修建一个购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在(　D　)A．在a、b两边高线的交点处B．在b、c两边中线的交点处C．在a、b两边中垂线的交点处D．在∠1、∠2两内角平分线的交点处环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例题】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？【互动探索】(引发学生思考)到两条相交直线的距离相等的点怎样确定？(角平分线的点到角两边的距离相等)→三条直线呢？(角平分线的点到角两边的距离相等)【解答】(1)如图，P1、P2、P3、P4为可选择的地点，共4处．(2)能．如上图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点．【互动总结】(学生总结，老师点评)三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常用到．活动2　巩固练习(学生独学)1．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40,50,60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　D　)A．1∶2∶3　 B．2∶3∶4　　C．3∶4∶5　 D．4∶5∶62．在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为(　B　)A．110°　 B．125°　　C．130°　 D．140°3．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是3.4．如图所示，P是AD上一点，在△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC.理由如下：∵点D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上，∴∠1＝∠2.∵PE∥AB，∴∠1＝∠3.同理，∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC.环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评) 三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三条边的距离相等练习设计请完成本课时对应练习！